成考（專升本）高數(shù)（一）定積分目錄CONTENTS定積分的概念與性質(zhì)01定積分的計算方法02定積分的應(yīng)用03定積分的概念與性質(zhì)01面積問題的引出面積問題的提出是定積分概念形成的起點通過分割圖形求解不規(guī)則圖形的面積利用極限方法將面積問題轉(zhuǎn)化為定積分問題定積分的數(shù)學表達定積分表示為函數(shù)在區(qū)間上的累積和用黎曼和定義定積分的極限定積分符號∫表示積分操作定積分的性質(zhì)定積分具有數(shù)乘線性性質(zhì)定積分在區(qū)間加法上滿足可加性定積分與積分變量的符號無關(guān)定積分的幾何意義定積分在幾何上表示曲線與x軸之間區(qū)域的面積可以用來計算平面區(qū)域的面積對于負函數(shù)，表示x軸下方的區(qū)域面積的相反數(shù)定積分的定義01定積分與常數(shù)及函數(shù)的線性組合保持線性可以將定積分分解為多個部分的和線性性質(zhì)使得定積分計算更加靈活定積分的線性性質(zhì)02函數(shù)值非負，其定積分非負函數(shù)值正，其定積分大于零函數(shù)值負，其定積分小于零定積分的保號性03存在至少一個點，其函數(shù)值乘以區(qū)間長度等于定積分類似于微分中值定理，但應(yīng)用于積分可用于估計定積分的大小定積分的中值定理04通過變量替換，將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為簡單積分需要考慮積分限的變換換元后，積分表達式簡化定積分的換元性質(zhì)定積分的性質(zhì)可積函數(shù)是指其定積分存在的函數(shù)可積函數(shù)要求在某些條件下函數(shù)值是有限的可積函數(shù)的例子包括連續(xù)函數(shù)和單調(diào)有界函數(shù)有界函數(shù)在閉區(qū)間上可積的充分條件是連續(xù)可積性的判定可以使用黎曼和的極限存在性定積分的存在性可通過上下和的極限一致性來判斷可積函數(shù)的概念可積性的判定定理定積分的收斂性涉及無限區(qū)間上的積分通過比較測試和極限比較測試判定收斂性收斂性保證了定積分的值是有限的絕對收斂是指積分的絕對值收斂絕對收斂的函數(shù)積分不受函數(shù)正負號影響絕對收斂保證了積分的交換性和其他性質(zhì)定積分的收斂性定積分的絕對收斂定積分的存在條件定積分的計算方法02利用函數(shù)的微分和積分的關(guān)系，推導(dǎo)出原函數(shù)與定積分之間的關(guān)系通過極限的概念，將無窮小量累加轉(zhuǎn)化為定積分證明了定積分可以通過計算原函數(shù)在區(qū)間端點的差值得到公式的推導(dǎo)找到被積函數(shù)的原函數(shù)計算原函數(shù)在積分上下限的值計算差值得到定積分的值公式的使用步驟被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)存在原函數(shù)積分上下限為常數(shù)公式的應(yīng)用條件計算多項式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的定積分解決物理、化學等自然科學中的實際問題用于工程和經(jīng)濟領(lǐng)域的積分計算公式的常見應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式0103換元積分法的基本思想通過變量代換，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個變量的函數(shù)利用新變量的積分公式，簡化原積分的計算通過換元后的積分結(jié)果反代回原變量換元積分法的注意事項確保代換變量能簡化積分過程注意變量代換后積分限的變化檢查換元后的積分是否更容易計算0204換元積分法的操作步驟選擇合適的代換變量計算新變量的微分將原積分表達式換元后進行積分換元積分法的典型例題使用三角代換解決根號內(nèi)有平方項的積分使用倒代換解決分母中有多項式的積分使用指數(shù)代換解決指數(shù)函數(shù)的積分定積分的換元積分法分部積分法的基本公式利用導(dǎo)數(shù)的乘積法則，將一個復(fù)雜函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)積分的組合通過分部積分公式，將積分中的乘法轉(zhuǎn)化為加法基本公式為：∫u

dv

=

uv

-

∫v

du分部積分法的應(yīng)用范圍解決含有多項式乘以三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等類型的積分用于求解包含對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)的積分應(yīng)用于物理、工程等領(lǐng)域的復(fù)雜積分計算分部積分法的操作技巧選擇合適的u和dv，以簡化積分過程注意分部積分后可能需要多次應(yīng)用公式利用分部積分公式與其他積分技巧結(jié)合使用分部積分法的常見錯誤忽略分部積分后的符號變化錯誤處理dv的積分未能正確選擇u和dv導(dǎo)致積分過程復(fù)雜化定積分的分部積分法定積分的應(yīng)用03曲邊梯形的面積0102平面區(qū)域的面積通過定積分計算曲線與x軸之間的有界區(qū)域面積利用定積分的定義和性質(zhì)求解需要注意積分區(qū)間的確定和函數(shù)的連續(xù)性通過定積分計算平面圖形的面積需要確定圖形的邊界方程和積分區(qū)間可以通過分割和合并簡單圖形來簡化計算空間曲面的面積0304面積計算的技巧與注意事項利用定積分計算空間曲面的表面積需要計算曲面元素的法向量及其模長應(yīng)用參數(shù)方程或直接方程進行積分計算合理選擇積分變量和積分限利用對稱性、周期性等性質(zhì)簡化計算注意檢查計算的邏輯和結(jié)果的一致性面積的計算利用圓盤法或圓柱殼法計算旋轉(zhuǎn)體體積需要確定旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)曲線計算時注意積分區(qū)間的選擇和積分的幾何意義旋轉(zhuǎn)體的體積通過三重積分計算空間區(qū)域的體積需要確定空間區(qū)域的邊界和積分變量的范圍可以通過投影法或截面法來簡化計算空間區(qū)域的體積計算固體、液體或其他物體的體積在工程和物理問題中求解相關(guān)體積結(jié)合實際問題理解體積計算的原理體積計算的應(yīng)用實例確定體積的計算方法（如切片法、殼法等）分析幾何形狀，確定積分表達式按照積分步驟逐步求解體積計算的方法與步驟01020304體積的計算平均值的計算利用定積分計算函數(shù)在區(qū)間上的平均值需要確定函數(shù)和積分區(qū)間平均值的計算可以反映物理量的整體特性功的計算利用積分計算做功或能量轉(zhuǎn)換確定力的分布和作用方向計算過程中要考慮位移和力的關(guān)系物理量計算的數(shù)學模型建立物理量與