專題21.5銷售利潤(rùn)問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】某工廠接到一批產(chǎn)品生產(chǎn)任務(wù)，按要求在20天內(nèi)完成，已知這批產(chǎn)品的出廠價(jià)為每件8元．為按時(shí)完成任務(wù)，該工廠招收了新工人，設(shè)新工人小強(qiáng)第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為y件，y與x滿足關(guān)系式為：y=（1）小強(qiáng)第幾天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件？（2）設(shè)第x天每件產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，a（元）與x（天）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，求a與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)小強(qiáng)第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元．①求第幾天時(shí)小強(qiáng)創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？②若第①題中第m天利潤(rùn)達(dá)到最大值，若要使第(m+1)天的利潤(rùn)比第m天的利潤(rùn)至少多124元，則第【思路點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式．（1）把y=220代入y（2）根據(jù)圖象求得成本a與x之間的關(guān)系即可；（3）①然后根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)，然后整理即可得到w與x的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答；②根據(jù)①得出m+1=15，根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)得出提價(jià)a與利潤(rùn)w【解題過程】（1）由題意可知，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件時(shí)，x>5故：10x+100=200答：小強(qiáng)第10天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為200件．（2）由圖象得，①當(dāng)0≤x≤10時(shí)，②當(dāng)10<x≤20時(shí)，設(shè)由題意可得10k解得：k=0.1∴a綜上可得，a與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：a=（3）①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，∵56>0，∵w隨x當(dāng)x=5時(shí)，w有最大值為：56×5=280當(dāng)5<x≤10時(shí)，∵28>0，∵w隨x故當(dāng)x=10時(shí)，w有最大值為28×10+280=560當(dāng)10<xw==-=-(當(dāng)x=14時(shí)，w有最大值，最大值為576綜上可知，第14天時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為576元．②由①可知，m=14,設(shè)第15天提價(jià)t元，則第15天的利潤(rùn)為：w=由題意得：575+250t解得：t≥0.5答：第15天每件產(chǎn)品至少應(yīng)提價(jià)0.5元．學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24九年級(jí)上·天津河?xùn)|·期中）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．有下列結(jié)論：①降價(jià)8元時(shí)，數(shù)量為36件．②若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元．③商場(chǎng)平均每天盈利最多為1250元．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·天津紅橋·三模）某服裝店試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間每件服裝的銷售單價(jià)不低于成本，且獲得的利潤(rùn)不得高于成本的45%．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)關(guān)系y①銷售單價(jià)可以是90元；②該服裝店銷售這種服裝可獲得的最大利潤(rùn)為891元；③銷售單價(jià)有兩個(gè)不同的值滿足該服裝店銷售這種服裝獲得的利潤(rùn)為500元，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）某商場(chǎng)打出促銷廣告：某款球鞋20雙，每雙售價(jià)240元，若一次性購(gòu)買不超過10雙時(shí)，售價(jià)不變，若一次性購(gòu)買超過10雙時(shí)，每多買1雙，則購(gòu)買的所有球鞋的售價(jià)均降低10元．已知該球鞋進(jìn)價(jià)是每雙120元，若要使該商店從中獲利最多，則顧客需一次性購(gòu)買雙．4．（22-23九年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）在1~7月份，某地的蔬菜批發(fā)市場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，并向他們提供了這種蔬菜每千克售價(jià)與每千克成本的信息如圖所示，則出售該種蔬菜每千克利潤(rùn)最大的月份可能是月．5．（2024·四川南充·一模）電商小李在抖音平臺(tái)上對(duì)一款成本單價(jià)為10元的商品進(jìn)行直播銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的3倍．通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價(jià)為15元時(shí)，每天可售出700件，銷售單價(jià)每上漲10元，每天銷售量就減少200件，設(shè)此商品銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為y（件）．（1）求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若銷售該商品每天的利潤(rùn)為7500元，求該商品的銷售單價(jià)；（3）小李熱心公益事業(yè)，決定每銷售一件該商品就捐款m元（m>0）給希望工程，當(dāng)每天銷售最大利潤(rùn)為6000元時(shí)，求m6．（2024·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）年初，草莓進(jìn)入采摘旺季，某公司經(jīng)營(yíng)銷售草莓的業(yè)務(wù)，以3萬(wàn)元/噸的價(jià)格向農(nóng)戶收購(gòu)后，分揀成甲、乙兩類，甲類草莓包裝后直接銷售，乙類草莓深加工后再銷售．甲類草莓的包裝成本為1萬(wàn)元/噸，當(dāng)甲類草莓的銷售量x<8噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格y=-x+14，當(dāng)甲類草莓的銷售量x≥8噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格為6萬(wàn)元/噸．乙類草莓深加工總費(fèi)用s（單位：萬(wàn)元）與加工數(shù)量t（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系為s（1）某次該公司收購(gòu)了20噸的草莓，其中甲類草莓有x噸，經(jīng)營(yíng)這批草莓所獲得的總利潤(rùn)為w萬(wàn)元；①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②若該公司獲得了30萬(wàn)元的總利潤(rùn)，求用于銷售甲類的草莓有多少噸？（2）在某次收購(gòu)中，該公司準(zhǔn)備投入100萬(wàn)元資金，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種經(jīng)營(yíng)方案，使該公司獲得最大的總利潤(rùn)，并求出最大的總利潤(rùn)．7．（2024·湖北黃石·二模）為助推鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，解決茶農(nóng)賣茶難問題，某地政府在新茶上市30天內(nèi)，幫助“幸福村”茶農(nóng)合作社集中銷售茶葉，設(shè)第x天（x為整數(shù)）的售價(jià)為y（元/斤），日銷售額為w（元）．據(jù)銷售記錄知：①第1天銷量為42斤，以后每天比前一天多賣2斤；②前10天的價(jià)格一直為500元/斤，后20天價(jià)格每天比前一天跌10元，（1）當(dāng)11≤x≤30時(shí)，寫出y與（2）當(dāng)x為何值時(shí)日銷售額w最大，最大為多少？（3）若日銷售額不低于31680元時(shí)可以獲得較大利潤(rùn)，當(dāng)天合作社將向希望小學(xué)捐款m元，用于捐資助學(xué)，若“幸福村”茶農(nóng)合作社計(jì)劃幫助希望小學(xué)購(gòu)買10800元的圖書，求m的最小整數(shù)值．8．（2023·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車，另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無(wú)論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；在兩公司租出的汽車數(shù)量相等且都為x（單位：輛，0<x≤50）的條件下，甲的利潤(rùn)用y1（1）分別表示出甲、乙的利潤(rùn)，什么情況下甲、乙的利潤(rùn)相同？（2）甲公司最多比乙公司利潤(rùn)多多少元？（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（a>0）給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為16輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求a9．（23-24九年級(jí)上·湖北黃岡·期中）某超市擬端午節(jié)前50天銷售某品牌食品，該食品進(jìn)價(jià)為18元千克，設(shè)第x天的銷售價(jià)格y元千克，銷售量為m千克．銷售價(jià)格y（元千克）當(dāng)31≤x≤50時(shí)，銷售價(jià)格y（元千克403733第x天1≤3644第x天銷售量m5（1）求31≤x≤50時(shí)，y與（2）求x為多少時(shí)，當(dāng)天銷售利潤(rùn)最大？（3）若超市希望31天至35天日銷售利潤(rùn)W隨x的增大而增大，則在當(dāng)天的銷售價(jià)格上漲a元千克，求整數(shù)a10．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）藍(lán)莓被世界衛(wèi)生組織列為十大健康食品之一，被人們視為“超級(jí)水果”，每年6~7月份是大棚藍(lán)莓成熟的季節(jié)．某大棚藍(lán)莓種植戶計(jì)劃在開始銷售的40天內(nèi)將種植的藍(lán)莓陸續(xù)向市場(chǎng)供應(yīng)．已知第x天的銷售單價(jià)y（元/kg）與第x（天）的函數(shù)關(guān)系如圖，每天銷售量為(400-4x（1）直接寫出y與x的函數(shù)解析式；（2）求第x天的種植戶銷售額w（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）第幾天種植戶的銷售額w的最大，最大值是多少元？11．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）某商場(chǎng)經(jīng)銷一種兒童玩具，該種玩具的進(jìn)價(jià)是每個(gè)15元，經(jīng)過一段時(shí)間的銷售發(fā)現(xiàn)，該種玩具每天的銷售量y（個(gè)）與每個(gè)的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)某天的銷售量為78個(gè)時(shí)，該玩具的銷售利潤(rùn)；（2）每天的銷售量不低于18個(gè)的情況下，若要每天獲得的銷售利潤(rùn)最大，求該玩具每個(gè)的售價(jià)是多少？最大利潤(rùn)是多少？（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種玩具的售價(jià)每個(gè)不能高于45元．該商場(chǎng)決定每銷售一個(gè)這種玩具就捐款n元（1≤n≤7），捐款后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每天銷售這種玩具所獲利潤(rùn)隨售價(jià)的增大而增大，求12．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件50元，每月可賣出200件，如果售價(jià)每上漲1元，則每月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）；如果售價(jià)每下降1元，則每月多賣12件（每件售價(jià)不低于48元）．設(shè)每件商品的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y件．（1）①當(dāng)售價(jià)上漲時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系為______，自變量x的取值范圍是______；②當(dāng)售價(jià)下降時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系為______，自變量x的取值范圍是______；（2）每件商品的售價(jià)x定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）商家發(fā)現(xiàn)：在售價(jià)上漲的情況下，每件商品還有aa>0元的其他費(fèi)用需要扣除，當(dāng)售價(jià)每件不低于60元時(shí)，每月的利潤(rùn)隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍13．（2023·山東臨沂·二模）某農(nóng)作物的生長(zhǎng)率P與溫度t℃有如下關(guān)系：如圖1，當(dāng)10≤t≤25時(shí)可近似用函數(shù)P=150

（1）求h的值．（2）按照經(jīng)驗(yàn)，該作物提前上市的天數(shù)m（天）與生長(zhǎng)率P滿足函數(shù)關(guān)系：生長(zhǎng)率P0.20.30.40.5提前上市的天數(shù)m（天）051015①請(qǐng)運(yùn)用記學(xué)的知識(shí)，求m關(guān)于P的函數(shù)表達(dá)式；②請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示m；（3）天氣寒冷，大棚加溫可改變農(nóng)作物生長(zhǎng)速度．在（2）的條件下，原計(jì)劃大恒溫20°C時(shí)，每天的成本為200元，該作物30天后上市時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每提前一天上市售出（一次售完），銷售額可增加600元．因此給大棚繼續(xù)加溫，加溫后每天成本w（元）與大棚溫度t℃之間的關(guān)系如圖2，提前上市增加的利潤(rùn)和節(jié)省的成本為M，問當(dāng)20≤t≤25時(shí)，提前上市多少天時(shí)M最大?14．（22-23九年級(jí)下·湖北黃岡·期中）周老師家的紅心獼猴桃深受廣大顧客的喜愛，獼猴桃成熟上市后，她記錄了15天的銷售數(shù)量和銷售單價(jià)，其中銷售單價(jià)y（元/千克）與時(shí)間第x天（x為整數(shù)）的數(shù)量關(guān)系如圖所示，日銷量p（千克）與時(shí)間第x天（x為整數(shù)）的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：時(shí)間第x天1357910111215日銷量p（千克）3203604004404805004003000

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）從你學(xué)過的函數(shù)中，選擇合適的函數(shù)類型刻畫p隨x的變化規(guī)律，請(qǐng)直接寫出p與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（3）在這15天中，哪一天銷售額達(dá)到最大，最大銷售額是多少元．15．（2024·湖南懷化·一模）受新冠疫情影響，3月1日起，“君樂買菜”網(wǎng)絡(luò)公司某種蔬菜的銷售價(jià)格開始上漲．如圖1，前四周該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格y(元/kg)與周次x(x是正整數(shù)，1≤x<5)的關(guān)系可近似用函數(shù)y=25x+a刻畫；進(jìn)入第5周后，由于外地蔬菜的上市，該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格y(元/kg)從第5周的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg，y（1）求a，b的值．（2）若前五周該蔬菜的銷售量m(kg)與每周的平均銷售價(jià)格y(元/kg)之間的關(guān)系可近似地用如圖①求m與y的函數(shù)表達(dá)式；②在前六周中，哪一周的銷售額w(元)（3）若該蔬菜第7周的銷售量是100kg，由于受降雨的影響，此種蔬菜第8周的可銷售量將比第7周減少n%(n>0)．為此，公司又緊急從外地調(diào)運(yùn)了5kg此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬菜第8周的銷售價(jià)格比第7周僅上漲0.8n16．（2023·湖北咸寧·模擬預(yù)測(cè)）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某工廠接到一批紀(jì)念品生產(chǎn)訂單，要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀(jì)念品的出廠價(jià)為每件20元，設(shè)第x天（0<x≤15）每件產(chǎn)品的成本價(jià)是y元，y與x之間關(guān)系為：y=0.5x+7，任務(wù)完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人小王第x天生產(chǎn)產(chǎn)品P（件）與x（1）直接寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系；（2）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）最后，統(tǒng)計(jì)還發(fā)現(xiàn)，平均每個(gè)工人每天創(chuàng)造的利潤(rùn)為288元，于是，工廠制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：如果一個(gè)工人某天創(chuàng)造的利潤(rùn)超過該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎(jiǎng)金，請(qǐng)計(jì)算，在生產(chǎn)該批紀(jì)念過程中，小王能獲得多少元的獎(jiǎng)金？17．（2024·河北保定·一模）某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬(wàn)件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分；該產(chǎn)品的總銷售額z（萬(wàn)元）＝預(yù)售總額（萬(wàn)元）＋波動(dòng)總額（萬(wàn)元），預(yù)售總額＝每件產(chǎn)品的預(yù)售額（元）×年銷售量x（萬(wàn)件），波動(dòng)總額與年銷售量x的平方成正比，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示．生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲年毛利潤(rùn)為w萬(wàn)元（年毛利潤(rùn)＝總銷售額－