2023-2025全國高考真題數(shù)學(xué)匯編

解三角形章節(jié)綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2025全國高考真題）在VABC中，BC=29AC=l+5AB=&,則人=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.（2023北京高考真題）在VABC中，(a+c)(sinA-sinC)=Z?(sinA-sinB),貝［|/C=()

71-兀C.@D.女

A.—B.—

6336

3.（2023全國高考真題）在VA5C中，內(nèi)角的對邊分別是。，"c,若〃cos5-Z?cosA=c,且c4,

則N5=()

7i_nCTD.0

A.—B.—

105105

g

4.（2。24全國高考真題）記VABC的內(nèi)角的對邊分別為SC若八60。‘〃二則

sinA+sinC=（）

A.-B.V2C.且D.叵

222

二、填空題

5.（2023上海高考真題）在VABC中，已知。=4,b=5,c=6,則sinA=.

6.（2023全國高考真題）在VABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=y/6,ZB4c的角平分線交BC于。，則

AD=.

三、解答題

7.（2023天津高考真題）在VABC中，角4,3,C所對的邊分別是a,6,c.已知°=屈*=2,/4=120。.

⑴求sinB的值；

⑵求c的值；

（3）求sin（3-C）的值.

-9a2

8.（2024天津［Wj考真題）在VABC中，角A氏。所對的邊分別為。，瓦c,已知cos5=7，b=5,—=—.

16c3

⑴求。的值；

⑵求sinA的值；

⑶求cos（3—2A）的值.

9.（2023全國高考真題）記VABC的內(nèi)角A,氏C的對邊分別為。也c,已知VABC的面積為D為BC

中點，且AD=1.

IT

⑴若Z.ADC=—,求tanB；

⑵若從+片=8,求上c.

10.（2023全國高考真題）已知在VABC中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）設(shè)A3=5,求邊上的高.

11.（2023全國高考真題）在VA3C中，已知NBAC=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sinNABC；

（2）若。為BC上一點，且NA4D=90。，求△ADC的面積.

12.（2023全國高考真題）記VABC的內(nèi)角A,民C的對邊分別為a,b,c,已知巴上——=2.

cosA

⑴求be；

,,acosB-bcosAb,4

（2）若——丁、-7--=h求VABC面積?

acosB+bcosAc

13.（2024全國高考真題）記VA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+百cosA=2.

⑴求A.

（2）若a=2,而sinC=csin23，求VABC的周長.

14.（2024北京高考真題）在VABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,b,c,—A為鈍角，a=7,

百

sin2B=——0cosB.

7

⑴求/A；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VA3C存在，求VABC的面積.

條件①：》=7；條件②：cosB=^|；條件③：csinA=173.

142

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

15.（2024全國高考真題）記VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=0cosB，

a?+b-_c~=y/^,cib

⑴求B；

（2）若VA3C的面積為3+后，求c.

16.（2025北京高考真題）在VABC中，cosA=-g,asinC=40.

⑴求c的值；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VA3C存在，求BC邊上的高.

條件①：。=6；條件②：asinB=~~;條件③：VABC的面積為10&.

17.（2025天津高考真題）在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinB=WcosA,

c—2b-l,a=幣.

（1）求A的值;

(2)求c的值；

⑶求sin(A+2B)的值.

參考答案

1.A

【分析】由余弦定理3聯(lián)叱條L直接計算求解即可.

AB?+AC?-BC?、(向2+(1+6)2-22二④

【詳解】由題意得cosA=

2AB-AC

2X^X(I+73)2'

又0。<4<180。，所以A=45。.

故選：A

2.B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因為(〃+c)(sinA—sinC)=Z?(sinA—sinB),

所以由正弦定理得（〃+。）（。一。）=b（a—b）,即/一/=一/,

a2+b2-c2ab

貝Ua2+b2-c2=ab故cosC=

lablab2

71

又OVCVTI,所以C=1.

故選：B.

3.C

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得ZA的值，最后利用三角

形內(nèi)角和定理可得NA的值.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin5cosA=0,由于5<0,兀），故sinB>0,

冗

據(jù)此可得COSA=0,A=5，

LtC，八兀兀3兀

貝U3=兀一A—。=兀------=—.

2510

故選：C.

4.C

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=:，再利用余弦定理有片+，，由正弦定理得到sin?A+sin2c

34

的值，最后代入計算即可.

a41

【詳解】因為8=60萬則由正弦定理得sinAsinCuxsiirBu^.

493

9

由余弦定理可得:廿=a2+c2-ac=—ac,

13

即d+/=-?c，根據(jù)正弦定理得sin,A+sin,C=—sinAsinC=-

412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=一,

4

因為AC為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0,則sinA+sinC.

2

故選：C.

5.且

4

【分析】先利用余弦定理求得cosA,再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得sinA.

【詳解】COSA/""25+36-16453

2bc60604

???A為VABC的內(nèi)角,

9

*e-sinA=Vl-cos2A=J1-

16

故答案為咚

【點睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運用，是基礎(chǔ)題.

6.2

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)等面積法求出AD；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出優(yōu)C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：記A5=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，2?+/—2x2x0xcos6(T=6,

因為Z?>0,解得：b=l+6，

由S&ABC=S&ABD+t^ACD可得,

—x2xZ?xsin600=—x2xADxsin30°+—xADxZ?xsin30°,

222

6b2退（1+⑹

解得：3尸3+透=2

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+Z72-2X2X/7XCOS60O=6,因為b>0,解得：b=1+5

由正弦定理可得'磊=熹=.'解得:.A/6+A/2.V2

sinDB=-------，sinC=——,

42

因為l+所以C=45°,8=180。-60°-45°=75°,

又/BAD=30°,所以/ADB=75°,即仞=M=2.

故答案為：2.

【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).

⑵5

⑶一拽

26

【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出;

（2）根據(jù)余弦定理即可解出；

（3）由正弦定理求出sinC,再由平方關(guān)系求出cosB,cosC,即可由兩角差的正弦公式求出.

【詳解】⑴由正弦定理可得，志二熹‘即宿二高，解得…譴=當(dāng)

(2)由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,即39=4+c?-2x2xcx

解得：c=5或。=—7（舍去）.

⑶由正弦定理可得，焉=裊,即3=篇，解得…9誓'而A"°。,

所以民C都為銳角，因此cosC=

=sin8c°sC-8sBse=叵x迤-亞x2=7白

sin(B-C)m

13261326

8.(1)4

⑵乎

【分析】（1）a=2t,c=3t,利用余弦定理即可得到方程，解出即可；

（2）法一：求出sinB,再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA,則得到sinA；

（3）法一：根據(jù)大邊對大角確定A為銳角，則得到cosA,再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可;

法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.

【詳解】（1）設(shè)a=2f,c=3乙則根據(jù)余弦定理得廿=儲+°2—2accos3,

g

即25=4『+9』一2x2/x3fx—,解得f=2（負(fù)舍）;

16

貝lja=4,c=6.

（2）法一：因為B為三角形內(nèi)角，所以sinB=Jl-cos2B=，l—1,J=用

再根據(jù)正弦定理得二=工，即而I一而，解得sinA=業(yè)，

smAsinB-----4

16

法二：由余弦定理得cosA=〃+°2—/52+62-423

2x5x6-"

因為Aw（O㈤，則sinA=

4

（3）法一：因為COS3=￡〉0,且5E（O,兀），所以3

由（2）法一知sin3二氧彳

16

3

因為a<b,則A<5,所以cosA

4

則sin2A=2sinAcosA=2x^-x—=,cos2A=2cos2A-l=2x［。］-1=-

448⑷8

?c”?c.c,915A/73A/757

cos（B-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A=——x—H-------x------=——

16816864

汁一.V733幣

/零一：sin2A=2sinAcosA=2xx—=-----，

448

3

則cos2A=2cos2A-l=2xI

因為3為三角形內(nèi)角，所以sinB-Jl—cos25二

16

915s3幣57

所以cos（B-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A=____y_____I__________\z_________—_____

168168-64

9.（1

（2）b=c=2.

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積公

式求出。，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出-ADC即可求解作答；方法2,利用向量

運算律建立關(guān)系求出。，再利用三角形面積公式求出ZADC即可求解作答.

jr

【詳解】(1)方法1：在VABC中，因為。為BC中點，ZADC=-,AD=1,

-為=卓解得。=4,

282△'ABC

9IT

在AABD中，ZADB^—,由余弦定理得c2=3￡>2+_23￡).SeosZADB,

解得cS則cosB=^1=率

即，=4+1-2x2xlx=7,

J21

sinB=Vl-cos2B=

14

所以tanB=?C=^

cos55

71

方法2：在VABC中，因為。為3C中點，ZADC=~,AD=l,

則S=-ADDCsinZADC=-xlx-ax—=^-a=-SABC=—>解得a=4,

△we2222822

在AACD中，由余弦定理得6=C￡>2+AD2_28.A￡>COSZADC,

即加=4+1—2x2xlx[=3,解得6=6，WAC2+AD2=4=CD2,則

22

C=2，過A作AE_L5C于E,于是CE=ACcosC=』,AE=ACsinC=也，BE=",

6222

AE

所以tanB=

~BE~~5

11

c?=~a?+l-2x—?xlxCOS(K-ZA￡>C)

(2)方法1：在△ABD與△AC。中，由余弦定理得

11

b9=—a9+l-2x—〃xlxcosZADC

42

整理得#+2=〃+°2,而6+°2=8,貝。=2有，

XSAnr=-xy/3xlxsinZADC=—,解得sinZADC=1,W0<ZADC<TT,于是NAOC=工，

iAnc222

所以/聚=,切+必=2.

方法2：在VA3C中，因為。為3c中點，則2茄=礪+就，又礪=麗-正，

+CB=(AB+AC)1+(AB-ACf=2(fe2+c2)=16，即4+/=16,解得4=26,

又S'xKxlxsin/AOC=且，解得sinZAT>C=1,rfff0<ZADC<7t,于是=

R2V22

所以6=c=13+82=2.

10.⑴曲

10

⑵6

【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；

（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出6,根據(jù)等面積法

求解即可.

【詳解】（1）vA+B=3C,

7T

/.7i—C=3C,即。=—,

4

又2sin（A-C）=sinB=sin（A+C）,

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

sinA=3cosA,

TT

即tanA=3,所以O(shè)vAv^,

33師

sinA=

Vio-io

(2)由(1)知，cosA==——)

A/1010

63MA/102A/5

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

10~~5~

5x遇

c_b

由正弦定理,可得b=—A=

sinCsinBJ2

~1

:.-ABh=-ABACsinA

22f

h=b-sinA=2A/10X"=6.

喈

【分析】Q）首先由余弦定理求得邊長的值為BC=?'然后由余弦定理可得=最后由同角

三角函數(shù)基本關(guān)系可得s?誓;

（2）由題意可得”^=4,則SMCD=：S-BC，據(jù)此即可求得AWC的面積.

、XNCD3

【詳解】（1）由余弦定理可得：

BC1=/=/+，一20ccosA

=4+1-2x2x1xcos120°=7,

a2+c2-b27+4—15A/7

貝ljBC=近，cosB

lac2x2xV7R

sinZABC=^1-cos2B=

q-xABxADxsin90°

（2）由三角形面積公式可得■皿=1-------------------------=4,

山⑺-xACxADxsin30°

2

則s△…3“Bcggx2xlxsinl2oJ=噂.

12.（1）1

⑵走

4

【分析】G）根據(jù)余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.

【詳解】（1）^a2=b2+c2-2bccosA,所以〃-J2bccosA=2尻=2,解得：歷=1.

cosAcosA

acosB-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsin5

（2）由正弦定理可得

acosB+bcosAcsinAcosB+sin3cosAsinC

sin（A-B）sinBsin（A-B）-sinB】

sin（A+B）sin（A+B）-sin（A+B）一?

變形可得：sin（A-B）-sin（A+B）=sinB,即一2cosAsin5=sinB,

而0<sin5Wl,所以cosA=—=，又OVAVTI,所以sinA=走，

22

故VABC的面積為S2BC=gbcsinA=；xlx^=?.

71

13.（1）A=-

o

（2）2+76+3^

【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件sinA+百cosA=2進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三

角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；

（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出8,然后根據(jù)正弦定理算出上c即可得出周長.

【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）

由sinA+A/3COSA=2oJW—sinA+^-cosA=1,即sin(A+=)=1,

223

>-T-./C、A兀/兀4兀、,?4兀兀hTt/X=iA兀

由于AeeTOnA+^cU，-；-),故4+丁=二，解得A=：

333326

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sinA+gcosA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到：

4cos2A—45/3cosA+3=0<=>(2cosA—A/3)2=0，解得cosA-，

2

又Ae(0,兀)，故A=g

6

方法三：利用極值點求解

設(shè)/(%)-sinx+VScosx(0<x<兀)，則/(x)=2sinfx+-^-1(0<x<兀)，

顯然x時，/(x)max=2,注意至！J/(A)=sinA+V^cosA=2=2sin(A+7),

63

/?ax=/(A),在開區(qū)間(0,兀)上取到最大值，于是x=A必定是極值點，

gpf'(A)=0=cosA-73sinA,即tanA=3,

3

又Ae(0,兀)，故A=g

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

^a=(1,^3),b=(sinA,cosA),由題意，ab=sinA+y/3cosA=29

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，a-b=\a\\b\cos{a,b)=2cos[d,b),

則2cosa,b=2ocosa,b=1,此時a,b=0,BPa,b同向共線，

根據(jù)向量共線條件，LeosA=g?sinA<=>tanA=,

3

又入￡(0,兀)，故A=g

o

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)"tang,根據(jù)萬能公式，sinA+石cosA=2=^+向1"),

21+f1+/2

整理可得，Z2-2(2-V3)/+(2-A/3)2=0=(r-(2-V3))2,

解得tang=f=2-g,根據(jù)二倍角公式，tanA=&=3，

21-產(chǎn)3

IT

又Ae(0,7r),故A=：

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

v2Z?sinC=csin2BoV2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又民?！辏?,兀），貝！JsinBsinCwO,進而cos3=交，得到3二;,

24

77T

于是。=兀一4一3=——，

^/2+\/6

sinC=sin（兀-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=

4

2_b_c

由正弦定理可得，-￡7=^-=-^,即F=F=—T,

sinAsinBsinCsin—sm—sin—

6412

角軍得b=2\/2,c—^6+也,

故VABC的周長為2+幾+3后

2兀

14.⑴4=可；

（2）選擇①無解；選擇②和③AABC面積均為竺3.

4

【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；

（2）選擇①，利用正弦定理得3=g,結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出sinB=也，再代

入式子得6=3,再利用兩角和的正弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先

得到c=5,再利用正弦定理得到sinC=%8,再利用兩角和的正弦公式即可求出sin3,最后利用三角形

14

面積公式即可；

【詳解】（1）由題意得2sin5cos5=，^Z?cosB,因為A為鈍角，

7

廣匕_2_〃_7廠

貝Ijcos5w0,則2sin5=電/?,貝!Jsin8QsinAsinA,解得sinA=9，

7T2

因為A為鈍角，則A=g27r.

（2）選擇①6=7,典）sinB=J^b=顯義7=B,因為A==,則3為銳角，則5=g,

1414233

止匕時4+6=兀，不合題意，舍棄；

選擇②COS2=E，因為3為三角形內(nèi)角，則sinB=地，

14丫（14）14

貝IJ代入2sinB=^b得2義之叵=立匕，解得〃=3,

7147

（）

sinC=sinA+5=sin]g+5=sin—cosB+cos—sinB

33

9u+373573

X---------=---------

21421414

」M」x7x3x班修

則S.ABC

22144

選擇③csinA=［退，則有ex立=9石，解得c=5,

22

75

a即存一菽，解得sinC="^

則由正弦定理得

sinAsinC14

2

、2

50_11

因為C為三角形內(nèi)角，則cosC=.1-=—,

14J14

(2兀)2兀2兀

則sinB=sin(A+C)=sin一+C=sin—cosC+cos—sinC

333

="+5月3A/3

x-----=-----

21421414

Ix7x5x^=^

則SZ^XABoC=—2acsin3=

2144

71

15.(1)B=-

⑵20

【分析】(1)由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosC,sinC,最后結(jié)合已知sinC=&cos3得cosB的值即

可;

(2)首先求出A,B,C,然后由正弦定理可將人均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程

求解.

【詳解】(1)由余弦定理有a?+62一°2=2必cosC,對比已知/+/—(?=,

可得cosC=Y±I=?=立，

lab2ab2

因為Ce(O,7t),所以sinC>0,

-也,

從而sinC=A/1-cos2C=

一2'

又因為sinC=J^cosB，即cosB=e，

注意到3?0,兀)，

所以B

7171571

(2)由(1)可得B=g,cosC=—,Ce(O,7r),從而C=f,A=71------

3243412

5兀7171V2A/3V21V6+A/2

而sinA=sinsin-------X----------1---------X—=-------------------

n4622224

a_b_c

由正弦定理有.5兀一.兀一.兀，

sin——sin—sm—

1234

從而”?2"0'=正把"=3.缶=如一

4222

由三角形面積公式可知，VABC的面積可表示為

1A/3+1A/6723+右2

q=—absinC=--------c----c----=------c

°AABC222228

由已知VABC的面積為3+6，可得葭8c2=3+道,

所以c=2四.

16.(1)6

(2)答案見解析

【分析】(1)由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；

(2)若選①，可得AC都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理求得6,由余弦定理求得。，利用等面積法

求得高；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得6,再根據(jù)余弦定理可求得。，由此可說明三角形ABC存

在，且可由等面積法求解AD.

【詳解】(1)因為cosA=—1Ae(0,71),所