21.3二次函數(shù)與一元二次方程課程標準學習目標知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。課時1：①體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系：②理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系，會判斷何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數(shù)和沒有實根；③理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h(h是實數(shù))交點的橫坐標的關系，會運用二次函數(shù)解一元二次不等式。※課時2：由二次函數(shù)的圖象認識一元二次不等式的解集知識點01y=ax2+bx+c與x軸交點的個數(shù)與ax2+bx+c=0根的個數(shù)之間的關系一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其對應的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點坐標。利用判別式可以判斷二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸是否有交點：當>0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；當<0時，圖像與x軸沒有交點。y=ax2+bx+c(a≠0)圖象a>0a<0取y=0，ax2+bx+c=0：兩個交點：一個交點：無交點存在實數(shù)根x1<x2存在實數(shù)根x1=x2不存在實數(shù)根提示：根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的位置，可以判斷ax2+bx+c=0的近似解?！炯磳W即練1】若二次函數(shù)與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是．【答案】且【詳解】解：根據(jù)題意可得：且，解得：且；故答案為：且．【即學即練2】因為方程的根是，，所以拋物線與軸的公共點坐標是和．【答案】，，，【詳解】解：，，，，方程的根就是對應拋物線與軸的交點的橫坐標，拋物線與軸的公共點坐標是，，故答案為：，，，．【即學即練3】拋物線圖象如圖所示，求解一元二次方程的根為；

【答案】，【詳解】解：由圖象可得：拋物線與x軸的兩個交點為，∴方程的根為，，故答案為：，；【即學即練4】（22-23九年級上·山東東營·期末）如圖，已知拋物線的圖象與軸交于、兩點，其中點坐標，對稱軸為，則一元二次方程的解為．

【答案】【詳解】解：∵拋物線的圖象與軸交于、兩點，其中點坐標，對稱軸為，∴，∴當時，或6，∴一元二次方程的解為，故答案為：．知識點02二次函數(shù)與y=m(m是實數(shù))交點的情況與一元二次方程的關系一元二次方程ax2+bx+c=h的根是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=h(h是實數(shù))交點的橫坐標【即學即練5】拋物線圖象如圖所示，求解一元二次方程．

（1）方程的根為；（2）方程的根為；【答案】，【詳解】（1）解：由圖象可得：拋物線與直線的兩個交點為，∴方程的根為，，故答案為：，；（2）解：由圖象可得：拋物線與直線的一個交點為，∴方程的根為，故答案為：．知識點03二次函數(shù)與y=kx+b(k≠0，k、b是實數(shù))交點的情況與一元二次方程的關系y=ax2+bx+c(a≠0)與y=kx+b(k≠0)圖象的交點情況圖象令y值相等，ax2+bx+c=kx+b：兩個交點：一個交點：無交點存在實數(shù)根x1<x2存在實數(shù)根x1=x2不存在實數(shù)根【即學即練6】如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，B(1，3)，則方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．【答案】x1＝﹣3，x2＝1【詳解】解：∵拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣3，6），B（1，3），∴方程ax2＝bx+c的解為x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案為：x1＝﹣3，x2＝1．【即學即練7】（23-24九年級上·浙江溫州·期末）如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于兩點，則關于的方程的解為．

【答案】或【詳解】解：由圖象可知，、圖象的交點的橫坐標為和，當或時，，關于的方程的解為或，故答案為：或．※知識點04二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次不等式的關系y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點有兩個交點x1<x2有1個交點x1=x2=x0沒有交點a>0，

不等式y(tǒng)＞0和y＜0的解y＞0，x<x1或x>x2y＜0，x1<x<x2y＞0，x0之外所有實數(shù)y＜0，無實數(shù)解y＞0，所有實數(shù)y＜0，無實數(shù)解a<0，不等式y(tǒng)＞0和y＜0的解y＞0，x1<x<x2y＜0，x<x1或x>x2y＞0，無實數(shù)解y＜0，x0之外所有實數(shù)y＞0，無實數(shù)解y＜0，所有實數(shù)【即學即練8】（22-23九年級上·江蘇宿遷·期末）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一元二次不等式的解集是．

【答案】【詳解】根據(jù)題意，得一元二次不等式的解集是，故答案為：．【即學即練9】閱讀材料，解答問題：例：用圖象法解一元二次不等式：．解：設，則是的二次函數(shù)．拋物線開口向上．又當時，，解得．由此得拋物線的大致圖象如圖所示．

觀察函數(shù)圖象可知：當或時，．的解集是：或．（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：的解集是；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：．【答案】（1）-1<x<3；(2)x<1或x>3，作圖見解析.【詳解】(1)觀察圖象可以寫出直接寫出一元二次不等式：的解集是-1<x<3；(2)設,則y是x的二次函數(shù)，拋物線開口向下.當y=0時，解得：由此得拋物線的大致圖象如圖所示：觀察圖象可知：當x<1或x>3時，y<0；的解集是：x<1或x>3運用方程的思想拋物線與直線的交點坐標問題：（1）表示拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與直線y=kx+b(k≠0)的交點坐標：先令ax2+bx+c=kx+b，求交點的橫坐標；再代入直線，求交點的縱坐標.（2）表示拋物線與直線的截線長：先求拋物線與直線的交點坐標案例：在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸交于、兩點，與直線交于點、．表示AB的長：設，令y=0，，利用跟與系數(shù)的關系得，AB=；表示BC的長：設，令，得，，∴，BC=（3）表示拋物線與直線的截線段之間的等量關系（含參問題中即可轉化為絕對值方程進行解題）：題干中出現(xiàn)全等三角形、平行四邊形等隱含對應邊相等或對邊相等的條件。先求出交點坐標，再利用對邊相等建立方程解題案例：如圖，拋物線上的一個動點，直線上的一個動點，軸，作，交拋物線于另一點．若NMD為等腰三角形，求點的橫坐標.設點設點，則點的坐標為，．軸，，軸，關于直線對稱，點的橫坐標為，．，．分兩種情況：（i），解得或；（ii），解得或．綜上所述，點的橫坐標為2或或或．（4）表示出相關圖形的面積（含參問題中即可轉化為絕對值方程進行解題）①表示交點坐標；②表示截線長；③表示出三角形或四邊形的面積。提示：在二次函數(shù)與圖形的綜合問題中，涉及到動點問題，需要設動點的橫坐標為m，將橫坐標代入到二次函數(shù)表示縱坐標來解題。【題型一：求拋物線與x軸的交點坐標】例1．（22-23九年級上·陜西西安·期中）如果拋物線與軸的一個交點為，那么與軸的另一個交點的坐標是．【答案】【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸的一個交點為，拋物線與軸的另一交點坐標為，即．故答案為：．變式1.（23-24九年級上·安徽安慶·期末）規(guī)定：對于二次函數(shù)，我們把它的圖象與軸交點的橫坐標稱為二次函數(shù)的零點．已知二次函數(shù)只有一個零點且圖象開口向下，則該零點是（

）A． B． C．3 D．或3【答案】A【詳解】解：二次函數(shù)只有一個零點且圖象開口向下，，解得，故，將代入二次函數(shù)，得，令，解得．故選A．【解題技巧與方法】·根據(jù)判別式確定零點的情況·已知拋物線與x軸的一個交點求另一個交點：①利用二次函數(shù)的性質找出拋物線的對稱軸，再利用對稱性即可找出拋物線與x軸的另一交點坐標；②利用根與系數(shù)的關系。【題型二：函數(shù)圖象法確定一元二次方程的根】例2．已知二次函數(shù)中x和y的值如下表所示：x0.100.110.120.130.14y0.91.8若其圖象的對稱軸為直線，則的較大的根的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：∵時，；時，；∴的較小的根的范圍為，∵對稱軸為直線，∴的較大的根的范圍是，故選：C．變式2-1．已知二次函數(shù)中x和y的值如下表所示，根據(jù)表格估計一元二次方程的一個解的范圍是（

）xA． B． C． D．【答案】D【詳解】由可得：，根據(jù)表內數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：的值隨著x的增大而增大，且：當時，；當時，；∴一元二次方程的其中一個解x的范圍是，故選：D．【點睛】本題考查估算一元二次方程的解，是解本題的方法．【技巧方法與總結】觀察表中數(shù)據(jù)找到方程最接近0時x的取值范圍，利用“夾逼”思想求一元二次方程的近似解變式2-2．如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，，則方程的解是．【答案】，【分析】利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標．【詳解】解：由圖象可知，關于x的方程的解，就是拋物線（a≠0）與直線（b≠0）的兩個交點坐標分別為A(﹣3，6)，B(1，3)的橫坐標，即，．故答案為：，．【技巧方法與總結】利用二次函數(shù)與直線的圖象求方程的解：兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標。比如：方程的解，是拋物線（a≠0）與直線（b≠0）的兩個交點的橫坐標?！绢}型三：根據(jù)拋物線與x軸的交點情況求參數(shù)范圍】例3．（2023·山東東營·二模）關于的函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，則的取值范圍是．【答案】且【分析】關于的函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，則判別式，且二次項系數(shù)不等于，據(jù)此列不等式求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得且．故答案是：且．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)是常數(shù)，的交點與一元二次方程根之間的關系列不等式，解不等式組；根據(jù)一元二次方程判別式定理構建不等式組是解題的關鍵．變式3．已知在平面直角坐標系中有兩點，拋物線與線段有且只有一個交點，則k的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)與線段交點問題，解題關鍵是掌握二次函數(shù)性質與判別式，通過數(shù)形結合的方法求解．分兩種情況：當拋物線頂點落在線段上時，當拋物線頂點落在x軸下方時，分別求解即可．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，頂點坐標為，當拋物線頂點落在線段上時，如圖，∵拋物線與線段有且只有一個交點，∴，解得：；當拋物線頂點落在x軸下方時，當時，，當時，，∵拋物線與線段有且只有一個交點，∴或，解得：，綜上，k的取值范圍是或．故答案為：或．【方法技巧與總結】①利用二次函數(shù)與一元二次方程根的關系，結合判別式定理列不等式（組）求參數(shù)范圍；②利用數(shù)形結合分析圖象，必要時根據(jù)交點的位置進行分類討論?！绢}型四：求拋物線與直線的交點坐標和截線長】例4.如圖，在中，軸，軸，點A在拋物線上，點在軸正半軸上，點在拋物線上，過點A平行于軸的直線交拋物線于點，交拋物線于點，則的值為．【答案】【詳解】解：設點，根據(jù)題意，得點C縱坐標為，點E縱坐標為∵點在拋物線上∴點C橫坐標∴點A橫坐標∵點A在拋物線上，∴點A縱坐標∴點D縱坐標∵點在拋物線上∴點D橫坐標∴∵點E縱坐標為，點E在拋物線上，∴點E橫坐標∴∴故答案為：．變式4.（22-23九年級上·廣東廣州·期末）已知拋物線的頂點坐標是，圖象與x軸交于點和點C，且點B在點C的左側，那么線段的長是．（請用含字母m的代數(shù)式表示）【答案】【詳解】因為二次函數(shù)的圖象的頂點的橫坐標是1，所以拋物線對稱軸所在直線為，交x軸于點C，所以B，C兩點關于對稱軸對稱，因為點，且點B在點C的左側，所以，故答案為：例5．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為P，拋物線的對稱軸與x軸交于點M．問題：矩形ADEF的邊AF在x軸負半軸上，邊AD在第二象限，，，將矩形ADEF沿x軸正方向平移得到矩形，直線與直線分別交拋物線于點G、H．在平移過程中，是否存在以點、、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出平移距離；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)平移距離為或【詳解】（1）解:∵,∴,,∴,∴,∴,將點P坐標代入拋物線解析式得:,∴,∴拋物線解析式為．（2）存在，設平移的距離為m，∴，∴即，即，∵要使以點、、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形，且，∴∴或，∴平移距離為或．例6.（2024·安徽合肥·二模）如圖，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，頂點為D，直線與拋物線交于點是線段的中點．(1)求拋物線的解析式．(2)若點E的橫坐標是，求點M的坐標．(3)若，求四邊形的面積的最小值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：把點，代入，得解方程組，得拋物線的解析式為．（2）把代入，得，點E的坐標是．把點代入，得，，直線的解析式是．聯(lián)立方程組得，，，，點M的坐標是．（3）把代入，得，點C的坐標是，．，點D的坐標是．把與聯(lián)立方程組，得，，．如圖，連接．四邊形的面積為：．，當時，四邊形的面積有最小值，最小值為．【方法技巧與總結】根據(jù)點的坐標表示線段的長，然后建立方程求解?！绢}型五：含絕對值的二次函數(shù)與一元二次方程的關系綜合問題】例7．（2024·山東青島·一模）小明、小紅和小亮三位同學對問題“關于的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍”提出了自己的解題思路：［辨析與解答]小明說：“只需分類討論，將方程中的絕對值去掉，討論關于的一元二次方程根的情況．”小紅說：“用函數(shù)思想，設，只須在的取值范圍內．”小亮說：“可以數(shù)形結合，把方程兩邊分別看成關于的函數(shù)，利用函數(shù)圖像解決．”結合上述解題思路綜合考量，你認為他們所討論的問題的正確結論，即實數(shù)的取值范圍是______．請寫出你的解題過程．［應用與拓展]（1）如果關于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．（2）如果關于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】［辨析與解答]，過程見解析；［應用與拓展]（1）；（2）【詳解】解∶［辨析與解答]小明的方法：當時，原方程為，即，∵方程有實數(shù)根，∴，解得；當時，原方程為，即，∵方程有實數(shù)根，∴，解得，綜上，；小紅的方法：設，則，∴；小亮的方法：令，，當與的圖像有交點時，方程有實數(shù)根，畫出函數(shù)圖像，如下：觀察圖像知，當時，與的圖像有交點，∴當時，方程有實數(shù)根；故答案為：；［應用與拓展]（1）觀察小亮的方法中函數(shù)圖像知，當時，與的圖像有四個不同的交點，∴當時，方程有四個不同的實數(shù)根，故答案為：；（2）令，，畫出函數(shù)圖像，如下：當時，，∴圖中點D坐標為，觀察圖像，知當時，，的圖像有四個不同的交點，∴當時，方程有四個不同的實數(shù)根，故答案為：．變式7.已知二次函數(shù)及一次函數(shù)，將該二次函數(shù)在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)（如圖所示），當直線與新圖象有4個交點時，的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．如圖，解方程得，，再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為，即，然后求出直線經(jīng)過點時的值和當直線與拋物線有唯一公共點時的值，從而得到當直線與新圖象有4個交點時，的取值范圍．【詳解】解：如圖，當時，，解得，，則，，將該二次函數(shù)在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方的部分圖象的解析式為，即，當直線經(jīng)過點時，，解得；當直線與拋物線有唯一公共點時，方程有相等的實數(shù)解，解得，所以當直線與新圖象有4個交點時，的取值范圍為．故答案為：．【方法技巧與總結】①的圖象：由的圖象沿y軸右翻左，右側不變得到，②的圖象：由的圖象沿x軸下翻上得到。例：①； ②一、選擇題1．一元二次方程的根可以看做是下列哪兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【詳解】解：∵，∴，∴一元二次方程的根可以看做是函數(shù)和圖象交點的橫坐標，故選：A．2．根據(jù)下列表格對應值：判斷關于的方程的一個解的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由上表可知當，關于的方程的一個解的范圍為：，故選：B．3．（23-24九年級上·安徽蕪湖·期中）如圖，拋物線的一部分經(jīng)過點，且其對稱軸是直線，則一元二次方程的根是（

）A． B．，C．， D．，【答案】B【詳解】解：點出關于直線對稱的點是，、是拋物線與軸的交點，，是一元二次方程的根．故選：B．4．（23-24九年級上·廣東東莞·期中）二次函數(shù)的圖像過點，方程的解為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】拋物線的對稱軸為直線，而拋物線與x軸的一個交點坐標為，所以拋物線與x軸的另一個交點坐標，所以方程的解為：．故選：B．5．（22-23九年級上·安徽合肥·期中）已知二次函數(shù)（），當和時，函數(shù)值相等，則的值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【詳解】設當時，∵當和時，函數(shù)值相等，∴當時，的兩個根為，∴，故選：A．6．若關于x的一元二次方程（t為實數(shù)），在的范圍內有解，則t的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，即t在的范圍內的最小值為，當時，；當時，；所以t的取值范圍是．故選：D．二、填空題7．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知函數(shù)，當時，函數(shù)值等于5．【答案】【詳解】解：當時，，解得：；故答案為：．8．（23-24九年級上·云南昆明·期末）拋物線與軸只有一個交點，則．【答案】【詳解】解：令，則依題意，解得：．故答案為：．9．如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，則關于的方程的解是．【答案】【詳解】解：?拋物線?與直線?的兩個交點坐標分別為?，?方程組?的解為?，即關于?的方程?的解為?．故答案為：?．10．（22-23九年級上·湖北宜昌·期中）拋物線的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為，則方程的兩個根是．

【答案】或【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為，∴與x軸的另一個交點坐標為，∴方程的兩個根是或，故答案為：或．11．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于A、兩點，交軸于點，的面積為．

【答案】【詳解】，令，故答案為：．三、解答題12.（22-23九年級上·江蘇淮安·期中）小明在畫一個二次函數(shù)的圖像時，列出了下面幾組x與y的對應值．0123430(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)當時，x的值為；(3)該二次函數(shù)圖像與直線有兩個交點A、B，若時，n的取值范圍為．【答案】(1)(2)或1(3)【詳解】（1）解：由表格數(shù)據(jù)結合二次函數(shù)圖象對稱性可得圖象頂點為，設二次函數(shù)的表達式為，將代入得，解得，該二次函數(shù)的表達式為；（2）令，則，解得：，；（3）令，整理得，設點、的橫坐標為，，，是方程的兩個實數(shù)根，，，，，，，即，，的取值范圍是．13．（22-23九年級上·河南南陽·期末）根據(jù)二次函數(shù)和一元二次方程、一元二次不等式的關系解答如下問題：(1)由一元二次方程的兩根為____________，可知二次函數(shù)與軸兩個交點的坐標為____________；(2)用配方法將二次函數(shù)化成的形式；(3)由以上信息，并結合該二次函數(shù)圖像可知：該函數(shù)圖像的對稱軸是______，頂點坐標是______，不等式的解集是______．【答案】(1)、，、；(2)；(3)，，．【詳解】（1）解：解得：、故與軸兩個交點的坐標分別為：、故答案為：、，、；（2）（3）由（2）可知對稱軸為：直線，頂點坐標為：因為函數(shù)開口向上，與軸兩個交點為、當即時函數(shù)圖像位于軸下方，此時，不等式的解集是，故答案為：直線，，．1．（2023·山東青島·二模）如圖，拋物線與軸交于點，頂點坐標，與軸的交點在，之間（包含端點），則下列結論：；；對于任意實數(shù)，總成立；關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確結論為（只填序號）【答案】【詳解】拋物線開口向下，，而拋物線的對稱軸為直線，即，，所以錯誤；把點帶入解析式可得，∴，，，，所以正確；拋物線的頂點坐標，時，二次函數(shù)值有最大值，∴，即，所以正確；拋物線的頂點坐標，拋物線與直線有兩個交點，關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以正確．故答案為．2．（2023·四川南充·二模）如圖，平移拋物線，使頂點在線段上運動，與x軸交于，D兩點．若，，四邊形的面積為，則．【答案】【詳解】四邊形是梯形，下底，高為3，由，得，設，，則，，∵，∴．∴．∴①，又頂點縱坐標②，①÷②，得，∴，故答案為；1.已知一條直線和一條拋物線．(1)若拋物線在軸上方的部分保持不變，將在軸下方的部分沿軸翻折到軸上