2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)平面向量應(yīng)用舉例試題一、填空題（每小題5分，共30分）已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec=(x,-1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$x=$______在$\triangleABC$中，$\vec{AB}=\vec{c}$，$\vec{AC}=\vec$，$D$為$BC$中點(diǎn)，則$\vec{AD}=$______（用$\vec,\vec{c}$表示）向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,m)$，若$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}-\vec|$，則$m=$______已知$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，則$|2\vec{a}-3\vec|=$______在平面直角坐標(biāo)系中，$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$，則$\triangleABC$的面積為______已知$\vec{a}=(1,1)$，$\vec=(2,k)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則$k$的取值范圍是______二、選擇題（每小題5分，共30分）已知非零向量$\vec{a},\vec$滿足$|\vec{a}|=|\vec|=|\vec{a}-\vec|$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角為（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$在$\triangleABC$中，$\vec{AB}\cdot\vec{AC}<0$，則$\triangleABC$是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定已知$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-4,7)$，則$\vec{a}$在$\vec$方向上的投影為（）A.$\sqrt{13}$B.$\frac{\sqrt{65}}{5}$C.$\frac{13}{\sqrt{65}}$D.$\frac{65}{5}$設(shè)$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)$A(1,1)$，$B(2,-1)$，若$\vec{OC}=\vec{OA}+k\vec{OB}$，且點(diǎn)$C$在$y$軸上，則$k=$（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$-1$D.$1$已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(x,1)$，若$(\vec{a}+2\vec)\parallel(2\vec{a}-\vec)$，則$x=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$2$C.$1$D.$\frac{1}{3}$在四邊形$ABCD$中，$\vec{AB}=(1,2)$，$\vec{BC}=(-4,-1)$，$\vec{CD}=(-5,-3)$，則四邊形$ABCD$是（）A.平行四邊形B.梯形C.菱形D.矩形三、解答題（共90分）（12分）已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-3,2)$，當(dāng)$k$為何值時(shí)：（1）$k\vec{a}+\vec$與$\vec{a}-3\vec$垂直；（2）$k\vec{a}+\vec$與$\vec{a}-3\vec$平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？（14分）在$\triangleABC$中，$A(2,-1)$，$B(3,2)$，$C(-3,-1)$，$AD$是$BC$邊上的高，求點(diǎn)$D$的坐標(biāo)及$\vec{AD}$的模長。（14分）已知$|\vec{a}|=4$，$|\vec|=8$，$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$120^\circ$，求：（1）$\vec{a}\cdot\vec$；（2）$(\vec{a}+2\vec)\cdot(2\vec{a}-\vec)$；（3）$|4\vec{a}+2\vec|$。（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量$\vec{OA}=(2,1)$，$\vec{OB}=(1,7)$，$\vec{OC}=(5,1)$，點(diǎn)$M$是直線$OP$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（$P$是線段$BC$的中點(diǎn)）。（1）求點(diǎn)$P$的坐標(biāo)；（2）求$\vec{MA}\cdot\vec{MB}$的最小值及此時(shí)點(diǎn)$M$的坐標(biāo)。（16分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的對(duì)邊分別為$a,b,c$，已知$\vec{m}=(b\cosC,-1)$，$\vec{n}=((c-3a)\cosB,1)$，且$\vec{m}\parallel\vec{n}$。（1）求$\cosB$的值；（2）若$b=2\sqrt{2}$，$\triangleABC$的面積為$2\sqrt{2}$，求$a,c$的值。（16分）如圖所示，在$\triangleABC$中，$D$是$BC$的中點(diǎn)，$E$是$AD$上一點(diǎn)，且$\vec{AE}=2\vec{ED}$，$BE$的延長線交$AC$于點(diǎn)$F$。（1）用$\vec{AB},\vec{AC}$表示向量$\vec{AD},\vec{BE}$；（2）若$\vec{AF}=\lambda\vec{AC}$，求實(shí)數(shù)$\lambda$的值；（3）若$AB=AC=2$，$\angleBAC=60^\circ$，求$\vec{BF}\cdot\vec{CF}$的值。參考答案及解析一、填空題$\frac{4}{3}$解析：由$\vec{a}\perp\vec$得$\vec{a}\cdot\vec=0$，即$3x+4\times(-1)=0$，解得$x=\frac{4}{3}$。$\frac{1}{2}\vec+\frac{1}{2}\vec{c}$解析：$D$為$BC$中點(diǎn)，則$\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{c}+\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})=\frac{1}{2}\vec+\frac{1}{2}\vec{c}$。$-1$解析：由$|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}-\vec|$平方得$\vec{a}\cdot\vec=0$，即$1\times2+2m=0$，解得$m=-1$。$\sqrt{61}$解析：$|2\vec{a}-3\vec|^2=4|\vec{a}|^2-12\vec{a}\cdot\vec+9|\vec|^2=4\times4-12\times2\times3\times\cos60^\circ+9\times9=16-36+81=61$，故$|2\vec{a}-3\vec|=\sqrt{61}$。$8$解析：$\vec{AB}=(2,2)$，$\vec{AC}=(4,-2)$，面積$S=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac{1}{2}|2\times(-2)-2\times4|=\frac{1}{2}|-4-8|=6$（注：原答案計(jì)算有誤，正確值為6）。$k>-2$且$k\neq2$解析：$\vec{a}\cdot\vec=2+k>0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線，即$k>-2$且$1\timesk\neq1\times2$，故$k>-2$且$k\neq2$。二、選擇題C解析：設(shè)$|\vec{a}|=|\vec|=|\vec{a}-\vec|=m$，則$|\vec{a}-\vec|^2=m^2$，即$|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec+|\vec|^2=m^2$，解得$\vec{a}\cdot\vec=\frac{m^2}{2}$，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{1}{2}$，故$\theta=60^\circ$。C解析：$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}||\vec{AC}|\cosA<0$，則$\cosA<0$，$A$為鈍角，故$\triangleABC$是鈍角三角形。C解析：投影公式$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}=\frac{2\times(-4)+3\times7}{\sqrt{(-4)^2+7^2}}=\frac{-8+21}{\sqrt{65}}=\frac{13}{\sqrt{65}}$。A解析：$\vec{OC}=(1+2k,1-k)$，點(diǎn)$C$在$y$軸上則$1+2k=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$。A解析：$\vec{a}+2\vec=(1+2x,2+2)$，$2\vec{a}-\vec=(2-x,4-1)$，由平行條件$(1+2x)\times3-(4)(2-x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。B解析：$\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=(1-4-5,2-1-3)=(-8,-2)$，$\vec{BC}=(-4,-1)$，則$\vec{AD}=2\vec{BC}$，故$AD\parallelBC$且$AD\neqBC$，四邊形$ABCD$是梯形。三、解答題解：（1）$k\vec{a}+\vec=(k-3,2k+2)$，$\vec{a}-3\vec=(1+9,2-6)=(10,-4)$由垂直得$(k-3)\times10+(2k+2)\times(-4)=0$，解得$k=19$（2）由平行得$(k-3)\times(-4)-(2k+2)\times10=0$，解得$k=-\frac{1}{3}$此時(shí)$k\vec{a}+\vec=(-\frac{10}{3},\frac{4}{3})=-\frac{1}{3}(10,-4)=-\frac{1}{3}(\vec{a}-3\vec)$，方向相反解：（1）設(shè)$D(x,y)$，則$\vec{AD}=(x-1,y+1)$，$\vec{BC}=(-6,-3)$由$AD\perpBC$得$-6(x-1)-3(y+1)=0$，即$2x+y=1$又$D$在$BC$上，$\vec{BD}=(x-3,y-2)=\lambda\vec{BC}=(-6\lambda,-3\lambda)$解得$x=3-6\lambda$，$y=2-3\lambda$，代入$2x+y=1$得$\lambda=\frac{1}{3}$故$D(1,1)$，$\vec{AD}=(0,2)$，$|\vec{AD}|=2$解：（1）$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos120^\circ=4\times8\times(-\frac{1}{2})=-16$（2）$(\vec{a}+2\vec)\cdot(2\vec{a}-\vec)=2|\vec{a}|^2+3\vec{a}\cdot\vec-2|\vec|^2=2\times16+3\times(-16)-2\times64=32-48-128=-144$（3）$|4\vec{a}+2\vec|^2=16|\vec{a}|^2+16\vec{a}\cdot\vec+4|\vec|^2=16\times16+16\times(-16)+4\times64=256-256+256=256$，故$|4\vec{a}+2\vec|=16$解：（1）$P$是$BC$中點(diǎn)，$B(1,7)$，$C(5,1)$，則$P(\frac{1+5}{2},\frac{7+1}{2})=(3,4)$（2）設(shè)$M(3t,4t)$，則$\vec{MA}=(1-3t,1-4t)$，$\vec{MB}=(2-3t,-1-4t)$$\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(1-3t)(2-3t)+(1-4t)(-1-4t)=25t^2-9t+1$當(dāng)$t=\frac{9}{50}$時(shí)，最小值為$\frac{19}{100}$，此時(shí)$M(\frac{27}{50},\frac{18}{25})$解：（1）由$\vec{m}\parallel\vec{n}$得$b\cosC\times1+1\times(c-3a)\cosB=0$由正弦定理得$\sinB\cosC+(\sinC-3\sinA)\cosB=0$整理得$\sin(B+C)=3\sinA\cosB$，即$\sinA=3\sinA\cosB$，解得$\cosB=\frac{1}{3}$（2）$S=\frac{1}{2}ac\sinB=2\sqrt{2}$，$\sinB=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則$ac=6$由余弦定理$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$得$8=a^2+c^2-4$，即$a^2+c^2=12$解得$a=c=\sqrt{6}$解：（1）$\vec{AD}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})$，$\vec{BE}=\vec{AE}-\vec{AB}=\frac{2}{3}\vec{AD}-\vec{AB}=-\frac{2}{3}\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{AC}$（2）設(shè)$\vec{BF}=\vec{BA}+\lambda\vec{AC}=-\vec{AB}+\lambda\vec