4.2認識一次函數(shù)

第2課時一次函數(shù)與正比例函數(shù)

01學習目標

I.理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，能識別并寫出一次函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式.

2.能根據所給條件，確定簡單實際問題中一次函數(shù)（特別是正二匕例函數(shù)）的表達式.

3.經歷從實際問題中抽象出函數(shù)模型的過程，體會數(shù)學建模和分類討論的思想.

學習重點：掌握一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念；根據所給條件寫出簡單的一次函數(shù)關系式.

學習難點：一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系；從實際問題中抽象出函數(shù)模型.

學習過程

第一環(huán)節(jié)自主學習

溫故知新：

I.函數(shù)的概念是什么？

一般地，如果在一個變化過程中有x和），，并且對于變量x的每一個值，變量y都有

與它對應，那么我們稱,其中x是自變量.

2.函數(shù)的表示方法有哪些？

新知自研：自研課本P8LP82頁的內容，思考:

【學法指導】

情景引入

在彈簧限度內，某彈簧的長度y（單位：cm）與所掛物品的質量x（單位：kg）的關系如下表所示:

x/kg012345

y/cm3.03.54.04.55.05.5

（1）隨著所掛物體質量x的增加，彈簧長度），的增長是均勻的嗎?

（2）你能寫出），與x之間的關系嗎？并說明理由.

【分析】因為所掛物品每增加1kg.彈簧長度都增長.

又因為彈簧長度y=+單位質量增長的長度.

所以產,y是工的.

?探究一：認識一次函數(shù)的現(xiàn)象（一）

町.某輛汽車油箱中原有油40L,汽車每行駛50km耗油4L.

（1）完成下表:

汽車行使路程x/km

050100150200300

耗油量

y/L

（2）你能寫出），與％的關系嗎？

【解答】：每行駛1也?耗油,所以），與x的關系式為：.

（3）你能寫出油箱剩余油量z（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關系嗎？

【解答】：油箱剩余油量z（L）等于-.

所以z與x之間的關系式為：.

眼思考：在上面的情境中，我們得到：y=0.5x+5,y=^：x,z=40-^x他們有什么共同的特征？

DU

共同特征：（1）都是含有變量的等式；（2）變量的次數(shù)都是；（3）自變量x的系數(shù)；

團3.總結歸納：

▲1.一次函數(shù)的概念（知識歸納）：

如果兩個變量x、y之間的對應關系可以表示成（為常數(shù)，和）的形式，那么稱y

是上的一次函數(shù).

特別地，當時，稱），是x的.即正比例函數(shù)可以表示為（知）.

【注意】：對一次函數(shù)而言，自變量每增加1,函數(shù)值就增加上函數(shù)值的變化是“''的.

▲2.確定一次函數(shù)關系式的步驟（知識歸納）；

（1）確定變量，明確與因變量

（2）尋找,可以直接將公式當做等量關系；

（3）將等式變形，寫成一次函數(shù)的一般形式.

【例題導析】

自研下面典例的內容，回答問題：

典例分析

例I：寫出下列各題中），與X之間的關系式，并判斷：），是否為X的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？

（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程為M而2）與行駛時間x（〃）之間的關系；

【解析】由路程=x時間，則,

（2）圓的面積y（cm?）與它的半徑工（cm）之間的關系.

【解析】由圓的面積公式，得

（3）某水池有水15m3現(xiàn)打開注水管進水，進水速度為5m3/h,xh后這個水池有水y

【解析】這個水池每時增加5m3水，xh增加水，

例2:在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過1s其速度減少355防.

（1）假設該汽車以120km/h的速度行駛，試寫出該汽車剎車后的速度），（單位km/h）與剎車后所經過的時

間i（單位：s）之間的關系式產什出并說明A和b的實際意義：

【解析】剎車開始時汽車的速度為120km/h,每過Is其速度減少35km/h,

于是經過ts汽車的速度減少kni/h,所以y與t的關系式是,

其中，展表示，b=表示.

（2）求出（I）中汽車從剎車到停止所需的時間.

【脩析】汽車停止時速度產,

列方程得：________________________

解得：.

因此，該汽車從剎車到停止所需時間大約為.

第二環(huán)節(jié)合作探究

小組群學

在細鄒滯?下：

A.探討一次函數(shù)與正比例函數(shù)的特征，總結一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義；

B.交流例題的解題思路和易錯點.

C.相互檢查導學內容的完成書寫情況并給出等級評定.

庫鞏固練習

1.下列函數(shù)中，y是工的一次函數(shù)的是（）

①尸v?6②汽③汽④產7-x

A.①②③B.①④C,①③④D.②③④

2.在函數(shù)y={m-2.十（〃產?4）中，當時，y是x的一次函數(shù)；當〃?=時，）時x的正比

例函數(shù).

3.某種大米單價是3.8元7kg,當購買xkg大米時，需要花費為），元，），是X的一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)

嗎？

【解答】

4.如圖，甲、乙兩地相距500km,一列''復興號”動車組列車從乙地出發(fā)，以350km/h的速度向丙地行駛.設

x（單位：h）表示列車行駛的時間，N單位：5?）表示列車與甲地之間的距離.

^350km//>

甲乙丙

（1）寫出y與工之間的關系式，并判斷），是否為x的一次函數(shù)；

（2）當尸0.5時，求），的值.

04提升專練

題型一：一次函數(shù)的概念

1.下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）

1,

A.\y\=-B.y=2C.y=x+x-D..y=3(x-2)

2.下列是y關于x的函數(shù)，其中是一次函數(shù)的為（）

1

A.y=2r+4B.y=-+2C.y=-2x+]D.y=kx+b

3.下列函數(shù)中是一次函數(shù)關系的是（）

A.y=~lB.），=/-1

C.y=（X-1）（x+2）D.y=2x-1

4.下列函數(shù)不是一次函數(shù)的是（）

6X

y=-y=-Cy--

XB.28A-D.y=-0.5x-1

A.

5.下列函數(shù)中，），是x的一次函數(shù)的有（）

@y=x-6；②y=2?+3；③尸點④尸上；⑤尸五.

A.I個B.2個C.3個D.4個

題型二：利用一次函數(shù)的定義求字母的值

6.若函數(shù)），=?+2）x+5是一次函數(shù)，則攵應滿足的條件為（）

A.k>-2B.k<-2CfD.k=-2

7.若y關于x的函數(shù)y=（m-2?m2-3+27n-i是一次函數(shù)，則機的值為（）

A.±2B.2C.-2D.1

8.已知函數(shù)尸（加+1）/-叫4,y是x的一次函數(shù)，則加的值是.

9.已知函數(shù)），=a-2）/2—3+8是關于X的一次函數(shù)，則出的值為

10.（2024春?大武口區(qū)期末）已知函數(shù)），=-2）/網+m+7.

（1）當機為何值時，y是x的一次函數(shù)？

（2）若函數(shù)是一次函數(shù)，則x為何值時，），的值為3?

題型三：正比例函數(shù)的概念

11.在下列函數(shù)中是正比例函數(shù)的是（）

A.y=3x-4B.y=-2x+\C.y=3xD.尸3?+2

12.下列問題中，兩個變量成正比例的是（）

A,圓的面積和它的半徑

B.長方形的面積一定時，它的長和寬

C.正方形的周長與邊長

D.三角形的面積一定時，它的一條邊長與這條邊上的高

13.下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（）

A.y=4x-1B.y=5rC.y=D.y=-6x

14.下列式子中，哪個表示），是x的正比例函數(shù)（）

A.y=-O.LvB.）=|C.），=2?D.)?=4x

15.下列函數(shù)中，是一次函數(shù)但不是正比例函數(shù)的是（）

題型四：利用正比例函數(shù)的概念求字母的值

16.（2024春?滄縣期末）如果y=x+2a-I是正比例函數(shù)，則a的值是（）

11

A.-B.0C.-4D.-2

22

17.若），關于x的函數(shù)），=（a-4）盧力是正比例函數(shù)，則a,b應滿足的條件是（）

A.存4且b*0B.存-4且〃=0C.a=4且〃=0D.分4且〃=0

18.若函數(shù)＞，=/川+（6+1）是正比例函數(shù)，則〃?的值為（）

A.IB.-1C.±1D.0

19.已知產人」》“是關于x的正比例函數(shù)，則加的值為（）

A.2B.1C.0或2D.0

20.已知y=(in-2)x+|/?/|-2.

（I）m滿足什么條件時,y=（m-2）x+\m\-2是一次函數(shù)?

（2），〃滿足什么條件時，y=（m-2）刈詞-2是正比例函數(shù)?

題型五：由實際問題確定一次函數(shù)的表達式

21.某小汽車的油箱可裝汽油30升,原有汽油10升,現(xiàn)再加汽油x升.如果每升汽油7.6元,求油箱內

汽油的總價y（元）與x（升）之間的函數(shù)關系是（）

A.y=1,6x（0<Y<20）B.），=7.6x+76（0<v<20）

C.），=7.6x+10（0<r<20）D.），=7.6x+76（10<x<30）

22.如圖，一長為5〃?，寬為2〃？的長方形木板，現(xiàn)要在長邊上截去長為笛〃的一部分，則剩余木板的面積

（空白部分）y（〃？）與x（”）的函數(shù)關系式為（0SrV5）（）

X

A.y=10-xB.y=5xC.y=2xD.y=-2x+10

23.一個長為120米，寬為100米的矩形場地要擴建成一個止方形場地，設長增加了米，寬增加y米，則

y與x的函數(shù)關系式是,自變量的取值范圍是，且y是x的函數(shù).

24.已知等腰三角形的周長為12,設腰長為工，底邊長為y.

（1）試寫出），關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）當x=5時，求出函數(shù)值.

25.一根長度為的彈簧，一端固定.如果另一端掛上物體，在正常的彈性限度內，所掛物體質量每

增加I依時，彈簧長度增加2cm,完成下列問題：

①當掛物體重3依時，彈簧總長度為，

②在正常的彈性限度內，如果用x表示所掛物體質量（單位打），那么彈簧的總長度是多少厘米?

③在正常的彈性限度內，若彈簧的總長度為40。〃，那么它掛的物體質量是多少千克？

05隨堂筆記

▲i.一次函數(shù)的概念（知識歸納）：

如果兩個變量X、y之間的對應關系可以表示成:為常數(shù)，M）的形式，那么

稱），是x的一次函數(shù).

特別地，當_________時，稱），是x的.即正比例函數(shù)可以表示為（______川）.

▲2.確定一次函數(shù)關系式的步驟（知識歸納）：

（1）確定變量，明確與因變量y；

（2）尋找,可以直接將公式當做等量關系；

（3）將等式變形，寫成一次函數(shù)的一般形式.

4.2認識一次函數(shù)

第2課時一次函數(shù)與正比例函數(shù)

學習目標

I.理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，能識別并寫出一次函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式.

2.能根據所給條件，確定簡單實際問題中一次函數(shù)（特別是正比例函數(shù)）的表達式.

3.經歷從實際問題中抽象出函數(shù)模型的過程，體會數(shù)學建模和分類討論的思想.

學習重點：掌握一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念；根據所給條件寫出簡單的一次函數(shù)關系式.

學習難點：一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系；從實際問題中抽象出函數(shù)模型.

02學習過程

第一環(huán)節(jié)自主學習

溫故知新：

1.函數(shù)的概念是什么？

一般地，如果在一個變化過程中有兩仝變量j和卜并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值

與它對應，那么我們稱丫是x的函數(shù),其中工是自變量.

2.函數(shù)的表示方法有哪些？

圖象法、列表法、關系式法.

新知自研：自研課本P8LP82頁的內容，思考:

【學法指導】

情景引入

在彈簧限度內，某彈簧的長度y（單位：cm）與所掛物品的質量x（單位：kg）的關系如下表所示:

Wkg012345

y/cm3.03.54.04.55.05.5

（1）隨著所掛物體質量x的增加，彈簧長度），的增長是均勻的嗎?

隨著所掛物體質量X的增加，彈簧長度V的增長是均勻.

（2）你能寫出），與x之間的關系嗎？并說明理由.

【分析】因為所掛物品每增加1代,彈簧長度都增長0.5cm.

乂因為彈簧長度丫=初始長度+單位質量增長的長度.

所以y=0.5x+3,y是x的函數(shù).

?探究一：認識一次函數(shù)的現(xiàn)象（一）

團1.某輛汽車油箱中原有油40L,汽車每行駛50km耗油4L.

（1）完成下表:

汽車行使路程/km

x050100150200300

耗油量y/L048121624

（2）你能寫出），與工的關系嗎？

【解答】：每行駛1k”耗油，所以），與x的關系式為：v=由,

（3）你能寫出油箱剩余油量z（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關系嗎？

【解答】：油箱剩余油量z（L）等于原有油量-行駛xh一耗油曷y.

所以z與x之間的關系式為：z=40一上x.

50

阻思考：在上面的情境中，我們得到：y=0.5x+3fy=^x,z=40-/r他們有什么共同的特征？

共同特征：（1）都是含有西仝變量的等式；（2）變量的次數(shù)都是二次；（3）自變量x的系數(shù)都丕為Q

國3“總結歸納：

▲1.一次函數(shù)的概念（知識歸納）：

如果兩個變量X、），之間的對應關系可以表示成巨基地（空為常數(shù)，衛(wèi)視）的形式，那么稱「是工的

一次函數(shù).

特別地，當b=0時,稱），是X的正比例函數(shù).即正比例函數(shù)可以表示為產八（k找）.

【注意】：對?次函數(shù)而言，自變量每增加1,函數(shù)值就增加k函數(shù)值的變化是“均勻”的.

▲2.確定一次函數(shù)關系式的步驟（知識歸納）：

（1）確定變最，明確自變顯x與因變顯V；

（2）尋找等量關系,可以直接將公式當做等量關系；

（3）將等式變形，寫成一次函數(shù)的一般形式.

【例題導析】

自研下面典例的內容，回答問題：

典例分析

例1：寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？

（1）汽車以60kni/h的速度勻速行駛，行駛路程為與行駛時間M/?）之間的關系；

【解析】由路程=速度x時間,則y=60x,

則y是x的一次函數(shù)，也是x的正比例函數(shù).

（2）圓的面積y（cm?）與它的半徑x（cm）之間的關系.

【解析】由圓的面積公式，得y==.

則y不是x的止比例函數(shù)，也不是x的一次函數(shù).

（3）某水池有水15m?，，現(xiàn)打開送水管進水，進水速度為5m3/h,xh后這個水池有水y

【解析】這個水池每時增加5m3水，xh增加5xn?水,

因而V=5X+15,Y是式的一次函數(shù)，但不是x的正比例函數(shù).

例2:在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過15其速度減少35km/h.

（1）假設該汽車以120km/h的速度行駛，試寫出該汽車剎車后的速度），（單位km/h）與剎車后所經過的時

間：（單位：s）之間的關系式尸燈+兒并說明出和b的實際意義：

【解析】剎車開始時汽車的速度為120km/h,每過1s其速度減少35knVh,

F是經過/s汽車的速度減少迎km/h,所以y與t的關系式是v=-35/+120.

其中，--35表示每秒汽表速度的變化量,-120表示剎車開始時汽車的速度.

（2）求出（1）中汽車從剎車到停止所需的時間.

【解析】汽車停止時速度產

列方程得：0--35/+120,

解得：z=^3.43s.

因此，該汽車從剎車到停止所需時間大約為辿.

第二環(huán)節(jié)合作探究

小組群學

初紹儂雌蝦：

A.探討一次函數(shù)與正比例函數(shù)的特征，總結一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義；

B.交流例題的解題思路和易錯點.

C.相互檢查導學內容的完成書寫情況并給出等級評定.

庫鞏固練習

1.下列函數(shù)中，），是工的一次函數(shù)的是（B）

①尸16②尸：③），《④產7-x

A.①②③B.①④C.①③④D.②③④

2.在函數(shù)y=（m-2）%+（〃產一4）中,當時,y是x的一次函數(shù);當m=-2時,y時x的正比例函數(shù).

3.某種大米單價是3.8元7kg,當購買xkg大米時，需要花費為），元，），是x的一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)

嗎？

【解答】解：由總價=單價x數(shù)量，得出產2.2x；

那么y是x的一次函數(shù)，y也是x的正比例函數(shù).

4.如圖，甲、乙兩地相距500km,一列'‘復興號''動車組列車從乙地出發(fā)，以350km/h的速度向丙地行駛.設

x（單位：h）表示列車行駛的時間，.v（單位：加。表示列車與甲地之間的距離.

?350km/月

甲乙丙

（1）寫出），與x之間的關系式，并判斷），是否為％的一次函數(shù)：

【解答】：解:根據題意得y=350x+500,

則1y是x的一次函數(shù).

（2）當尸0.5時，求y的值.

當F0.5時，尸350x0.5+500=675（km/h）.

04提升專練

題型一：一次函數(shù)的概念

i.下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）

A.卜|=2B.y=2C.），=1+/D.y=3（x-2）

【分析】利用一次函數(shù)的定義“一般地，形如y=心十。（以0,k、。是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)逐

分析四個選項的函數(shù)，即可得出結論.

【解答】解：A.b1=3不是一次函數(shù)，選項A不符合題意：

B.），=2,不是一次函數(shù)，選項4不符合題意；

C.y=x+.x2,不是一次函數(shù)，選項C不符合題意；

D.y=3（x-2）,是一次函數(shù)，選項。符合題意.

故選：O.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，掌握一次函數(shù)的定義是解題的關鍵.

2.下列是y關于x的函數(shù)，其中是一次函數(shù)的為（）

A.y=2r+4B.y=：+2C.）,=-2x+lD.y=kx+b

【分析】根據一次函數(shù)的定義及表達式逐一判定即可求解.

【解答】解：入選項，y—Zd+4是y關于;v的二次函數(shù)，不符合題意；

8選項，y=i+2,y不是x的一次函數(shù)，不符合題意；

C選項，y=-2r+l是），關于x的一次函數(shù)，符合題意；

。選項，y=丘+〃中k的值不確定，不能判定，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)的定義，掌握一次函數(shù)的定義及表達式是解題的關鍵.

3.下列函數(shù)中是一次函數(shù)關系的是（）

2

A.y=--B.），=/9-1

C.y=（x-1）（x+2）D.y=2x-1

【分析】根據?次函數(shù)的定義對每個選項進行分析即可.

【解答】解：A.函數(shù)y=-，是反比例函數(shù)，不是一次函數(shù)，不符合題意；

B.函數(shù)），=7-I是二次函數(shù)，不是一次函數(shù)，不符合題意；

C.函數(shù)），=（x-1）（K+2）=JC+X-2,不是一次函數(shù)，不符合題意；

D.函數(shù)｝，=公?1是一次函數(shù)，符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的概念，熟記“形如>，=履+6（k、〃為常數(shù)，原0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).

4.下列函數(shù)不是一次函數(shù)的是（）

A.y=-B.y=5C.y=-8xD.y=-0.5x-1

X4

【分析】根據一次函數(shù)的一般形式：y=k.x+ba,人為常數(shù)且存0）,逐一判斷即可解答.

【解答】解?：A、是反比例函數(shù)，故A符合題意；

B、尸率是正比例函數(shù)，也是一次函數(shù)，故8不符合題意；

C、y=-8相是正比例函數(shù)，也是一次函數(shù)，故。不符合題意：

D.y=-0.5x-I,是一次函數(shù)，故。不符合題意；

故選:A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義是解題的關鍵.

5.下列函數(shù)中，），是x的一次函數(shù)的有（）

&y=x-6；②），=2/+3；③.y=*④）,=標⑤產收

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】一般地，形如（原0,攵、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).

【解答】解：y是x的一次函數(shù)的有：?.v=x-6,④），=親?，共2個，

故選:B.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)解析式的結構特征為：原0；自變品的次數(shù)為1；常數(shù)

項b可以為任意實數(shù).

題型二：利用一次函數(shù)的定義求字母的值

6.若函數(shù)），=a+2）x+5是一次函數(shù)，則上應滿足的條件為（)

A.k>-2B.k<-2C.片?2D.k=-2

【分析】根據一次函數(shù)定義可得上+2#）,再解不等式即可.

【解答】解：由題意得：A+2M,

解得:厚-2,

故選：C.

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如y=h+8（"3k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫

做一次函數(shù)是解題的關鍵.

7.若y關于x的函數(shù)、=（小一2）產12-3+2小一1是一次函數(shù)，則〃?的值為（）

A.±2B.2C.-2D.1

【分析】根據一次函數(shù)的定義，形如.y="+/>（嚀0）,進行列式計算，即可作答.

【解答】解：???），關于x的函數(shù)丫=（根—2）”12-3+26一1是一次函數(shù)，

2和，n?-3=1,

:.tn包,in=±2,

即in=-2.

故選：C.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握定義是解答本題的關鍵.

8.已知函數(shù)），=（加+1）/力”+4,y是x的一次函數(shù)，則小的值是.

【分析】根據一次函數(shù)的定義知自變量的次數(shù)為1且其系數(shù)不為0,據此求解可得.

【解答］解：>'=（〃?+1）/力川+4是關于x的一次函數(shù)，

（m+1*0

A（2-|m|=1*

解得：〃?=1.

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握形如），="+〃（原0）（鼠〃是常數(shù)）的函數(shù)，

叫做一次函數(shù).

9.已知函數(shù)），=（火-2）工小一3+8是關于x的一次函數(shù)，則火的值為.

【分析】根據一次函數(shù)的定義列出關于左的不等式組，求出k的值即可.

【解答】解：?.?函數(shù)）=（八2）/2-3+8是關于X的一次函數(shù)，

（k-2^0

，，U2-3=1，

?,/=-2.

故答案為：k=-2.

【點評】本題考查的是一次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如丁=履+人（原0,&、人是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一

次函數(shù)是解題的關鍵.

10.（2024春?大武口區(qū)期末）已知函數(shù)），=（〃?-2）X3-網+5+7.

（1）當〃?為何值時，是x的一次函數(shù)？

（2）若函數(shù)是一次函數(shù)，則%為何值時，y的值為3?

【分析】（1）根據一次函數(shù)丁=履+〃的定義條件是：&、〃為常數(shù)，原0,自變量次數(shù)為1,可得答案；

（2）根據自變量與函數(shù)值的電應關系，可得答案.

【解答】解:⑴由尸（m-2）/叫加+7是一次函數(shù)，得

[3-|m|=l

Im-2Ho'

解得m=-2.

故當m=-2時，y=（〃?-2）/一叫/〃+7是一次函數(shù)；

（2）當y=3時,3=-4x+5,解得

故當時，y的值為3.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)），=履+人的定義條件是：Ab為常數(shù),后0,自變量

次數(shù)為1.

題型三：正比例函數(shù)的概念

11.在下列函數(shù)中是正比例函數(shù)的是（）

A.y~3x-4B.y~-2x+\C.y~3xD.y~3x2+2

【分析】利用正比例函數(shù)的定義對各選項進行判斷.

【解答】解：A.y=3.r-4為一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，所以4選項不符合題意；

8.），=-2x+l為一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù)，所以B選項不符合題意；

C,y=3x是正比例函數(shù)，所以。選項符合題意；

D.），=3?+2為二次函數(shù)，所以。選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義：一般地，形如），=依a是常數(shù)，上（））的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，

其中k叫做比例系數(shù).

12.下列問題中，兩個變量成正比例的是（）

A.圓的面積和它的半徑

B,長方形的面積一定時，它的長和寬

C.正方形的周長與邊長

D.三角形的面積一定時，它的一條邊長與這條邊上的高

【分析】根據正比例函數(shù)的定義解決此題.

【解答】解：A.設圓的半徑為r,面積為S,則5=兀/,那么S與「不是正比例關系，故4不符合題意.

從設長方形的面積為小長為尤，寬為.則。那么工與y成反比例函數(shù)關系，故4不符合題意.

C,設正方形的邊長為M周長為C,那么C=4r,那么。與「成正比例關系，故C符合題意.

。.設三角形的面積為S,它的一-條邊長與這條邊上的高分別為工與戶則S=axy,那么X與〉，是反比例

關系，故。不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查正比例函數(shù)關系，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解決本題的關鍵.

13.下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（）

o20

A.y=4x-1B.），=5廣C.y=—D.y=-6x

【分析】根據正比例函數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：A.y是x的一次函數(shù)，所以A選項不符合題意；

B.），是x的二次函數(shù)，所以4選項不符合題意；

C.『是x的反比例函數(shù)，所以C選項不符合題意；

D.），是x的正比例函數(shù)，所以D選項符合題意.

故選：O.

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，掌握“一般地，形如），=依（2是常數(shù)，%0）的函數(shù)叫做正比例

函數(shù)，其中左叫做比例系數(shù)”是解題的關鍵.

14.下列式子中，哪個表示），是/的正比例函數(shù)（）

A.y=-O.LvB.）=[C.y=2rD.y2=4x

【分析】根據正比例函數(shù)的定義（形如尸=辰，其中導0,k為常數(shù)）解決此題.

【解答】解：4根據正比例函數(shù)的定義，_），=-O.Lr是正比例函數(shù)，故4符合題意.

B.根據正比例函數(shù)的定義，），=?是反比例函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故8不符合題意.

C.根據正比例函數(shù)的定義，），=2?是二次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故C不符合題意.

D.根據正比例函數(shù)的定義，）2=4%不是正比例函數(shù)，故。不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查正比例函數(shù)，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解決本題的關鍵.

15.下列函數(shù)中，是一次函數(shù)但不是正比例函數(shù)的是（）

XD2「X-lnx2-l

AA.尸一2B.y=--c.y=--二D.>'=^―

【分析】根據一次函數(shù)的定義，可得答案.

【解答】解；A、是正比例函數(shù)，故A不合題意：

B、是反比例函數(shù)，故臺不合題意；

C、是一次函數(shù)，故C符合題意；

D、是二次例函數(shù)，故。不合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)），=履+〃的定義條件是：鼠。為常數(shù)，H0,自變量次數(shù)

為1.

題型四：利用正比例函數(shù)的概念求字母的值

16.（2024春?滄縣期末）如果y=x+2a-1是正比例函數(shù)，則a的值是（）

11

A.-B.0C.-4D.-2

22

【分析】根據正比例函數(shù)的定義可知2a-1=0,從而可求得。的值.

【解答】解：可=X+24-I是正比例函數(shù)，

???2a-1=0.

解得:

故選：A.

【點評】本題主要考查的是正比例函數(shù)的定義，由正比例函數(shù)的定義得到加-1=0是解題的關鍵.

17.若），關于X的函數(shù)y=（a?4）x+力是正比例函數(shù)，則a,b應滿足的條件是（）

A.且厚0B.存?4且〃=0C.。=4且〃=0D.日且〃=0

【分析】根據正比例函數(shù)的定義，即可得出關丁。的一元一次不等式及力-0,解之即可得出結論.

【解答】解：???），關于x的函數(shù)尸（〃-4）廣〃是正比例函數(shù)，

.ja—4w0

%=0，

解得：存4且/?=0.

故選：D.

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義，牢記正比例函數(shù)的定義是解題的關鍵.

18.若函數(shù)通例+(m+l)是正比例函數(shù)，則相的值為()

A.1B.-1C.±1D.0

【分析】根據正比例函數(shù)的定義列出關于機的方程組，求出加的值即可.

【解答】解：?.?函數(shù))，=/"+(77/4-1)是正比例函數(shù),

=1

bn+1=0'

解得m=-1.

故選:B.

【點評】本題考查的是正比例函數(shù)的定義，根據題意得出關于/〃的方程組是解題的關鍵.

19.已知產.刖F是關于X的正比例函數(shù)，則機的值為()

A.2B.1C.0或2D.0

【分析】根據％的次數(shù)為1,系數(shù)不等于0,計算即可.

【解答】解：根據題意得：

l/n-2工0

???加=0,

故選：

【點評】本題考杳了正比例函數(shù)的定義，解題時注意x的系數(shù)不等于0這個條件.

20.已知y=(m-2)x+|/??|-2.

(1)m滿足什么條件時，y=(m-2)x+\m\-2是一次函數(shù)?

(2)，〃滿足什么條件時，y=(m-2)x+制-2是正比例函數(shù)?

【分析】(1)利用一次函數(shù)定義可得〃??2川，再解不等式即可；

(2)利用正比例函數(shù)定義可得:H-2=0,且機?2和，再一方程可得m的值.

【解答】解：(1)由題意得：〃-2#),

解得：*2；

(2)由題意得：制-2=0,且m-2r0,

解得：/-〃=-2.

【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)和一次函數(shù)定義，關鍵是掌握形如丁=依a是常數(shù)，ATO)的函數(shù)叫

做正比例函數(shù).

題型五：由實際問題確定一次函數(shù)的表達式

21.某小汽車的油箱可裝汽油30升，原有汽油10升，現(xiàn)再加汽油x升.如果每升汽油7.6元，求油箱內

汽油的總價y（元）與x（升）之間的函數(shù)關系是（）

A.y=7Av（0<r<20）B.y=7.6x+16（0<v<20）

C.），=7.6x+10（0<r<20）D.），=7.6x+76（10<x<30）

【分析】