2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)環(huán)境保護(hù)背景試題一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：碳排放趨勢(shì)分析題目1某工業(yè)園區(qū)2020-2024年碳排放數(shù)據(jù)如下表所示（單位：萬(wàn)噸）：年份20202021202220232024碳排放量8278757065（1）若碳排放量y與年份x（x=1對(duì)應(yīng)2020年）的關(guān)系可用二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c擬合，求該函數(shù)解析式；（2）根據(jù)《“十四五”生態(tài)環(huán)境保護(hù)規(guī)劃》要求，2025年園區(qū)碳排放需控制在60萬(wàn)噸以內(nèi)，判斷該模型預(yù)測(cè)是否達(dá)標(biāo)；（3）為實(shí)現(xiàn)2030年“碳達(dá)峰”目標(biāo)，園區(qū)計(jì)劃通過(guò)技術(shù)改造使碳排放年遞減率為r，若2025年排放量為60萬(wàn)噸，求r的最小值（精確到0.1%）。解析（1）將（1,82）（2,78）（3,75）代入函數(shù)得：[\begin{cases}a+b+c=82\4a+2b+c=78\9a+3b+c=75\end{cases}]解得a=0.5，b=-5.5，c=87，故y=0.5x2-5.5x+87。（2）2025年對(duì)應(yīng)x=6，代入得y=0.5×36-5.5×6+87=66萬(wàn)噸＞60萬(wàn)噸，未達(dá)標(biāo)。（3）由60(1-r)^5≤60×(1-0.05)^5（參考2025年政策要求年減排5%），解得r≥4.7%。二、統(tǒng)計(jì)與概率：垃圾分類效率評(píng)估題目2某市推行“智能垃圾分類箱”試點(diǎn)，隨機(jī)抽取100個(gè)社區(qū)的日回收數(shù)據(jù)（單位：kg）如下：可回收物[50,100)[100,150)[150,200)[200,250]社區(qū)數(shù)15353020（1）求樣本平均數(shù)及中位數(shù)；（2）規(guī)定日回收量≥150kg為“優(yōu)秀社區(qū)”，現(xiàn)從試點(diǎn)社區(qū)中隨機(jī)選取2個(gè)，求至少有1個(gè)為“優(yōu)秀社區(qū)”的概率；（3）已知該市計(jì)劃2025年實(shí)現(xiàn)80%社區(qū)達(dá)到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)，若當(dāng)前“優(yōu)秀率”為50%，且每年遞增10個(gè)百分點(diǎn)，判斷2025年能否達(dá)標(biāo)。解析（1）平均數(shù)=（75×15+125×35+175×30+225×20）/100=152.5kg；中位數(shù)位于[100,150)組，設(shè)中位數(shù)為m，由15+（m-100）×(35/50)=50，解得m=150kg。（2）優(yōu)秀社區(qū)50個(gè)，非優(yōu)秀50個(gè)，P=1-C(50,2)/C(100,2)=74/99≈0.747。（3）2023年優(yōu)秀率50%，2024年60%，2025年70%＜80%，不能達(dá)標(biāo)。三、線性規(guī)劃：資源分配優(yōu)化題目3某環(huán)保企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種污水處理設(shè)備，生產(chǎn)1臺(tái)A設(shè)備需鋼材3噸、電力200度，利潤(rùn)5萬(wàn)元；生產(chǎn)1臺(tái)B設(shè)備需鋼材2噸、電力300度，利潤(rùn)6萬(wàn)元。2025年第一季度計(jì)劃鋼材供應(yīng)量不超過(guò)120噸，電力供應(yīng)不超過(guò)15000度。（1）列出滿足生產(chǎn)條件的不等式組，并畫(huà)出可行域；（2）求該季度最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)方案；（3）若政策補(bǔ)貼B設(shè)備利潤(rùn)提高10%，重新計(jì)算最優(yōu)方案。解析（1）設(shè)生產(chǎn)A、B設(shè)備分別為x,y臺(tái)，則：[\begin{cases}3x+2y≤120\200x+300y≤15000\x,y≥0且x,y∈N\end{cases}]（2）目標(biāo)函數(shù)z=5x+6y，聯(lián)立3x+2y=120與2x+3y=150，解得x=12，y=42，此時(shí)z=5×12+6×42=312萬(wàn)元。（3）補(bǔ)貼后z=5x+6.6y，最優(yōu)解為x=0，y=50，利潤(rùn)330萬(wàn)元，優(yōu)先生產(chǎn)B設(shè)備。四、三角函數(shù)與數(shù)列：噪聲污染治理題目4某工廠噪聲強(qiáng)度y（dB）隨時(shí)間t（小時(shí)，0≤t≤24）變化，近似滿足y=10sin(π/12t)+65，其中t=0為凌晨0點(diǎn)。（1）求一天中噪聲強(qiáng)度的最大值及出現(xiàn)時(shí)間；（2）環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：晝間（6:00-22:00）噪聲≤70dB，夜間（22:00-6:00）≤55dB，判斷該廠是否超標(biāo)，并計(jì)算超標(biāo)時(shí)長(zhǎng)。解析（1）當(dāng)sin(π/12t)=1時(shí)，y_max=75dB，此時(shí)π/12t=π/2+2kπ，t=6+24k，即6:00和30:00（舍去），故最大值出現(xiàn)在6:00。（2）晝間：6≤t≤22，令10sin(π/12t)+65≤70→sin(π/12t)≤0.5，解得t∈[6,8]∪[20,22]，超標(biāo)時(shí)長(zhǎng)=（8-6）+（22-20）=4小時(shí)；夜間噪聲最小值為55dB，未超標(biāo)。五、立體幾何：環(huán)保設(shè)施體積計(jì)算題目5某社區(qū)擬建雨水收集池，設(shè)計(jì)為正四棱錐形狀，底面邊長(zhǎng)4m，側(cè)棱長(zhǎng)5m。（1）求該收集池的容積（精確到0.1m3）；（2）若每立方米雨水可轉(zhuǎn)化為0.8m3中水，雨季日均降水量為150mm，該社區(qū)面積20000m2，求收集池最多可滿足幾天的中水需求（不計(jì)蒸發(fā)損耗）。解析（1）棱錐高h(yuǎn)=√(52-(2√2)2)=√17≈4.123m，容積V=1/3×42×4.123≈21.9m3。（2）日收集量=20000×0.15=3000m3，可轉(zhuǎn)化中水3000×0.8=2400m3，天數(shù)=2400/21.9≈109天。六、不等式應(yīng)用：環(huán)保投資決策題目6某企業(yè)為達(dá)到2025年環(huán)保排放標(biāo)準(zhǔn)，需投入兩種治污技術(shù)：技術(shù)甲單價(jià)100萬(wàn)元/套，年減排300噸；技術(shù)乙單價(jià)80萬(wàn)元/套，年減排200噸。企業(yè)預(yù)算不超過(guò)800萬(wàn)元，且年減排量不低于2000噸。（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙技術(shù)分別為x,y套，列出x,y滿足的約束條件；（2）若政府對(duì)每套甲技術(shù)補(bǔ)貼20萬(wàn)元，求最小實(shí)際投資額。解析（1）[\begin{cases}100x+80y≤800\300x+200y≥2000\x,y≥0且x,y∈N\end{cases}]（2）補(bǔ)貼后成本z=80x+80y，最優(yōu)解x=4，y=5，最小投資80×(4+5)=720萬(wàn)元。七、綜合應(yīng)用題：智慧環(huán)保平臺(tái)數(shù)據(jù)分析題目7某城市通過(guò)“環(huán)保物聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)”監(jiān)測(cè)PM2.5濃度（單位：μg/m3），數(shù)據(jù)顯示濃度C與汽車流量v（萬(wàn)輛/小時(shí)）的關(guān)系為C=0.02v2+0.5v+10，且交通部門(mén)規(guī)定v≤10。（1）求PM2.5濃度最小值及對(duì)應(yīng)的汽車流量；（2）當(dāng)v=8時(shí)，若通過(guò)限行使汽車流量減少10%，PM2.5濃度下降百分比是多少？解析（1）C=0.02(v2+25v)+10=0.02(v+12.5)2+6.875，當(dāng)v=0時(shí)，C_min=10μg/m3（實(shí)際中v=0不現(xiàn)實(shí)，此處僅為數(shù)學(xué)極值）。（2）v=8時(shí)，C=0.02×64+0.5×8+10=14.28；v=7.2時(shí)，C=0.02×51.84+0.5×7.2+10=13.3368，下降百分比=(14.28-13.3368)/14.28≈6.6%。八、選做題：數(shù)學(xué)建模與環(huán)保創(chuàng)新題目8參考“環(huán)保數(shù)據(jù)可視化+區(qū)塊鏈”技術(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決以下問(wèn)題：某湖泊受污染，污染物濃度M（mg/L）隨時(shí)間t（天）變化滿足M(t)=M?e^(-kt)，其中k為降解系數(shù)。若初始濃度M?=10mg/L，30天后降至5mg/L：（1）求k的值；（2）若飲用標(biāo)準(zhǔn)為M≤1mg/L，求至少需多少天才能飲用；（3）為加速治理，向湖水中投放微生物使k值增加20%，計(jì)算治理周期縮短天數(shù)。解析（1）由5=10e^(-30k)，得k=ln2/30≈0.0231。（2）1=10e^(-0.0231t)，t=ln10/0.0231≈100天。（3）新k=0.0231×1.2=0.0277，t'=ln10/0.0277≈83天，縮短1