2025年大學(xué)熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試述熱力學(xué)第零定律，并說明由此如何定義溫度。在一個(gè)由三個(gè)可自由移動的、內(nèi)部能量為U（U>0）且化學(xué)成分均勻的物體組成的孤立系統(tǒng)內(nèi)，發(fā)生熱平衡過程。已知物體1和物體2的熱容量分別為C?和C?，初始溫度分別為T?和T?（T?>T?），試求熱平衡時(shí)的共同溫度T及過程的總熵變。二、一定量的理想氣體經(jīng)歷一個(gè)由等溫膨脹、絕熱壓縮和等溫壓縮三個(gè)過程組成的循環(huán)。已知?dú)怏w在等溫膨脹過程開始時(shí)的體積為V?，壓強(qiáng)為P?，溫度為T?；等溫膨脹到體積為V?；絕熱壓縮回到體積V?；再經(jīng)等溫壓縮回到初始狀態(tài)(P?,V?,T?)。設(shè)氣體為單原子分子，試求該循環(huán)的效率。三、根據(jù)玻爾茲曼分布，一個(gè)系統(tǒng)在溫度T時(shí)，其粒子處在能量為ε?的狀態(tài)的概率為ρ?*exp(-ε?/kT)，其中ρ?是與能量ε?無關(guān)的狀態(tài)密度。試由此推導(dǎo)理想氣體的內(nèi)能U=3/2NkT（設(shè)氣體為單原子分子，只考慮平動自由度）。并說明此結(jié)果與能量按自由度均分定理的關(guān)系。四、有一巨正則系綜，其中包含N個(gè)可分辨粒子，每個(gè)粒子的單粒子能量可以是ε?,ε?,...,ε<0xE2><0x82><0x99>，相應(yīng)的單粒子配分函數(shù)為λ?=exp(μ/kt)。試導(dǎo)出系統(tǒng)的內(nèi)能U和熵S的表達(dá)式。其中μ為化學(xué)勢，k為玻爾茲曼常量，T為溫度，V為體積。五、范德瓦爾斯方程(P+a/V2)(V-b)=NkT修正了理想氣體狀態(tài)方程。其中a和b是常數(shù)，分別與氣體分子間的吸引力和排斥力有關(guān)。試推導(dǎo)由范德瓦爾斯方程出發(fā)，理想氣體的定容熱容量Cv（設(shè)氣體為單原子分子）與溫度T的關(guān)系。說明與理想氣體Cv=(3/2)Nk相比，有何不同。六、考慮一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，其能量本征值為E?=(π2?2/2mL2)*ι2,ι=1,2,3,...，其中m為粒子質(zhì)量，L為阱寬，?為約化普朗克常量。設(shè)系統(tǒng)處于基態(tài)，即波函數(shù)為ψ?(x)=sqrt(2/L)*sin(πx/L)(0<x<L)。試計(jì)算在0<x<L區(qū)間內(nèi)找到粒子的概率密度?，F(xiàn)若系統(tǒng)處于第一激發(fā)態(tài)，即波函數(shù)為ψ?(x)=sqrt(2/L)*sin(2πx/L)，再計(jì)算在x=L/4處找到粒子的概率密度。七、簡述序參量的概念及其在相變研究中的作用。以液氦的λ相變?yōu)槔?，說明序參量是如何描述相變的。試卷答案一、解：由熱力學(xué)第零定律，當(dāng)三個(gè)物體達(dá)到熱平衡時(shí)，它們具有相同的溫度T。設(shè)物體1、2、3的初始溫度分別為T?、T?、T?（T?>T?>T?，假設(shè)T?不影響最終平衡，或可設(shè)T?=T?或T?使問題簡化），熱容量分別為C?、C?、C?。達(dá)到平衡時(shí)，物體1放熱Q?，物體2放熱Q?，物體3吸熱Q?。由于系統(tǒng)孤立，Q?+Q?=-Q?。由Q=mcΔT，得C?(T?-T)+C?(T?-T)=-C?(T-T?)。若假設(shè)C?=0或T?即為所求平衡溫度T，則T=(C?T?+C?T?)/(C?+C?)。總熵變ΔS=ΔS?+ΔS?+ΔS?=C?ln(T/T?)+C?ln(T/T?)。（注：若T?不為T，需將T?代入上式聯(lián)立求解，并計(jì)算所有物體熵變之和）。二、解：循環(huán)效率η=W/Q_H，其中W為循環(huán)凈功，Q_H為循環(huán)中系統(tǒng)吸收的熱量。等溫膨脹（1→2）：Q?=W?=nRT?*ln(V?/V?)，吸收熱量。絕熱壓縮（2→3）：Q?=0，外界對系統(tǒng)做功W?=ΔU=nCv(T?-T?)=n(3/2)kT?-n(3/2)kT?（設(shè)單原子氣體Cv=3/2k）。等溫壓縮（3→1）：Q?=W?=nRT?*ln(V?/V?)，放出熱量。凈功W=W?+W?=nRT?*ln(V?/V?)+n(3/2)k(T?-T?)。凈吸熱Q_H=Q?=nRT?*ln(V?/V?)。效率η=W/Q_H=[nRT?*ln(V?/V?)+n(3/2)k(T?-T?)]/[nRT?*ln(V?/V?)]=1+(3/2)(T?-T?)/T?*[1/ln(V?/V?)]。（此處T?由絕熱方程P?V??=P?V??和P?V?=nRT?求出，但為簡化表達(dá)，未直接代入最終效率公式，實(shí)際計(jì)算需確定T?與T?、T?的關(guān)系）。三、解：理想氣體粒子總數(shù)為N。粒子處在能量為ε?的狀態(tài)的概率為P?=ρ?*exp(-ε?/kT)/Σ?ρ?*exp(-ε?/kT)=λ?/Z，其中λ?=exp(μ/kt)=exp(ε?/kT)*exp(μ/kT)，μ為化學(xué)勢，Z為配分函數(shù)。內(nèi)能U=Σ?P?*ε?=Σ?(λ?/kT)*ε?/Σ?λ?/Z=(1/Z)*kT*Σ?(ε?λ?)/Σ?λ?。對理想氣體，Z=Σ?λ?=V^(N)*exp(Nμ/kT)=V^(N)*exp(Nε?/kT)*exp(Nμ/kT)=V^(N)*exp(NU/kT)。（推導(dǎo)中用到N=Σ?g?*P?，g?為狀態(tài)i的簡并度，此處未明確寫出）。代入上式U=kT*(dlnZ/dT)=kT*(d/dT)[NlogV+NlogZ/kT]=kT*[N/V*(dV/dT)-N/kT*(dZ/dT)+N/kT2*Z]。由熱力學(xué)dU=TdS-PdV，得(?U/?T)_V=T(?S/?T)_V-P=Cv。又(?U/?T)_V=kT*(d/dT)[NlogZ/kT]=k*(N/kT2*Z-N/kT*(dZ/dT))=N/kT*(Z-T(dZ/dT))。令β=1/kT，則U=kT*[N/V*(dV/dT)-N/kT*(dZ/dT)+N/kT2*Z]=N/kT*[Vβ(dV/dT)-Zβ(dZ/dT)+Z]=N/kT*[Vβ(dV/dT)-Zβ(dZ/dT)+Z]=N/kT*[Vβ(dV/dT)-Zβ(dZ/dT)+Z]=N/kT*[Vβ(dV/dT)-Zβ(dZ/dT)+Z]。對單原子理想氣體，N/V=n，β(dZ/dT)=-N/kT*(dZ/dT)=-P，代入得U=N*[β(dV/dT)-P+βZ]=N*[β(dV/dT)-P+βZ]=N*[β(dV/dT)-P+βZ]=N*[β(dV/dT)-P+βZ]。利用理想氣體狀態(tài)方程PV=NkT，得U=(3/2)NkT。四、解：巨正則系綜包含所有可能粒子數(shù)N、能量E和粒子化學(xué)勢μ的微觀狀態(tài)數(shù)。巨配分函數(shù)Ω=Σ?g?*exp[(μN(yùn)-E?)/kT]，其中g(shù)?為能量為ε?的單粒子能級簡并度。令x=exp(μ/kT)，則Ω=Σ?g?*x^N*exp(-ε?/kT)=x^N*Σ?g?*exp(-ε?/kT)=x^N*Z，其中Z為正則配分函數(shù)。內(nèi)能U=-(?lnΩ/?β)=-(?ln(x^N*Z)/?β)，其中β=1/kT。由于β=1/kT，對x求導(dǎo)等于乘以β，對Z求導(dǎo)不變，得U=-N*x*(?lnZ/?β)=-N*x*(-kT^2*P)，其中P=-(?lnZ/?β)為正則分布下的壓強(qiáng)。所以U=NkT^2*(?lnZ/?β)=Nμ。（推導(dǎo)中使用了U=-(?lnZ/?β)）。熵S=k*(lnΩ-β*(?lnΩ/?β))=k*[ln(x^N*Z)-β*d(x^N*Z)/dx]=k*[Nlnx+lnz-β*(N*x*lnx+x^N*dlnz/dx)]。將β=1/kT，dlnz/dx=(1/Z)*(?Z/?x)代入，得S=k*[Nlnx+lnz-(1/kT)*(N*x*lnx+x^N*(1/Z)*(?Z/?x))]=k*[Nlnx+lnz-Nlnx-x^N*P/(x*Z)]=k*[lnz-x^N*P/(x*Z)]=k*[lnz-P]。（推導(dǎo)中使用了S=k*(lnΩ-β*(?lnΩ/?β)），以及P=-(?lnZ/?β)）。五、解：由范德瓦爾斯方程P+a/V2=nRT/V-nb，得P=nRT/V-nb-a/V2。定容熱容量Cv=(?U/?T)_V。內(nèi)能U=3/2NkT（理想氣體部分）+其他項(xiàng)（與a,b有關(guān)）。由熱力學(xué)dU=TdS-PdV，在定容過程(dV=0)下，dU=TdS。因此Cv=T(?S/?T)_V。利用熵的微分式dS=nCv(dT)/T+n(?P/?T)_V(dV)，在定容下，dS=nCv(dT)/T。對于范德瓦爾斯氣體，P=nRT/V-nb-a/V2，故(?P/?T)_V=nR/V。代入得dS=nCv(dT)/T+n(nR/V)dV=nCv(dT)/T。定容過程dV=0，故dS=nCv(dT)/T。所以Cv=T(dS/dT)=nCv。（這里似乎直接回到了定容熱容量的定義，需要重新思考如何體現(xiàn)a和b的影響）。更準(zhǔn)確的方法是，范氏氣體內(nèi)能U=3/2NkT+U?(V,T)，其中U?包含了a/V2和-Pb的影響。由熱力學(xué)dU=TdS-PdV，得dS=(dU/dT)_V*(dT/T)+(dU/dV)_T*(dV/V)。在定容下，dS=(dU/dT)_V*(dT/T)。定容熱容量Cv=T(dS/dT)_V=T*[(dU/dT)_V+(dU/dV)_T*(dV/dT)_V/T]=T*[(?U/?T)_V+(?U?/?V)_T*(1/T)]。U?依賴于V和T。如果假設(shè)U?=U?'(T)+U?''(V)，則(dU?/dT)_V=(dU?'/dT)_V，(dU?/dV)_T=(dU?''/dV)_T。由P=nRT/V-nb-a/V2，得(?U?/?V)_T=-Pb-a/V2*(?V/?V)_T=-Pb-a/V3。代入得Cv=T*[(?U/?T)_V+(-Pb-a/V3)*(1/T)]=Cv_ideal+T*(-Pb/V3-a/V3)。理想氣體Cv=3/2Nk。范氏氣體Cv=3/2Nk+T*(-Pb/V3-a/V3)。將P=nRT/V-nb-a/V2代入，得Cv=3/2Nk+T*[(-nRT/V+nb+a/V2)b/V3-a/V3]=3/2Nk+T*[-nRTb/V?+nb2/V3+ab/V?-a/V3]=3/2Nk-nRbT/V+nb2/V3+abT/V?-aT/V3。對于高溫低密度極限，V很大，a/V?和b/V3可忽略，得Cv≈3/2Nk-nRbT/V。對于低溫或常溫，此項(xiàng)可能與3/2Nk相抵消甚至改變符號。這表明范氏氣體的定容熱容量隨溫度和密度變化，與理想氣體不同。六、解：概率密度即波函數(shù)的模平方。(1)對于基態(tài)ψ?(x)=sqrt(2/L)*sin(πx/L)(0<x<L)，概率密度為|ψ?(x)|2=(2/L)*sin2(πx/L)。在0<x<L區(qū)間內(nèi)找到粒子的概率為∫[??]|ψ?(x)|2dx=∫[??](2/L)*sin2(πx/L)dx。利用sin2θ=(1-cos(2θ))/2，得∫[??]sin2(πx/L)dx=∫[??](1-cos(2πx/L))/2dx=(1/L)*[x-(L/2π)*sin(2πx/L)]|??=m/L-(L/2π)*sin(2πm/L)+0-(L/2π)*sin(0)=m/L-(L/2π)*0=m/L。所以概率為m/L=1。（因?yàn)榉e分范圍是完整周期）。更標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算為∫[??](2/L)*sin2(πx/L)dx=(2/L)*[x/2-(L/4π)*sin(2πx/L)]|??=(2/L)*[m/2-(L/4π)*sin(2πm/L)]=m/L-(1/2π)*sin(2πm/L)。對于整數(shù)m，sin(2πm/L)=0，所以概率為m/L。(2)對于第一激發(fā)態(tài)ψ?(x)=sqrt(2/L)*sin(2πx/L)(0<x<L)，概率密度為|ψ?(x)|2=(2/L)*sin2(