成考（專升本）高數(shù)（一）定義、幾何意義目錄01函數(shù)、極限與連續(xù)CONTENT02導(dǎo)數(shù)與微分03微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)、極限與連續(xù)01函數(shù)的基本概念函數(shù)是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，其中一個(gè)變量（自變量）的每一個(gè)值都對(duì)應(yīng)另一個(gè)變量（因變量）的唯一值函數(shù)可表示為

fD

-

>

R，其中

D

是定義域，R

是值域函數(shù)的主要特征是唯一性和有序性函數(shù)的分類函數(shù)可以根據(jù)其表達(dá)式和特性分類，如線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等每類函數(shù)都有其特定的圖像和性質(zhì)分段函數(shù)是多個(gè)函數(shù)表達(dá)式組合而成的函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)可以有各種性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等單調(diào)性描述函數(shù)值隨自變量增加而增加或減少的趨勢(shì)奇偶性描述函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)或y軸的對(duì)稱性函數(shù)的表示方法函數(shù)可以通過解析式、表格、圖像或映射法則表示解析式是最常見的表示方法，使用數(shù)學(xué)公式表達(dá)圖像表示法通過在坐標(biāo)系中繪制點(diǎn)來直觀展示函數(shù)函數(shù)的定義極限的性質(zhì)極限具有唯一性，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限是唯一的極限具有局部保號(hào)性，即函數(shù)在極限附近的符號(hào)與極限的符號(hào)相同極限具有四則運(yùn)算法則，可以用于計(jì)算復(fù)合函數(shù)的極限無窮小與無窮大的概念無窮小是指極限為零的量無窮大是指函數(shù)值無限增大或減小的情形無窮小與無窮大在極限理論中有著重要的地位極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則包括和、差、積、商的極限規(guī)則這些法則可以將復(fù)雜函數(shù)的極限分解為簡(jiǎn)單函數(shù)極限的組合需要注意分母不能為零的條件極限的定義極限描述當(dāng)自變量趨近某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值趨近的某個(gè)值正式定義涉及δ-

ε語言，描述函數(shù)值與極限值之間的接近程度極限可以是有限值，也可以是無窮大極限的概念間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)分為可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)等可去間斷點(diǎn)通過定義函數(shù)值可以補(bǔ)上，使函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)跳躍間斷點(diǎn)兩側(cè)的極限存在但不相等連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）的運(yùn)算結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算結(jié)果也是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值存在連續(xù)性的定義函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)意味著該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值連續(xù)性可以通過δ-

ε定義來嚴(yán)格描述函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性意味著它在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)連續(xù)性的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的函數(shù)的連續(xù)性導(dǎo)數(shù)與微分02導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)表示曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率導(dǎo)數(shù)可以用來確定曲線的切線方向?qū)?shù)的正負(fù)可以判斷曲線在該點(diǎn)的凹凸性導(dǎo)數(shù)的物理意義導(dǎo)數(shù)表示物體運(yùn)動(dòng)的速度導(dǎo)數(shù)可以用來描述物理量的變化率導(dǎo)數(shù)在物理中用于求解動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的問題導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則導(dǎo)數(shù)的計(jì)算遵循一定的運(yùn)算法則，如常數(shù)倍法則、和差法則乘積法則和商法則也是導(dǎo)數(shù)計(jì)算中常用的法則鏈?zhǔn)椒▌t是復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化率導(dǎo)數(shù)是極限概念的直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的基本概念導(dǎo)數(shù)的定義微分的基本概念微分是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限微分是導(dǎo)數(shù)與自變量增量的乘積微分表示函數(shù)增量的線性近似微分的幾何意義微分表示曲線切線段的長(zhǎng)度微分可以近似表示曲線的局部變化微分的方向與切線方向一致微分的物理意義微分在物理中可以表示位移的微小變化微分可以用來計(jì)算物理量的微小變化微分在物理學(xué)中常用于近似計(jì)算微分的計(jì)算法則微分的計(jì)算法則與導(dǎo)數(shù)類似，遵循和、差、積、商的法則微分計(jì)算中也需要使用鏈?zhǔn)椒▌t微分的計(jì)算法則有助于簡(jiǎn)化函數(shù)增量的計(jì)算微分的概念教育現(xiàn)代化高階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變化率高階導(dǎo)數(shù)可以提供關(guān)于函數(shù)曲線更詳細(xì)的信息高階導(dǎo)數(shù)的概念高階微分是高階導(dǎo)數(shù)與自變量增量的乘積高階微分描述了函數(shù)增量的高階近似高階微分在復(fù)雜函數(shù)分析中有重要作用高階微分的概念高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是對(duì)函數(shù)連續(xù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算需要使用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以幫助確定函數(shù)的拐點(diǎn)等特性高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高階微分在求解曲線的曲率時(shí)有應(yīng)用高階微分可以用于求解偏微分方程高階微分在工程和物理學(xué)中用于復(fù)雜系統(tǒng)的分析高階微分的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)在該區(qū)間端點(diǎn)連線的斜率拉格朗日中值定理是研究函數(shù)單調(diào)性和求極值的重要工具該定理在物理和工程中的應(yīng)用廣泛柯西中值定理如果兩個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且其中一個(gè)導(dǎo)數(shù)不為零，則至少存在一點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的比值等于它們?cè)隽勘戎档某?shù)倍柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣它在函數(shù)性質(zhì)的研究和高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中起到關(guān)鍵作用柯西中值定理的應(yīng)用柯西中值定理用于證明各種數(shù)學(xué)不等式在微積分學(xué)的發(fā)展中，它是構(gòu)建泰勒公式的基礎(chǔ)它還在物理學(xué)中解釋某些現(xiàn)象時(shí)起到重要作用羅爾定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且兩端函數(shù)值相等，則存在至少一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情況羅爾定理在證明函數(shù)某些性質(zhì)時(shí)起到基礎(chǔ)作用微分中值定理01020403函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性可以通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷如果導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減單調(diào)性分析是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)函數(shù)的極值函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的極值點(diǎn)出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化可以判斷是極大值還是極小值極值點(diǎn)是函數(shù)圖像的局部最高或最低點(diǎn)函數(shù)的最大值和最小值可能在區(qū)間端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取得利用導(dǎo)數(shù)可以找到這些關(guān)鍵點(diǎn)并比較它們的函數(shù)值最大值和最小值在優(yōu)化問題中非常重要函數(shù)的凹凸性可以通過二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷凹凸性描述了函數(shù)圖像的彎曲方向拐點(diǎn)是函數(shù)凹凸性發(fā)生變化的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)分析中的應(yīng)用曲線的切線與法線曲率的計(jì)算弧長(zhǎng)的計(jì)算曲面的切平面與法線曲線的切線斜率等于曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)切線可以用來近似描述曲線在切點(diǎn)附近的局部性質(zhì)法線與切線垂直，其斜率為切線斜率的負(fù)倒數(shù)曲率描述了曲線彎曲的程度曲率可以通過導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)（即二階導(dǎo)數(shù)）來計(jì)算曲率在工程設(shè)計(jì)中描述曲線