成考（專升本）高數(shù)（一）漸近線、凹凸性、拐點(diǎn)目錄01漸近線02凹凸性03拐點(diǎn)01漸近線水平漸近線是當(dāng)x趨近于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)值趨近于一個(gè)常數(shù)例如，函數(shù)y

=

1/x在x趨近于無(wú)窮時(shí)，有水平漸近線y

=

0水平漸近線通常出現(xiàn)在分式函數(shù)中，分子為常數(shù)，分母趨于無(wú)窮水平漸近線垂直漸近線是當(dāng)x趨近于某一特定值時(shí)，函數(shù)值趨于無(wú)窮大或無(wú)窮小例如，函數(shù)y

=

tan(x)在x

=

π/2處有垂直漸近線垂直漸近線通常出現(xiàn)在函數(shù)的分母為零且分子非零的位置垂直漸近線斜漸近線是當(dāng)x趨近于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)趨近于一條非水平的直線例如，函數(shù)y

=

x/sin(x)在x趨近于無(wú)窮時(shí)有斜漸近線y

=

x斜漸近線可以通過(guò)多項(xiàng)式長(zhǎng)除法或泰勒展開(kāi)求得斜漸近線拐點(diǎn)處的漸近線出現(xiàn)在函數(shù)的拐點(diǎn)位置，函數(shù)曲線在拐點(diǎn)附近會(huì)趨近于這條線例如，函數(shù)y

=

x^3在x

=

0處有拐點(diǎn)，但沒(méi)有拐點(diǎn)處的漸近線拐點(diǎn)處的漸近線可能不存在，需具體函數(shù)具體分析拐點(diǎn)處的漸近線漸近線的定義與分類水平漸近線的求解求水平漸近線需要計(jì)算函數(shù)在x趨近于正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮時(shí)的極限如果極限存在且為常數(shù)，則該常數(shù)為水平漸近線的y值如果極限不存在或?yàn)闊o(wú)窮，則沒(méi)有水平漸近線斜漸近線的求解求斜漸近線通常通過(guò)多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將函數(shù)分解為線性部分和非線性部分計(jì)算非線性部分在x趨近于無(wú)窮時(shí)的極限，如果趨于0，則線性部分為斜漸近線也可以通過(guò)泰勒展開(kāi)求得斜漸近線垂直漸近線的求解求垂直漸近線需要找到函數(shù)分母為零的點(diǎn)計(jì)算這些點(diǎn)的極限，如果極限為無(wú)窮大或無(wú)窮小，則該點(diǎn)為垂直漸近線需要排除分子同時(shí)為零的情況利用洛必達(dá)法則求解漸近線當(dāng)直接求極限比較困難時(shí)，可以使用洛必達(dá)法則求解洛必達(dá)法則適用于分子和分母同時(shí)趨近于0或無(wú)窮大的情況應(yīng)用洛必達(dá)法則求導(dǎo)數(shù)后，再求極限得到漸近線漸近線的求解方法物理中的應(yīng)用在物理中，漸近線可以幫助分析物體的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，如拋物線運(yùn)動(dòng)的極限位置漸近線可以用于研究振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期性在流體動(dòng)力學(xué)中，漸近線可以描述流體的漸近行為工程中的應(yīng)用在工程設(shè)計(jì)中，漸近線可以指導(dǎo)設(shè)計(jì)曲線的近似表達(dá)漸近線可以幫助工程師分析系統(tǒng)在極限狀態(tài)下的行為在信號(hào)處理中，漸近線可以用來(lái)估計(jì)濾波器的長(zhǎng)期響應(yīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用漸近線在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以表示成本函數(shù)或收益函數(shù)的長(zhǎng)期趨勢(shì)漸近線有助于分析市場(chǎng)需求或供給的飽和狀態(tài)在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型中，漸近線可以描述經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)路徑其他領(lǐng)域的應(yīng)用在生物學(xué)中，漸近線可以描述種群增長(zhǎng)的飽和狀態(tài)在心理學(xué)中，漸近線可以用于分析學(xué)習(xí)曲線的極限水平在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，漸近線可以用于研究分布函數(shù)的極限行為漸近線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用02凹凸性凹函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)在其定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的函數(shù)值不大于這兩點(diǎn)函數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)的函數(shù)稱為凹函數(shù)凹函數(shù)的圖形呈現(xiàn)出向上彎曲的形態(tài)凹函數(shù)具有多個(gè)重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)，如

Jensen

不等式凹凸性的分類函數(shù)可以同時(shí)是凹函數(shù)和凸函數(shù)，這類函數(shù)被稱為仿射函數(shù)函數(shù)可能是嚴(yán)格凹或嚴(yán)格凸的，這意味著不等式是嚴(yán)格成立的函數(shù)也可能是非嚴(yán)格的凹或凸凸函數(shù)的定義與性質(zhì)函數(shù)在其定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的函數(shù)值不小于這兩點(diǎn)函數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)的函數(shù)稱為凸函數(shù)凸函數(shù)的圖形呈現(xiàn)出向下彎曲的形態(tài)凸函數(shù)同樣具有多個(gè)重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)，如局部極小值即為全局最小值凹凸性的判斷方法可以通過(guò)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷利用函數(shù)的泰勒展開(kāi)也可以進(jìn)行凹凸性的判斷對(duì)于復(fù)雜函數(shù)，可以采用定義法進(jìn)行判斷凹凸性的概念與性質(zhì)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)如果在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)是凸函數(shù)如果一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)是凹函數(shù)如果一階導(dǎo)數(shù)不單調(diào)，則需要進(jìn)一步分析一階導(dǎo)數(shù)判定法01如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)大于0，則函數(shù)是凹函數(shù)如果二階導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)是凸函數(shù)如果二階導(dǎo)數(shù)等于0，則需要采用其他方法進(jìn)行判斷二階導(dǎo)數(shù)判定法02對(duì)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，如果展開(kāi)式的二次項(xiàng)系數(shù)大于0，則函數(shù)是凹函數(shù)如果二次項(xiàng)系數(shù)小于0，則函數(shù)是凸函數(shù)泰勒展開(kāi)的精度取決于展開(kāi)的階數(shù)利用泰勒展開(kāi)判定凹凸性03通過(guò)觀察函數(shù)的圖像，可以直觀地判斷函數(shù)的凹凸性函數(shù)圖像的彎曲方向是判斷凹凸性的一個(gè)重要依據(jù)圖像的凹凸性需要與數(shù)學(xué)定義相結(jié)合進(jìn)行確認(rèn)函數(shù)圖像與凹凸性的關(guān)系04凹凸性的判定方法數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用凹凸性可以用于分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和趨勢(shì)在數(shù)據(jù)擬合和建模中，凸函數(shù)經(jīng)常被用作目標(biāo)函數(shù)凹函數(shù)在數(shù)據(jù)平滑和去噪中有重要作用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用凹凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中描述消費(fèi)者和生產(chǎn)者的行為函數(shù)的凸性可以解釋規(guī)模經(jīng)濟(jì)和邊際效用遞減函數(shù)的凹性可以解釋邊際成本遞增其他領(lǐng)域的應(yīng)用凹凸性在物理學(xué)中描述力與位移的關(guān)系在工程學(xué)中，凹凸性可以用于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析在生物學(xué)中，凹凸性可以描述生物體的生長(zhǎng)規(guī)律優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用凹凸性在優(yōu)化問(wèn)題中用于確定最優(yōu)解的存在性和唯一性凸優(yōu)化問(wèn)題通常具有較好的理論性質(zhì)和計(jì)算特性凹優(yōu)化問(wèn)題可能存在多個(gè)局部最小值PART

01PART

02PART

03PART

04凹凸性在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用03拐點(diǎn)拐點(diǎn)是函數(shù)圖像上曲率改變的點(diǎn)在拐點(diǎn)處，函數(shù)的切線斜率發(fā)生變化拐點(diǎn)處函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)存在，但二階導(dǎo)數(shù)可能為零或不存在拐點(diǎn)的定義拐點(diǎn)是曲線凹凸性改變的點(diǎn)在拐點(diǎn)處，曲線的彎曲方向發(fā)生改變拐點(diǎn)處曲線的切線與曲線的凹凸部分相切拐點(diǎn)的幾何意義拐點(diǎn)分為普通拐點(diǎn)和復(fù)合拐點(diǎn)普通拐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)改變復(fù)合拐點(diǎn)可能涉及高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變拐點(diǎn)的分類拐點(diǎn)的存在與二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化有關(guān)當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)或由負(fù)變正時(shí)，出現(xiàn)拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是拐點(diǎn)，但不一定總是拐點(diǎn)拐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系拐點(diǎn)的定義與性質(zhì)利用一階導(dǎo)數(shù)求解拐點(diǎn)利用泰勒展開(kāi)求解拐點(diǎn)利用二階導(dǎo)數(shù)求解拐點(diǎn)拐點(diǎn)的求解技巧找到二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)檢查這些點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)是否改變?nèi)绻?hào)改變，則該點(diǎn)是拐點(diǎn)找到一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)檢查這些點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)是否改變?nèi)绻?hào)改變，則該點(diǎn)是拐點(diǎn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)到足夠高的階數(shù)分析展開(kāi)式中高階項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)變化由符號(hào)變化確定拐點(diǎn)的存在考慮函數(shù)的對(duì)稱性簡(jiǎn)化求解過(guò)程利用圖形計(jì)算器或軟件輔助確定拐點(diǎn)在特定區(qū)間內(nèi)尋找二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化拐點(diǎn)的求解方法利用拐點(diǎn)分析物體運(yùn)動(dòng)的速度變化在力學(xué)中，拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)著物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變?cè)陔姶艑W(xué)中，拐點(diǎn)可以表示電場(chǎng)或磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化在結(jié)構(gòu)工程中，拐點(diǎn)幫助分析橋梁或建筑物的應(yīng)力變化在信號(hào)處理中，拐點(diǎn)用于分析信號(hào)的突變點(diǎn)在控制理論中，拐點(diǎn)可以決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用拐點(diǎn)分析成本函數(shù)的變化趨勢(shì)在市