2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)機器人技術(shù)與數(shù)學(xué)試題一、機器人運動控制與函數(shù)模型綜合題題目1：某仿生機器人模擬獵豹奔跑時，其髖關(guān)節(jié)擺動角度θ（單位：弧度）與時間t（單位：秒）的關(guān)系滿足函數(shù)θ(t)=Asin(ωt+φ)+B，其中A>0，ω>0，|φ|<π/2。實驗觀測顯示，該機器人髖關(guān)節(jié)最大擺角為π/3弧度，最小擺角為-π/6弧度，完成一次擺動周期為0.8秒，且當(dāng)t=0時擺角為π/12弧度。（1）求函數(shù)θ(t)的解析式；（2）若機器人腿部長度為0.6米，求擺動過程中足端的最大線速度（提示：線速度v=ωL，其中L為腿部長度，ω為角速度）；（3）當(dāng)t∈[0,0.4]時，求擺角θ(t)的單調(diào)遞增區(qū)間及該區(qū)間內(nèi)的平均角速度。解析：（1）由題意知，A=(最大值-最小值)/2=(π/3-(-π/6))/2=π/4，B=(最大值+最小值)/2=(π/3+(-π/6))/2=π/12。周期T=0.8=2π/ω，解得ω=2π/0.8=2.5π。將t=0，θ=π/12代入得π/12=π/4sinφ+π/12，解得sinφ=0，結(jié)合|φ|<π/2得φ=0。故θ(t)=π/4sin(2.5πt)+π/12。（2）角速度ω(t)=θ’(t)=π/4·2.5π·cos(2.5πt)=5π2/8cos(2.5πt)，最大值為5π2/8。線速度v=ωL=5π2/8×0.6=3π2/8≈3.70米/秒。（3）t∈[0,0.4]時，2.5πt∈[0,π]，cos(2.5πt)≥0的區(qū)間為t∈[0,0.2]，故單調(diào)遞增區(qū)間為[0,0.2]。平均角速度=(θ(0.2)-θ(0))/(0.2-0)=(π/4sin(0.5π)+π/12-π/12)/0.2=(π/4)/0.2=5π/4弧度/秒。二、軌跡優(yōu)化與解析幾何應(yīng)用題題目2：某倉庫巡檢機器人需沿拋物線y=x2-4x+5的軌跡從點A(1,2)移動到點B(3,2)，其運動過程中需避開坐標(biāo)原點(0,0)為圓心、半徑1的圓形障礙物。（1）求拋物線軌跡的頂點坐標(biāo)及對稱軸方程，并判斷該拋物線是否經(jīng)過障礙物區(qū)域；（2）若機器人在運動中保持速度大小為2米/秒，且軌跡參數(shù)方程為x=2+tcosα，y=1+tsinα（t為參數(shù)，α為運動方向角），求從A到B的最短運動時間；（3）為避開障礙物，機器人需調(diào)整軌跡為折線ACB，其中C為拋物線對稱軸上一點。若C點縱坐標(biāo)為3，求折線ACB的總長度，并與原拋物線軌跡長度比較（精確到0.01米）。解析：（1）y=x2-4x+5=(x-2)2+1，頂點(2,1)，對稱軸x=2。原點到拋物線的最短距離：設(shè)拋物線上點(x,(x-2)2+1)，距離d=√[x2+((x-2)2+1)2]，求導(dǎo)得d’=0時x≈1.5，d≈2.24>1，故不經(jīng)過障礙物區(qū)域。（2）A(1,2)到B(3,2)為水平線段，距離2米，速度2米/秒，最短時間1秒。（3）C在對稱軸x=2上，縱坐標(biāo)3，故C(2,3)。AC=√[(2-1)2+(3-2)2]=√2≈1.41，CB=√[(3-2)2+(2-3)2]=√2≈1.41，總長度≈2.82米。原拋物線軌跡：從x=1到x=3，弧長L=∫?3√[1+(2x-4)2]dx，令u=2x-4，du=2dx，積分得(1/2)[(u/2)√(u2+1)+(1/2)ln(u+√(u2+1))]???≈2.96米，折線比原軌跡縮短約0.14米。三、邏輯推導(dǎo)與立體幾何證明題題目3：某工業(yè)機器人的機械臂由三段剛性桿AB、BC、CD組成，其中AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=1米，且AB、CD均垂直于水平地面（如圖）。（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出A、B、C、D四點坐標(biāo)（以B為原點，BC為x軸，BA為y軸）；（2）證明：線段AD與平面BCD所成角的正弦值為√3/3；（3）若機械臂繞BC軸旋轉(zhuǎn)θ角（θ∈[0,π/2]），求旋轉(zhuǎn)后D點到A點的距離關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求θ=π/3時的距離。解析：（1）坐標(biāo)系建立：B(0,0,0)，BC=1在x軸，C(1,0,0)；BA=1在y軸，A(0,1,0)；CD=1垂直地面（z軸），D(1,0,1)。（2）平面BCD的法向量為BA=(0,1,0)，向量AD=(1,-1,1)。線面角α的正弦值sinα=|AD·BA|/(|AD||BA|)=|0×1+(-1)×1+1×0|/(√3×1)=1/√3=√3/3。（3）旋轉(zhuǎn)后D點坐標(biāo)變?yōu)?1,sinθ,cosθ)，A(0,1,0)。距離AD=√[(1-0)2+(sinθ-1)2+(cosθ-0)2]=√[1+(sin2θ-2sinθ+1)+cos2θ]=√[3-2sinθ]。當(dāng)θ=π/3時，AD=√[3-2×(√3/2)]=√(3-√3)≈1.07米。四、數(shù)學(xué)建模與機器人任務(wù)優(yōu)化題題目4：某快遞分揀機器人需將10個包裹從起點S運送到三個目標(biāo)點A、B、C，各點坐標(biāo)如下（單位：米）：S(0,0)，A(2,3)，B(5,1)，C(4,6)。機器人最大載重2個包裹，每次從S出發(fā)，送完包裹后返回S，且行駛路徑為直線。（1）若機器人需優(yōu)先配送A點2個包裹，再配送B點3個包裹，求總行駛距離；（2）建立機器人配送C點5個包裹的數(shù)學(xué)模型：設(shè)每次裝載2個包裹時行駛距離為d?，裝載1個包裹時為d?，求d?、d?的表達(dá)式，并比較“2+2+1”與“2+1+2”兩種配送順序的總距離差異；（3）若機器人電池容量為1000米·千克（即行駛距離×載重的累積值不超過1000），每個包裹重5千克，判斷（2）中哪種配送順序更節(jié)能，并說明理由。解析：（1）A點2個包裹需1次往返：距離2×√(22+32)=2√13≈7.21米；B點3個包裹需2次往返（2+1）：距離2×√(52+12)+2×√(52+12)=4√26≈20.39米。總距離≈7.21+20.39=27.60米。（2）C點坐標(biāo)(4,6)，d?=2×√(42+62)=2√52=4√13≈14.42米（載重2個），d?=2×√52=2√52≈14.42米（載重1個，往返距離相同）?！?+2+1”順序：總距離=2d?+d?=2×14.42+14.42=43.26米；“2+1+2”順序：總距離=d?+d?+d?=43.26米，兩者距離相同。（3）電池消耗=距離×載重：“2+2+1”：(14.42×10kg)+(14.42×10kg)+(14.42×5kg)=14.42×25=360.5米·千克；“2+1+2”：(14.42×10kg)+(14.42×5kg)+(14.42×10kg)=360.5米·千克，能耗相同。五、機器人傳感器數(shù)據(jù)與概率統(tǒng)計題題目5：某避障機器人的超聲波傳感器測量距離誤差X（單位：厘米）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，隨機抽取20次測量數(shù)據(jù)如下：-2.3,1.8,-0.5,3.2,-1.7,0.9,2.5,-3.1,1.2,0.3,-1.1,2.0,-2.8,1.5,-0.8,3.5,-1.4,0.7,2.2,-3.4（1）計算樣本均值μ?和樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ?（精確到0.01）；（2）若誤差絕對值不超過2厘米為“合格測量”，估計該傳感器的合格測量概率；（3）若機器人以50厘米/秒速度靠近障礙物，當(dāng)傳感器顯示距離為80厘米時，求實際距離落在[75,85]厘米的概率（精確到0.01）。解析：（1）樣本均值μ?=(-2.3+1.8-0.5+3.2-1.7+0.9+2.5-3.1+1.2+0.3-1.1+2.0-2.8+1.5-0.8+3.5-1.4+0.7+2.2-3.4)/20=0.05厘米。樣本方差σ?2=[Σ(xi-μ?)2]/19≈(各偏差平方和)/19≈5.29，σ?≈2.30厘米。（2）誤差X~N(0.05,2.302)，合格概率P(|X|≤2)=P(-2≤X≤2)=Φ((2-0.05)/2.30)-Φ((-2-0.05)/2.30)≈Φ(0.85)-Φ(-0.89)≈0.8023-0.1867=0.6156≈61.56%。（3）顯示距離=實際距離+X，設(shè)實際距離為d，則80=d+X→d=80-X。P(75≤d≤85)=P(75≤80-X≤85)=P(-5≤-X≤5)=P(|X|≤5)≈Φ((5-0.05)/2.30)-Φ((-5-0.05)/2.30)≈Φ(2.15)-Φ(-2.19)≈0.9842-0.0143=0.9699≈97.0%。六、機器人協(xié)作與線性規(guī)劃題題目6：兩臺機器人甲、乙共同組裝零件，甲每小時組裝A零件3個或B零件5個，乙每小時組裝A零件2個或B零件6個?，F(xiàn)有訂單要求A零件不少于18個，B零件不少于30個，兩臺機器人總工作時間不超過10小時。（1）設(shè)甲組裝A零件x小時，乙組裝A零件y小時，寫出x,y滿足的線性約束條件，并畫出可行域；（2）若每個A零件利潤10元，每個B零件利潤8元，求總利潤z的最大值及此時甲、乙的工作安排。解析：（1）甲組裝B零件時間(ta-甲)=t甲總-x，乙組裝B零件時間(tb-乙)=t乙總-y，且t甲總+t乙總≤10。A零件約束：3x+2y≥18；B零件約束：5(t甲總-x)+6(t乙總-y)≥30；時間約束：t甲總≥x，t乙總≥y，t甲總+t乙總≤10，x,y≥0。設(shè)t甲總=a，t乙總=b，則a+b≤10，5(a-x)+6(b-y)≥30→5a+6b-5x-6y≥30。（2）總利潤z=10(3x+2y)+8[5(a-x)+6(b-y)]=30x+20y+40a-40x+48b-48y=-10x-28y+40a+48b。由a+b=10（最優(yōu)解在邊界），z=-10x-28y+40a+48(10-a)=-10x-28y-8a+480。結(jié)合A、B零件約束，解得當(dāng)x=3，y=4.5，a=5，b=5時，z最大=-10×3-28×4.5-8×5+480=356元。即甲組裝A3小時、B2小時，乙組裝A4.5小時、B0.5小時。七、機器人視覺與三角函數(shù)應(yīng)用題題目7：某焊接機器人的視覺系統(tǒng)通過兩個攝像頭定位焊縫，攝像頭A、B相距2米，且均在同一水平面內(nèi)。對某焊點P，攝像頭A測得俯角30°，攝像頭B測得俯角45°，A、B與P點水平投影構(gòu)成三角形，其中AB=2米，∠PAB=60°。（1）求P點到水平面的垂直距離h；（2）求A、B兩點到P點水平投影的距離PA'、PB'；（3）若機器人焊槍需從P點沿與水平面成θ角的方向焊接，且θ滿足tanθ=h/PA'，求焊接路徑的傾斜角θ。解析：（1）水平投影三角形中，由正弦定理PA'/sin45°=AB/sin(180°-60°-45°)=2/sin75°，PA'=2sin45°/sin75°≈2×0.707/0.966≈1.46米。俯角30°，則h=PA'tan30°≈1.46×0.577≈0.84米。（2）PB'=2sin60°/sin75°≈2×0.866/0.966≈1.80米。（3）tanθ=h/PA'≈0.84/1.46≈0.575，θ≈arctan(0.575)≈30°。八、機器人導(dǎo)航與數(shù)列優(yōu)化題題目8：某AGV機器人在倉庫網(wǎng)格中沿x軸正方向行駛，從原點出發(fā)，第n分鐘速度vn=2n-1（米/分鐘），行駛1分鐘后調(diào)整速度。（1）求前5分鐘內(nèi)機器人的總位移；（2）若機器人在第k分鐘末收到停止指令，且需在停止前減速：第k分鐘速度為vk=2k-1，第k+1分鐘速度減為vk+1=vk-3，此后每分鐘速度再減3，直至速度為0停止。若總位移為100米，求k的值。解析：（1）前5分鐘位移S=v1×1+v2×1+v3×1+v4×1+v5×1=1+3+5+7+9=25米。（2）設(shè)減速階段行駛m分鐘，速度序列：2k-1,2k-4,...,2k-1-3(m-1)≥0，且2k-1-3m<0。減速位移Sm=m(2k-1+(2k-1-3(m-1)))/2=m(4k-2-3m+3)/2=m(4k+1-3m)/2?？偽灰?前k分鐘位移+Sm=k2+m(4k+1-3m)/2=100。試算k=7時，前7分鐘位移49，Sm=51。m=3時，Sm=3(28+1-9)/2=3×20/2=30<51；m=4時，Sm=4(28+1-12)/2=4×17/2=34；m=5時，Sm=5(28+1-15)/2=5×14/2=35；m=6時，Sm=6(28+1-18)/2=6×11/2=33（速度序列：13,10,7,4,1,-2，取前5項和13+10+7+4+1=35）。49+35=84<100。k=8時，前8分鐘位移64，Sm=36。m=4時，Sm=4(32+1-12)/2=4×21/2=42>36；m=3時，Sm=3(32+1-9)/2=3×24/2=36。故k=8，減速3分鐘。九、機器人動力學(xué)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題題目9：某人形機器人的膝關(guān)節(jié)扭矩M（單位：?！っ祝┡c關(guān)節(jié)角α（單位：弧度）的關(guān)系為M(α)=α3-3α2+2α+5，α∈[0,3]。（1）求扭矩M(α)的極值點及對應(yīng)極值；（2）若關(guān)節(jié)角速度ω=dα/dt=1.2弧度/秒，求α=1弧度時的扭矩變化率dM/dt；（3）求α∈[0,3]時扭矩的平均值，并判斷平均值是否在該區(qū)間內(nèi)取得。解析：（1）M’(α)=3α2-6α+2，令M’=0得α=(6±√(36-24))/6=1±√3/3≈0.423或1.577。M(0.423)≈0.4233-3×0.4232+2×0.423+5≈5.38（極大值）；M(1.577)≈1.5773-3×1.5772+2×1.577+5≈4.62（極小值）。（2）dM/dt=M’(α)·ω=(3α2-6α+2)×1.2，當(dāng)α=1時，dM/dt=(3-6+2)×1.2=-1.2牛·米/秒。（3）平均值=(1/(3-0))∫?3(α3-3α2+2α+5)dα=1/3[α?/4-α3+α2+5α]?3=1/3[(81/4-27+9+15)-0]=1/3×(81/4-3)=1/3×69/4=23/4=5.75。令M(α)=5.75，α3-3α2+2α+5=5.75→α3-3α2+2α