2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)每日一練（Day25）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=x2D.f(x)=lnx已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，則m的值為（）A.-6B.6C.-8/3D.8/3函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，2B.2π，2C.π，1D.2π，1已知α為銳角，cosα=3/5，則sin(α+π/6)=（）A.(4+3√3)/10B.(4-3√3)/10C.(3+4√3)/10D.(3-4√3)/10已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，a4=16，則該數(shù)列的前5項和S5=（）A.30B.62C.126D.254若函數(shù)f(x)=x2+2ax+3在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.a≤-2B.a≥-2C.a≤2D.a≥2二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的說法正確的是（）A.函數(shù)y=|x|是偶函數(shù)B.函數(shù)y=2?是奇函數(shù)C.函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)D.函數(shù)y=sinx的最小正周期是π已知直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)a=2時，l1與l2平行B.當(dāng)a=-1時，l1與l2垂直C.當(dāng)a=1時，l1與l2重合D.當(dāng)a=0時，l1與l2相交關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，下列結(jié)論正確的是（）A.sin(π+α)=-sinαB.cos(π-α)=cosαC.tan(-α)=-tanαD.sin(π/2-α)=sinα已知函數(shù)f(x)=x3-3x，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值B.函數(shù)f(x)在x=-1處取得極小值C.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞)D.函數(shù)f(x)的圖像與x軸有三個交點三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(f(1))=________。已知tanα=2，則sin2α=________。已知等差數(shù)列{an}中，a3=5，a7=13，則該數(shù)列的公差d=________。若函數(shù)f(x)=log?(x2-ax+3a)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________。四、解答題（本題共6小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，求：（1）A∩B；（2）A∪B；（3）(?RA)∩B。18.（本小題滿分10分）已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)。（1）求3a-2b；（2）求a與b的夾角θ；（3）若向量a+λb與向量a垂直，求λ的值。19.（本小題滿分11分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值；（3）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。20.（本小題滿分11分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=1，a3+a5=14。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=2^(an)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；（3）求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1。（1）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；（2）求函數(shù)f(x)的極值；（3）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。22.（本小題滿分12分）已知圓C的圓心在直線x-y-1=0上，且圓C經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-2)。（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l:kx-y+3=0與圓C相交于M、N兩點，且|MN|=4，求k的值；（3）若點P(x,y)在圓C上，求x2+y2的最大值和最小值。參考答案與解析一、選擇題A解析：解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}；解方程log?(x+1)=1得x=1，所以B={1}，則A∩B={1}。A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x-1≥0且3-x>0，解得1≤x<3，所以定義域是[1,3)。A解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)；f(x)=sinx是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)；f(x)=x2是偶函數(shù)；f(x)=lnx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。C解析：因為a⊥b，所以a·b=0，即2m+12=0，解得m=-6。A解析：函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/2=π，振幅是2。C解析：因為α為銳角，cosα=3/5，所以sinα=4/5，sin(α+π/6)=sinαcosπ/6+cosαsinπ/6=4/5×√3/2+3/5×1/2=(4√3+3)/10。B解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a4=a1q3，即16=2q3，解得q=2，所以S5=2(1-2?)/(1-2)=62。A解析：函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的對稱軸是x=-a，要使函數(shù)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減，需滿足-a≥2，即a≤-2。二、多選題AC解析：函數(shù)y=|x|是偶函數(shù)；函數(shù)y=2?既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)；函數(shù)y=sinx的最小正周期是2π。BCD解析：當(dāng)a=2時，l1:2x+2y+6=0即x+y+3=0，l2:x+y+3=0，兩直線重合；當(dāng)a=-1時，l1:-x+2y+6=0，l2:x-2y=0，斜率乘積為(-1/2)×(1/2)=-1/4≠-1，不垂直；當(dāng)a=1時，l1:x+2y+6=0，l2:x=0，兩直線相交；當(dāng)a=0時，l1:2y+6=0即y=-3，l2:x-y-1=0，兩直線相交。AC解析：sin(π+α)=-sinα；cos(π-α)=-cosα；tan(-α)=-tanα；sin(π/2-α)=cosα。CD解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1，當(dāng)x<-1或x>1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值；f(-1)=2，f(1)=-2，函數(shù)圖像與x軸有三個交點。三、填空題3解析：f(1)=1-2+3=2，f(f(1))=f(2)=4-4+3=3。4/5解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan2α)=4/5。2解析：a7-a3=4d=8，解得d=2。(-4,4]解析：令g(x)=x2-ax+3a，要使函數(shù)f(x)=log?g(x)在[2,+∞)上是增函數(shù)，需滿足g(x)在[2,+∞)上是增函數(shù)且g(x)>0恒成立，即a/2≤2且g(2)=4-2a+3a>0，解得-4<a≤4。四、解答題解：(1)解不等式x2-4x+3<0得1<x<3，所以A=(1,3)；解不等式2x-3>0得x>3/2，所以B=(3/2,+∞)，則A∩B=(3/2,3)。(2)A∪B=(1,+∞)。(3)?RA=(-∞,1]∪[3,+∞)，則(?RA)∩B=[3,+∞)。解：(1)3a-2b=3(1,2)-2(-3,4)=(3+6,6-8)=(9,-2)。(2)cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(-3+8)/(√5×5)=5/(5√5)=√5/5，所以θ=arccos(√5/5)。(3)因為(a+λb)⊥a，所以(a+λb)·a=0，即|a|2+λ(a·b)=0，5+λ(1×(-3)+2×4)=0，5+5λ=0，解得λ=-1。解：(1)f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期T=2π/2=π。(2)因為x∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]，當(dāng)2x+π/4=π/2即x=π/8時，f(x)取得最大值√2；當(dāng)2x+π/4=5π/4即x=π/2時，f(x)取得最小值-1。(3)令-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ，解得-3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ，k∈Z，所以單調(diào)遞增區(qū)間是[-3π/8+kπ,π/8+kπ]，k∈Z。解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3=a1+2d=1+2d=5，解得d=2，所以an=1+2(n-1)=2n-1。(2)bn=2^(2n-1)=2×4^(n-1)，所以數(shù)列{bn}是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，Sn=2(1-4?)/(1-4)=2(4?-1)/3。(3)anbn=(2n-1)×2×4^(n-1)=2(2n-1)4^(n-1)，Tn=2[1×4?+3×41+5×42+…+(2n-1)4^(n-1)]，4Tn=2[1×41+3×42+…+(2n-3)4^(n-1)+(2n-1)4?]，兩式相減得-3Tn=2[1+2×41+2×42+…+2×4^(n-1)-(2n-1)4?]=2[1+2×4(1-4^(n-1))/(1-4)-(2n-1)4?]=2[1+2(4?-4)/3-(2n-1)4?]=2[(3+2×4?-8)/3-(2n-1)4?]=2[(2×4?-5)/3-(2n-1)4?]=2[(2×4?-5-3(2n-1)4?)/3]=2[(2-6n+3)4?-5]/3=2[(5-6n)4?-5]/3，所以Tn=2[(6n-5)4?+5]/9。解：(1)f'(x)=3x2-6x+2。(2)令f'(x)=0得3x2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3，當(dāng)x<1-√3/3或x>1+√3/3時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1-√3/3<x<1+√3/3時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在x=1-√3/3處取得極大值，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)+1；在x=1+√3/3處取得極小值，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)+1。(3)f(-1)=-1-3-2+1=-5，f(1-√3/3)≈(1-0.577)3-3(1-0.577)2+2(1-0.577)+1≈0.4233-3×0.4232+2×0.423+1≈0.075-3×0.179+0.846+1≈0.075-0.537+0.846+1≈1.384，f(1+√3/3)≈(1+0.577)3-3(1+0.577)2+2(1+0.577)+1≈1.5773-3×1.5772+2×1.577+1≈3.927+3×2.487+3.154+1≈3.927+7.461+3.154+1≈15.542，f(2)=8-12+4+1=1，所以函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上的最大值是15.542，最小值是-5。解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b)，則a-b-1=0，即b=a-1，圓的半徑r=√[(a-1)2+(b-1)2]=√[(a-1)2+(a-2)2]，又因為圓經(jīng)過點B(2,-2)，所以√[(a-2)2+(b+2)2]=r，即√[(a-2)2+(a+1)2]=√[(a-1)2+(a-2)2]，兩邊平方得(a-2)2+(a+1)2=(a-1)2+(a-2)2，化簡得(a+1)2=(a-1)2，解得a=0，所以b=-1，r=√[(0-1)2+(-1-1)2]=√(1+4)=√5，所以圓C