二次函數(shù)與一元二次方程(1)21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程

回顧舊知（1）畫(huà)一次函數(shù)y＝x＋1的圖像，并指出函數(shù)y＝x

＋1的圖像與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)；（2）解一元一次方程x＋1＝0；（3）一元一次方程x

＋1＝0與一次函數(shù)y＝x＋1有什么聯(lián)系？21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸的交點(diǎn)為（，）一元一次方程x＋2＝0的根為_(kāi)_______思考：一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)與一元一次方程kx＋b＝0的根有什么關(guān)系？一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元一次方程kx＋b＝0的根

－1

0－1

回顧舊知21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程y=x2+2xy＝x2＋2x圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)：(－2，0)(0，0)x2＋2x＝0b2－4ac＞0，x1

＝－2

，

x2

＝

0．

y＝x2＋2x探索活動(dòng)21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程y＝x2－2x＋1圖像與x軸有1個(gè)交點(diǎn)：(1,0)．x2－2x＋1＝0y=x2－2x＋1b2－4ac＝0，x1＝x2＝1．

探索活動(dòng)21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程y＝x2－2x＋2圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．x2－2x＋2＝0y＝x2－2x＋2沒(méi)有實(shí)數(shù)根．b2－4ac＜0，

探索活動(dòng)21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程y＝x2＋2x圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．x2＋2x＝0y＝x2－2x＋1圖像與x軸有1個(gè)交點(diǎn)．x2－2x＋1＝0y＝x2－2x＋2圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．x2－2x＋2＝0b2－4ac＝0b2－4ac＞0b2－4ac＜0

觀察思考21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程y＝x2＋2xx2＋2x＝0y＝x2－2x＋1x2－2x＋1＝0y＝x2－2x＋2x2－2x＋2＝0(－2,0)(0,0)(1,0)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．沒(méi)有實(shí)數(shù)根．x1＝－2

，x2＝0

x1＝x2

＝1

觀察思考21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和x軸交點(diǎn)有三種情況：

①有兩個(gè)交點(diǎn)，②有一個(gè)交點(diǎn)，

③沒(méi)有交點(diǎn)．

當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y＝0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根．

歸納總結(jié)21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程拋物線(xiàn)y=ax2＋bx＋c

拋物線(xiàn)

y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況說(shuō)明：1.b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c2.

b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0與x軸有唯一公共點(diǎn)．拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c3.

b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．沒(méi)有實(shí)數(shù)根．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

歸納總結(jié)21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程

例題講解根據(jù)一元二次方程的根，可以知道二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

不畫(huà)圖象，求拋物線(xiàn)y=x2-3x-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程不畫(huà)圖象，求拋物線(xiàn)y=x2-3x-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

例題講解21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程

?

已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋k＋2與x軸有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

例題講解21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程

已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋k＋2與x軸有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

例題講解21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程解：因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝x2－4x＋k＋2與x軸有公共點(diǎn)，所以方程x2－4x＋k＋2=0有實(shí)數(shù)根（-4）

2-4（k+2)≥0k≤2

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線(xiàn)與x軸總有交點(diǎn)；(2)若此拋物線(xiàn)與x軸總有交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．(1)證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此拋物線(xiàn)與x軸總有交點(diǎn)；

例題講解二次函數(shù)與一元二次方程21.3.1(2)解：令y＝0，則(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.當(dāng)m為正整數(shù)1或2時(shí)，x2為整數(shù)，即拋物線(xiàn)與x軸總有

交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)．所以正整數(shù)m的值為1或2.

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線(xiàn)與x軸總有交點(diǎn)；(2)若此拋物線(xiàn)與x軸總有交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．

例題講解二次函數(shù)與一元二次方程21.3.1

1.方程的根是

；則函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)有

個(gè)，其坐標(biāo)是

．－5，12（-5，0）、（1，0）

隨堂練習(xí)

2.方程的根是

；則函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)有_

個(gè)，其坐標(biāo)是

．

3.下列函數(shù)的圖像中，與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)的是（）1（5，0）DA.C.B.D.21.3.1二次函數(shù)與一元二次方程4、已知函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，求k的取值范圍．解：當(dāng)k＝3時(shí)，函數(shù)y＝2x＋1是一次函數(shù)．

∵一次函數(shù)y＝2x＋1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，

∴k＝3；

當(dāng)k≠3時(shí)，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函數(shù)．

∵二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，

∴Δ＝b2－4ac≥0.

∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，

∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.

綜上所述，k的取值范圍是k≤4.

隨堂練習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程21.3.15、已知：拋物線(xiàn)y＝x2＋ax＋a－2.(1)求證：不論a取何值時(shí)，拋物線(xiàn)y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和為3，求a的值．解：(1)證明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不論a取何值時(shí)，拋物線(xiàn)y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a