2024-2025學(xué)年吉林省吉林九中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發(fā)展方向.下面關(guān)于新能源汽車新勢(shì)力品

牌的圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

2.已知。。的半徑為4,平面內(nèi)有一點(diǎn)若OM=5,則點(diǎn)M與。。的位置關(guān)系是（）

A.在圓內(nèi)B.在圓上C.在圓外D.不能確定

3.下列二次函數(shù)圖象與的開口大小、方向、形狀完全相同的是（）

A.j=x2+lB.y=-（x-1）2C.y=2j?D.-/+1

4.若關(guān)于x的一元二次方程（01）/+3X+F-1=0的一個(gè)根為0,貝隈的值為（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

5.如圖，CO是的直徑，弦則/AOC的度數(shù)為（）

6.如圖所示的是二次函數(shù)yua/+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且aWO）的圖象，其對(duì)稱軸為直線x=-l（0,

1）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

B.abc>0C.4Q+20+CV0D.C-6Z<1

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.（3分）函數(shù)y=2%2-3x+l的一次項(xiàng)系數(shù)是

8.（3分）將如圖所示的圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形完全重合，則旋轉(zhuǎn)角最小是

9.（3分）方程（aWO）的系數(shù)a,b,c滿足4a-2b+c=0.

10.（3分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=9,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,線

段CO的長為_____________________

11.（3分）如圖，AB為OO的直徑，弦CZJLAB,若。。的半徑為5,CD=8

12.（3分）若關(guān)于尤的一元二次方程2/+4x-k+l=0無實(shí)數(shù)根，則整數(shù)上的最大值為.

13.（3分）火炮發(fā)明于中國，是指利用機(jī)械能、化學(xué)能（火藥）、電磁能等能源拋射彈丸，由炮身和炮架

兩大部分組成的武器.在某次訓(xùn)練中，向上發(fā)射一枚炮彈，且y與x的關(guān)系式為y=a?+bxQW0）.若

此炮彈在第6秒和第14秒時(shí)的高度相等，則此炮彈飛行第秒時(shí)的高度是最高的.

14.（3分）如圖，尸、。分別是。。的內(nèi)接正五邊形的邊AB、BC上的點(diǎn)，BP=CQ.

15.（5分）解方程：（x-2）2=9（x+3）2

16.(5分)如圖，在△ABC中，48=80°,ACLA'B'于點(diǎn)。，求NA'CB'的度數(shù)

17.(5分)已知拋物線y=o?-4x+5在對(duì)稱軸右側(cè)呈下降趨勢(shì)，其中/=4.

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)二次函數(shù)丫M辦2-4x+5有最大值還是最小值？請(qǐng)求出這個(gè)最值.

18.(5分)已知拋物線y=(x+1)2+m-3.

(1)若此拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x+6上，求m的值；

(2)若點(diǎn)A(a,班)與點(diǎn)B(3,加)在此拋物線上，且邛＜刈，直接寫出。的取值范圍.

四、解答題(每小題7分，共28分)

19.(7分)已知，在平面直角坐標(biāo)系中，△A3C的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,0),3(-3,3),C(-

4,-1).

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△AiBiCi，并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)畫出△ABC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形AA282c2,并寫出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C2的坐標(biāo).

20.(7分)如圖，在矩形空地ABCD上，修建兩條平行于AB邊、一條平行于BC邊的小路，其余部分鋪

草坪.已知AB的長為20m，4。的長為32川，鋪草坪的總價(jià)為57000元，求每條小路的寬度.

21.（7分）如圖，拋物線>=/與直線y=6x+c的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-2,4）,B（1,1）.

（1）求兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)尸在y軸上，且△ABP的面積是△A30面積的2倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

22.（7分）如圖，A8為的直徑，點(diǎn)C在直徑上（點(diǎn)C與A,B兩點(diǎn)不重合），點(diǎn)。在。。上且滿

足AC=AD,連接DC并延長到E點(diǎn)

（1）求證：BE是。。的切線；

（2）當(dāng)BE=6時(shí)，求。。半徑的長.

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.（8分）已知拋物線;y=-^+bx+c（6,c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（-2,5）和（-6,-3）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將拋物線y=-j^+bx+c（b,c為常數(shù)）向右平移m（m>0）個(gè)單位長度得到一個(gè)新的拋物線2+bx+c

（b,c為常數(shù)）上，求的值.

24.（8分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=9Q°,AC=BC

B

AA

【觀察猜想】當(dāng)△ABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接3D、AE,延長2。交AE于點(diǎn)廠

【探究證明】如圖2,將△OCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度a(0°<a<90°),線段和線段AE

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？如果成立；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

【拓展應(yīng)用】如圖3,在△AC。中，/4OC=45°尼，AO=4,將AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC,

求瓦)的長.

六、解答題(每小題0分，共20分)

25.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=2,動(dòng)點(diǎn)廠從點(diǎn)A出發(fā)，在AC上的速度為每秒百個(gè)單

位長度，以CF為邊在點(diǎn)C的右上方作等邊△CVQ,設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒)

(1)AC=；

(2)求y與f之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出f的取值范圍；

(3)取AB邊的中點(diǎn)連接P。、CD,當(dāng)△/CD是直角三角形時(shí)

26.如圖，已知拋物線y=a?+bx+5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C,8不重合)，過點(diǎn)D作。軸于點(diǎn)尸，交直

線3c于點(diǎn)￡,直線3c能否把△8。廠分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，請(qǐng)

說明理由.

(3)若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，使得△AffiC為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

2024-2025學(xué)年吉林省吉林九中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案CCACBD

一、選擇題

1.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發(fā)展方向.下面關(guān)于新能源汽車新勢(shì)力品

牌的圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

><.V

【解答】解：A.找不到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，故該項(xiàng)不符合題意；

8.找不到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.可以找到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，故選項(xiàng)符合題意；

。.找不到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，故選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.已知的半徑為4,平面內(nèi)有一點(diǎn)若OM=5,則點(diǎn)M與。。的位置關(guān)系是（）

A.在圓內(nèi)B.在圓上C.在圓外D.不能確定

【解答】解：的半徑為4,OM=5

二點(diǎn)M到圓心的距離大于圓的半徑，

.?.點(diǎn)〃在圓外.

故選：C.

3.下列二次函數(shù)圖象與y=/的開口大小、方向、形狀完全相同的是（）

A.y=x2+lB.y=-（x-1）2C.y=27D.y=-/+1

【解答】解：：二次函數(shù)圖象與〉=/&“加°;的開口大小、方向，

二次項(xiàng)系數(shù)4=1,

故選：A.

4.若關(guān)于x的一元二次方程1）/+3x+后-1=0的一個(gè)根為0,貝廉的值為（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【解答】解：：方程（k-1）W+5x+必T=7為一元二次方程，

：.k-1W0,

上W3.

將x=0代入（4-1）/+3x+F-7=0,得：Z?-2=0,

解得％1=-6,42=1（不合題意，舍去）.

故選：C.

5.如圖，CD是的直徑，弦ABLC。，則/AOC的度數(shù)為（）

【解答】解：是。。的直徑，弦

.,?AC=BC>

'：ZCDB=28

：.ZAOC=2ZCDB=56°,

故選：B.

6.如圖所示的是二次函數(shù)yuo^+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且aW0）的圖象，其對(duì)稱軸為直線尤=1(0,

1）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

B.abc>0C.4Q+2Z?+CV0D.C-a<l

【解答】解：由圖可知，拋物線開口向下，與y軸交于（0,

:?〃V0,---=-1,c=l,

6a

.\b=4a<0,

abc>0,故B選項(xiàng)結(jié)合正確；

由圖可知，當(dāng)x=6時(shí)yVO,

.??〃+b+cVO,故A選項(xiàng)結(jié)合正確；

由圖可知，當(dāng)x=4時(shí)y<0,

.,?44+70+CVO,故C選項(xiàng)結(jié)合正確；

Vtz<0,c=8,

Ac-a>\,故D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；

故選：D.

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.（3分）函數(shù)y=2?-3x+l的一次項(xiàng)系數(shù)是-3.

【解答】解：二次函數(shù)y=2f-7x+l的一次項(xiàng)系數(shù)是-3,

故答案為：-5.

8.（3分）將如圖所示的圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形完全重合，則旋轉(zhuǎn)角最小是120。

【解答】解：???圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形完全重合，

△ABC是等邊三角形，

將圖形繞中心。旋轉(zhuǎn)360°4-3=120°與原圖形完全重合，旋轉(zhuǎn)角最小是120°,

故答案為：120°.

9.(3分)方程o^+bx+cuO(aWO)的系數(shù)a,b,c滿足4a-2b+c=0x=-2.

【解答】解：由題意，一元二次方程a^+bx+cuOQW6)的系數(shù)滿足4a-26+c=8,

所以，當(dāng)x=-2時(shí)2+尿+。=4即為：aX(-2)2+bX(-4)+c=0,4a-5b+c=0,

綜上可知，方程必有一根為-2.

故答案為：x=-8.

10.（3分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=9,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,線

段CC'的長為1

一2一

【解答】解：???/AC3=90°,ZB=30°,

AC=^AB=|"'ZBAC=90°-ZB=60°,

由旋轉(zhuǎn)得，AC=AC,

.,.△ACC,是等邊三角形，

q

?■?CC7=AC=y>

故答案為：1.

2

11.（3分）如圖，AB為OO的直徑，弦CDL4B,若00的半徑為5,0）=82

【解答】解：連接0C,

為。。的直徑，CQJ_AB,

CE=z€D=4>NCE0=90°，

0C=5,

OEWOC2-CE5=3'

.\AE—OA-OE—5-3=2,

故答案為：2.

12.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程27+4工-左+1=0無實(shí)數(shù)根，則整數(shù)％的最大值為-2.

【解答】解：：一元二次方程2?+8x-k+l=O無實(shí)數(shù)根，

A=52-4X6（-%+l）<0,

：.k<-7

整數(shù)上的最大值為-2.

故答案為：-2.

13.（3分）火炮發(fā)明于中國，是指利用機(jī)械能、化學(xué)能（火藥）、電磁能等能源拋射彈丸，由炮身和炮架

兩大部分組成的武器.在某次訓(xùn)練中，向上發(fā)射一枚炮彈，且y與尤的關(guān)系式為y=o?+打QW0）.若

此炮彈在第6秒和第14秒時(shí)的高度相等，則此炮彈飛行第10秒時(shí)的高度是最高的.

【解答】解：根據(jù)題意得。X62+6X2=aX142+6X14,

:.b=-20a,

，拋物線y=aj?-20〃x,

...拋物線的對(duì)稱軸方程為：直線x=：返=10，

3a

由題意得a<0,

...炮彈在尤=10處高度最高，

.??炮彈飛行第10秒時(shí)的高度是最高的，

故答案為：10.

14.（3分）如圖，尸、。分別是的內(nèi)接正五邊形的邊A3、BC上的點(diǎn)，BP=CO72°.

?五邊形ABCDE是OO的內(nèi)接正五邊形,

AZAOB=ZBOC=12°,

???Q4=O5,OB=OC,

：.ZOBA=ZOCB=54°,

在△OBP和△OCQ中，

OB=OC

<NOBP=NOCQ，

BP=CQ

:?△OBPQXOCQ,

：.NBOP=NCOQ,

ZAOB=/AOP+/BOP,ZBOC=ZBOQ+ZQOC,

：.NBOP=/QOC,

*.*ZPOQ=NBOP+/BOQ,ZBOC=ZBOQ+ZQOC,

：.ZPOQ=ZBOC=72°.

故答案為：72°.

D

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.（5分）解方程：（冗-2）2=9（x+3）2.

【解答】解：（x-2）2=2（%+3）2,

x-8=3x+9,或％-6=-3%-9,

._11_7

??JC4**，X2~~?

24

16.（5分）如圖，在△ABC中，ZB=80°,ACLA'B'于點(diǎn)。，求NA'CB'的度數(shù)

【解答】解：：將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°得到B'C,

：.ZACA'=NBCB'=55°,ZB'=ZB=80°,

?：AC±A'B',

：.ZB'DC=90°,

AZDCB'=90°-ZB'=10°,

：.ZA'CB'=ZB'CD+ZACA'=10°+55°=65°.

17.(5分)已知拋物線y=--4x+5在對(duì)稱軸右側(cè)呈下降趨勢(shì)，其中/=4.

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)二次函數(shù)y=a/-4x+5有最大值還是最小值？請(qǐng)求出這個(gè)最值.

【解答】解：(1)

.??〃=±4,

?.?拋物線-4x+3在對(duì)稱軸右側(cè)呈下降趨勢(shì)，

.?.QVO,

??-2,

拋物線的解析式為y=-5/-4x+7,

拋物線的對(duì)稱軸為直線乂=——

2X(-7)

(2)???拋物線的開口向下，

...二次函數(shù)尸-2x4一公+5有最大值，

???拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=-3,

.?.當(dāng)X=-1時(shí),y的值最大，y最大值=-2X(-2)2-4X(-8)+5=7?

18.(5分)已知拋物線y=(x+1)2+m-3.

(1)若此拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x+6上，求m的值；

(2)若點(diǎn)A(a,yA)與點(diǎn)B(3,yB)在此拋物線上，且明〈刈，直接寫出a的取值范圍.

【解答】解：(1):拋物線&泌sp;y=(x+1)2+m-6,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,m-3),

此拋物線的頂點(diǎn)在直線&，仍卯;y=3x+6上，

.?.將(-1,m-5)代入

m-3=-2+2,

m=-2+6+4,

解得m=7；

(2)???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,m-6),

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線X=-b

:.點(diǎn)B(3,>B)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-3,刈)，

?.?拋物線開口向上，

當(dāng)-5<a<3時(shí)，yA<ys.

四、解答題(每小題7分，共28分)

19.(7分)已知，在平面直角坐標(biāo)系中，ZkABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,0),8(-3,3),C(-

4,-1).

(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△AiBiCi,并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)畫出△ABC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形282c2，并寫出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C2的坐標(biāo).

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,7)；

(2)如圖所示，△從232c2即為所求，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(1，-2).

20.(7分)如圖，在矩形空地ABCD上，修建兩條平行于AB邊、一條平行于BC邊的小路，其余部分鋪

草坪.已知的長為20m，AD的長為32m2,鋪草坪的總價(jià)為57000元，求每條小路的寬度.

【解答】解：設(shè)每條小路的寬度為V",

根據(jù)題意可列一元二次方程得，(20-x)(32-2x)X100=57000,

整理得，/-36x+35=3,

解得xi=l,X5=35>20(不符合題意，舍去)，

即每條小路的寬度為1m,

答:每條小路的寬度為L%

21.(7分)如圖，拋物線與直線y=6x+c的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-2,4),B(1,1).

(1)求兩個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P在y軸上，且AAB尸的面積是△A3。面積的2倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1)將點(diǎn)2的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，l=aXl;

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得(8=b+cfb=-3,

(4=-2b+c{c=2

故兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為：y=/,y=-x+8；

(2)設(shè)直線y=-x+2交y軸于點(diǎn)”,

當(dāng)％=0時(shí)，y=6,2),m),

△ABP的面積=SAPHA+SAPHB=LP//X(XB-XA)=—X|/；J-5|X3=—；

822

同理△ABO面積=108義(XB-XA)=^X2X6=3,

22

,/AABP的面積是△ABO面積的2倍，

：.^m-2|=8,

2

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,6)或(2.

22.(7分)如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C在直徑上(點(diǎn)C與A,2兩點(diǎn)不重合)，點(diǎn)。在。。上且滿

足AC=A。，連接0c并延長到E點(diǎn)

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)當(dāng)BE=6時(shí)，求OO半徑的長.

E

【解答】(1)證明：：人？為O。的直徑，

ZADB=90°,

：.ZBDE+ZADC=9Q°,

"：AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

'：ZACD=ZECB,

：.ZECB=ZADC,

,:EB=DB,

：.ZE=ZBDE,

：.ZE+ZBCE^90°,

Z￡BC=180°-(NE+/ECB)=90°,

YOB是O。的半徑，

.?.BE是。。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,

0C=3,

：.AC=AD=AO+OC=3+r,

,:BE=2,

：.BD=BE=6,

在中，BD2+AD6=AB2,

A36+（r+3）2=（2r）2,

.'.rs=5,n=-3（舍去）,

半徑的長為5.

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.（8分）已知拋物線y=-7+bx+c（b,c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（-2,5）和（-6,-3）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將拋物線y=-?+bx+c（b,c為常數(shù)）向右平移m（m>0）個(gè)單位長度得到一個(gè)新的拋物線2+bx+c

（b,c為常數(shù)）上，求m的值.

【解答】解：（1）?..拋物線y=-d+bx+c（b,c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（-2,-7）,

.（-4-2b+c=2

I-36-6b+c=_3

解得：，b=-6,

lc=-3

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-7-5x-3；

（2）,.>=-x2-6x-3=-（x+3）4+6,

-x2-6x-3向右平移m個(gè)單位長度得到：

y=-（x+3-m）8+6,

其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3+加，4）,

??,點(diǎn)（-3+加，6）關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（7-m,

?二點(diǎn)（3-機(jī)，-6）在拋物線y=-x5-6x-3上，

???一6=一（3-m）2-2（3-m）-3,

整理得：1-12m+24—0,

解得：m=12±±/5=6±3V3，

Vm>0,

=,

,,1114=6+2V3,m26-7V3

24.（8分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC^BC

【觀察猜想】當(dāng)AABC和△￡>￡(?按如圖1所示的位置擺放，連接B。、AE,延長8。交AE于點(diǎn)尸

【探究證明】如圖2,將△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度a(0°<a<90°),線段2。和線段AE

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？如果成立；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

【拓展應(yīng)用】如圖3,在△AC。中，NA￡>C=45°逅，AO=4,將AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC,

求BD的長.

【解答】解：【觀察猜想】AE±BD,AE=BD,

證明：在△ACE和△BCD中，

AC=BC

<ZACE=ZBCD-

,CE=CD

.?.△ACE會(huì)△BCD(SAS),

：.AE=BD,ZCAE=ZCBD,

VZACB=ZDCE=9Q°,

/.ZCAE+ZAEC=90°,

'：ZCAE=ZCBD,ZAEC=ZBEF,

：.ZDBC+ZBEF=9Q°,

：.ZBFE=18Q°-90°=90°,

：.AE±BD；

【探究證明】線段BD和線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系仍然成立,

證明：'：ZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZACE=ZBCD,

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

＜ZACE=ZBCD-

,CE=CD

:.LACE當(dāng)LBCD(SAS),

：.AE=BD,ZCAE=ZCBD,

VZACB=90°,

：.ZCBD+ZCGB=9Q°,

:ZCAE=ZCBD,NAGF=ZCGB,

/.ZCA￡+ZAGF=90°,

：.ZBFA=18Q°-90°=90°,

：.AE±BD,

【拓展應(yīng)用】如圖，在CO的左側(cè)以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角

：.ZDCE=9Q°,CE=CD=?

-,.DE=7CD24＜；E3=2,

VZADC=45°,

AZADE=ZADC+ZCDE=450+45°=90°,

24

AE=VDE+AD=V22+82=2*，

?；將AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC,

：.ZACB=90°,AC=BC,

由【探究證明】知加＞=AE,

:.BD=2醞.

六、解答題（每小題0分，共20分）

25.如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,BC=2,動(dòng)點(diǎn)廠從點(diǎn)A出發(fā)，在AC上的速度為每秒百個(gè)單

位長度，以CF為邊在點(diǎn)C的右上方作等邊△CFQ,設(shè)點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒)

(1)AC=_2V3_;

(2)求y與f之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

(3)取AB邊的中點(diǎn)。，連接ED、CD,當(dāng)是直角三角形時(shí)

【解答】解：(1)在直角三角形ABC中，ZACB=90°,BC=2,

；?AB=2BC=6,

由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=A/72-23=273,

故答案為：6V3；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在AB上時(shí)，如圖1,

圖1

???△CFQ為等邊三角形，

/.ZCFQ=60°,CF=QF,

：.ZAQF=ZCFQ-ZA=60°-30°=30°,

/.ZAQF=ZA,

：.AF=QF,

?■?CF=AF=1-AC=V3-止匕時(shí)t=V7+百=1；

當(dāng)8Wt<l時(shí)，如圖2,

BQ

圖2

VZFCQ^60°,

：.ZADC=90°,

；?CD=1-AC=V3'

在直角三角形ACO中，由勾股定理得：AD=VAC4-CD2=V(2V5)2-(V3)8=3,

過點(diǎn)F作FHLAB于H,

,?"AF=V3t-

FH=|-AF=^-f

26

222

在直角三角形APH中，由勾股定理得:AH=7AF-FH(V2t)-(^t)=1-t

9：AF=GF,FHLAB,

：.AG=2AH=3t,

,,,y=sAA：D-sAA；F=yXV3X64x4tX^t=^^-t74^y-；

當(dāng)1W/W2時(shí)，如圖2,CQ=CF=2V3-V71-

過點(diǎn)。作Q"_LAC于X,則CH=FH=/cF=V^-等t，

在直角三角形CH。中，由勾股定理得：QH=VCQ2-CH2=AI(2V5-V3t)2-(V7-^-t)=3-t'

V26

?<-y=1<F'QH=-1-X(2V2-V3t)X(3-1-t)=^-t2-2V3t+3V6；

當(dāng)2〈rW4時(shí)，如圖5,

過點(diǎn)Q作Q”_L5C于H,則CH=FH二qt-V

?*,QHWcQ2-CH2(t-2)5-(￡t-5)'

?**y=-^CF?QH="_X(t-8)Xt-V6)=^~3t-*V3;

[-乎t5*(0<t<l)

46

4V3

?------￡

近

-t8-V3tW3(3<t(4)

(3)分三種情況：

①當(dāng)/CH)=90°如圖5,

B

二

CF

圖5

?；￡)是A3的中點(diǎn),ZACB=90°,

O

'CD二AD吟AB，

VDFXAC,

，AF=CF0AC=V

3-

6

?*-t=V3-j-V4=l

②當(dāng)/C￡?P=90。如圖6,

B

圖6

VCD=AD=1-AB=2'

AZDCF=ZA=30°,

?m?=7=2=鼠3

…cos/DCFCOS300M3

-'-AF=AC-CF=2V3

③當(dāng)/DFC=90°時(shí)，如圖6,

圖7

'?*CD=AD=yAB=5'

：.ZDCA=ZA=30°,

AZDCF=90°-30°=60°,

：.ZCDF=3Q°,