2023-2025全國(guó)高考真題數(shù)學(xué)匯編

二角怛等變換（人教B版）

一、單選題

已知a為銳角，cosa=*@，則sin1

1.（2023全國(guó)高考真題）=().

42

A3-小B—1+y[5c3—A/5D.T+下

88.44

,COSarrri(兀)

2.（2024全國(guó)高考真題）已知----------=J3,貝!!tan|a+二■卜()

cosa-sina<4)

273-1C.B

A.2>/3+1B.D.l->/3

2

3.（2024上海高考真題）下列函數(shù)的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

4.（2024全國(guó)高考真題）已知85（。+尸）=機(jī)/211。12114=2,貝Ucos（a-4）=（）

mm

A.—3mB.----C.—D.3m

33

已知siMa-y^uLcosasin^u，，貝ljcos(2a+20=()

5.（2023全國(guó)高考真題）

36

1c,-1

A.-B.D.-1

9999

已知Ova〈乃，cosy=^y-,則sin[a—一

6.（2025全國(guó)高考真題）

V2「30D.述

A.—B.----c.

105----------------------------1010

7.（2025北京高考真題）設(shè)函數(shù)/（x）=sin?x+cos5（G＞。），若/（%+兀）=/（%）恒成立，且了（九）在0,：

上存在零點(diǎn)，則。的最小值為（）

A.8B.6C.4D.3

二、多選題

8.（2025全國(guó)高考真題）已知VA5C的面積為工，若8524+8525+25m。=2,以）$48550皿。=工，則

44

()

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=y/l

C.sinA+sinBD.AC2+BC2=3

2

三、填空題

9.(2023上海高考真題)已知tani=3,貝|tan2a=.

10.（2024全國(guó)高考真題）已知。為第一象限角，夕為第三象限角，tan^+tan/=4,

tanatan力=^2+1,貝!Jsin(a+(3)=.

11.(2024全國(guó)高考真題)函數(shù)f(%)=sin%-6cos尤在［0,兀］上的最大值是.

四、解答題

12.(2023北京高考真題)設(shè)函數(shù)/0)=$111。％800+(3003^^0(。〉0,|9|<'|］.

(1)若/(0)=一求。的值.

⑵已知/(無(wú))在區(qū)間［-丁TT52兀］上單調(diào)遞增，(9可71\J=l，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇

一個(gè)作為已知，使函數(shù)/(X)存在，求0，。的值.

條件①：/5)=血；

條件②：3=

7TTT

條件③：/(尤)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

參考答案

1.D

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因?yàn)閏osa=l-2sin24=l±^5,而a為銳角,

ccqci

【分析】先將一弦化切求得tana,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【詳解】因?yàn)閏°sa=布,

cosa-sma

所以---=A/3,=>tana=1-^-，

1-tana3

一一」(兀、tana+1G,

所以tana+—=----------=2^3-1,

I4J1-tana

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】對(duì)A,sinx+cosx=Ain[x+：],周期7=2兀，故A正確；

19jr

對(duì)B,sinxcosx=—sin2無(wú)，周期7=—=n,故B錯(cuò)誤；

22

22

對(duì)于選項(xiàng)C,sinx+Cos^=l,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；

27r

對(duì)于選項(xiàng)D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期丁=萬(wàn)=兀，故D錯(cuò)誤，

故選：A.

4.A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosccos/7,sinasin分的關(guān)系，結(jié)合tanatan/的值可求前者，故可求

cos(a-⑶的值.

【詳解】因?yàn)閏os(a+/7)=機(jī)，所以cosacos尸一sinasin/7=m,

而tanatan分=2,所以5111251114=28528$/7,

故cosacosp—2cosacos尸二加即cosacos/3=—m,

從而sinasin=-2m,故cos(a-7?)=-3根，

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+￡),再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.

111

【詳解】因?yàn)閟in(a-/)=sinacos〃一cosasin/?=—,而cosasin￡=—,因此sinacos，=—,

362

2

貝Usin(cr+4)=sinacos[3+cosasinj3=—,

2i

所以cos(2a+2/3)=cos2(a+y0)=l-2sin2(cr+y0)=l-2x(—)2=—.

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法

(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)

系.解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).

(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角

相同或具有某種關(guān)系.

(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍.

6.D

34

【分析】利用二倍角余弦公式得cosa=-貝ijsina=],最后再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得到答案.

因?yàn)?<a<?,則貝1Jsina=—cos?a='1一[一gJ=g，

.(吟.n.萬(wàn)4忘(3)忘7點(diǎn)

貝mi！lJsina=sinacoscos。sin—=一x——x=.

14)4452(5)210

故選：D.

7.C

【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點(diǎn)即可求解.

【詳解】函數(shù)/'(x)=sin0x+cos0x=&sin(ox+：[(0>°),

設(shè)函數(shù)/(x)的最小正周期為T,由『(尤+兀)=/(%)可得上T=eN*),

所以T=&=?,(%eN*),即0=2%,億eN*)；

又函數(shù)小)在0，z上存在零點(diǎn)，且當(dāng)XC0,-時(shí)，0X+片-

所以詈無(wú)'即

綜上，。的最小值為4.

故選：C.

8.ABC

TT

【分析】對(duì)cos2A+cos23+2sinC=2由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確，方法一分情況比較A+3和；的

大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，利

用和差化積公式，回避討論過(guò)程；，然后利用cosAcosBsinC=J算出取值，最后利用三角形面積求出

三邊長(zhǎng)，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).

【詳解】cos2A+cos2B+2sinC=2,由二倍角公式，l-2sin2A+l-2sin2B+2sinC=2,

整理可得，sinC-sin2A+sin2B-A選項(xiàng)正確；

由誘導(dǎo)公式，sin(A+B)=sin(7t-C)=sinC,

展開可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B,

即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0,

下證C=g.

2

方法一：分類討論

IT

若A+B=5，貝!IsinA=cos氏sinB=cosA可知等式成立；

TTIT

若A+3<5，即由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，sinA<cosB,同理sin^vcosA,

XsinA>0,sinB>0,于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0,

與條件不符，則A+不成立；

2

TTTT

若A+5>—,類似可推導(dǎo)出511171(511124—853)+51113(51118—8524)>0,則A+5>—不成立.

22

TTTT

綜上討論可知，A+B=~,即。=.

2：27

方法二：邊角轉(zhuǎn)化

sinC=sin?A+sir?3時(shí)，由Ce(0,7t),則sinCe(0,l],

于是lxsinC=sin2A+sin2B>sin2C,

由正弦定理，a2+b2>c2,

TT

由余弦定理可知，cosC>0,則CE(0,—I，

2

若Cw(0,5),JU)]A+B>—,注意到cosAcos5sinC=a,則cosAcos_B>。,

于是cosA>0,cos3>0(兩者同負(fù)會(huì)有兩個(gè)鈍角，不成立)，于是4,8€(0,今)，

結(jié)合A+B>工oA>二一8,而A,四-8都是銳角，則sinA>sin|g-B|=cos8>。，

222V2)

于是sinC=sin?A+sin?8>cosn8+sin?8=1,這和sinC<l相矛盾，

故Ce(O,會(huì)不成立，則C=]

方法三：結(jié)合射影定理(方法一改進(jìn))

由sinC=sin2A+sii?與，結(jié)合正弦定理可得，c=asinA+bsmB,由射影定理可得c=〃cosB+bcosA,于

是asinA+Z?sinB=acosB+bcosA,

TT

貝iJa(sinA—cos5)+6(sin5—cosA)=0,可同方法一種討論的角度，推出A+B=],

方法四：和差化積(方法一改進(jìn))

續(xù)法三：

cz(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0,可知sinA-cos3,sin5-cosA同時(shí)為0或者異號(hào)，即

(sinA-cosB)(sinB-cosA)<0,展開可得，

sinAsinB-sinAcosA—cosBsinB+cosAcosB<0,

BPcos(A-B)-1(sin2A+sin2B)<0,結(jié)合和差化積，cos(A-B)(1-sin(A+B))<0,由上述分析，

A,BE[。,,],則A—2，,],則cos(A—5)20,則1—sin(A+8)W0,即sinCZl,于是sinC=l,可

知C=K

2

1711

由cosAcos5sinC=—=cosAcos5,由A+5=—,則cos5=sinA,即sinAcosA=—,

424

貝|sin2A」，同理sin2B=L由上述推導(dǎo)，A,Be|0,5|,貝12A,23e(0,兀)，

22I

7TSirTVSir

不妨設(shè)A<B,則2A=F，22=^,即A=N，B=?，

661212

由兩角和差的正弦公式可知sin—+sin—=巫-詆+后+后=",C選項(xiàng)正確

1212442

由兩角和的正切公式可得，tan1^=2+0，

設(shè)BC=f,AC=(2+道/，則AB=(0+n)f,

由工ABC=B(2+6)/=：，貝卜第]，貝卜="，

k72

于是AB=(巫+拒)t=0,B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，AC2+BC2=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

c

(2+73)/

B

g+娓)t

故選：ABC

【分析】由正切的倍角公式求解

2tan。2x33

【詳解】已知tana=3,貝ijtan2a=

1-tan2a1-324

故答案為：-：3

4

10.

3

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan(a+￡)=-2及，再縮小a+￡的范圍，最后結(jié)合同角的

平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tanor+tan4

由題意得tan(a+0==-2五

【詳解】法一:1-tanatan(31-(A/2+1)

因?yàn)閍￡12bi,24兀+曰卜4w12mn+兀,2mn+3兀j,k,meZ,

2

貝Ija+尸￡((2%i+2左)兀+兀,(2m+2左)兀+2兀)，k,meZ,

又因?yàn)閠an(a+4)=一2五<0,

則月((

a+ef2m+2^)7i+,2m+2k)7i+2Kj,k,meZ,貝(Jsin(a+/?)<0,

則::Db-28,聯(lián)立sin2(a+p)+cos2(a+p)=l,解得sin(a+￡)=-半.

法二：因?yàn)閍為第一象限角，￡為第三象限角，貝i]cosa>0,cos￡<0,

cosa1ncos/-1

Vsin2cr+cos2avl+tan2a^/sin2f3+cos2/3^/1+tan2(3

貝Usin(cr+/3)=sinacos(3+cosasin6=cosacos/?(tana+tanp)

_An_-4_—4__4_2J

=4coscccosp——/廠=r=-/=?=-/，)=-------

A/1+tan2+tan2/3^/(tana+tan/?)2+(tanatanp-1)2v42+23

故答案為：-漢1.

3

11.2

【分析】結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.

【詳解】/(X)=sinX-A/3cosX=2sin-y,當(dāng)xe[0,兀]時(shí)，x-ye-

當(dāng)=!時(shí),即x冷時(shí)，/(X)3=2.

故答案為：2

71

12.(D^=-j.

jr

(2)條件①不能使函數(shù)/(x)存在；條件②或條件③可解得。=1,夕=-+.

7T

【分析】(1)把尤=0代入/'(X)的解析式求出sin。，再由|夕|<金即可求出。的值；

jr27r

(2)若選條件①不合題意；若選條件②，先把/'(x)的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)/(X)在-§,彳上的單調(diào)性及

函數(shù)的最值可求出T,從而求出。的值；把。的值代入了。)的解析式，由