2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)志愿服務(wù)背景試題一、集合與函數(shù)應(yīng)用：社區(qū)志愿服務(wù)管理問題1某社區(qū)在2025年暑假組織"敬老助老"志愿服務(wù)活動，將志愿者分為3個小組：A組負(fù)責(zé)日常探訪（15人），B組負(fù)責(zé)物資配送（12人），C組負(fù)責(zé)文化活動（8人）。其中有5人同時參加A組和B組，3人同時參加B組和C組，2人同時參加A組和C組，還有1人三個小組都參與。（1）用集合運算表示總志愿者人數(shù)并計算結(jié)果；（2）若從所有志愿者中隨機(jī)抽取1人，求該志愿者僅參加一個小組的概率；（3）已知A組每人每周服務(wù)時間X（小時）服從正態(tài)分布N(6,12)，求P(5<X≤7)的值（參考數(shù)據(jù)：Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772）。問題2社區(qū)圖書館需要整理捐贈圖書，志愿者發(fā)現(xiàn)某類數(shù)學(xué)教輔書的借閱量y（本/周）與定價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系。當(dāng)定價為15元時借閱量為120本，定價為20元時借閱量為100本。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若每本書的采購成本為8元，如何定價可使每周銷售利潤最大？（利潤=借閱量×(定價-成本)）（3）在志愿服務(wù)中，志愿者需將圖書按照"中圖法"分類，已知書架第3層有數(shù)學(xué)類（50本）、物理類（30本）、化學(xué)類（20本）圖書，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3本，求至少有1本數(shù)學(xué)類圖書的概率。二、三角函數(shù)與幾何：環(huán)保志愿服務(wù)實踐問題3"綠動校園"志愿者團(tuán)隊在操場測量樹木高度。某同學(xué)在離樹干底部10米處（B點）用測角儀測得樹梢A點仰角為30°，測角儀高度CD=1.5米（如圖）。（1）求樹高AB（精確到0.1米，√3≈1.732）；（2）若同一棵樹在陽光下的影長為8米，同時測得垂直于地面的1米標(biāo)桿影長為0.8米，驗證（1）中計算結(jié)果的合理性；（3）志愿者計劃在樹周圍種植環(huán)形花卉帶，花卉帶內(nèi)圈半徑為2米，外圈半徑為4米，求該圓環(huán)的面積及種植密度（每平方米需花苗15株）。問題4為監(jiān)測社區(qū)空氣質(zhì)量，志愿者在點O處設(shè)置PM2.5監(jiān)測儀，分別在東、南、西、北四個方向的A、B、C、D四點采集數(shù)據(jù)（OA=OB=OC=OD=200米）。某日14:00測得各點PM2.5濃度（μg/m3）如下：A(120,0°)、B(90,90°)、C(150,180°)、D(80,270°)（極坐標(biāo)表示）。（1）將A、B、C、D四點濃度轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)表示；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，計算該監(jiān)測區(qū)域內(nèi)PM2.5濃度的加權(quán)平均值（以距離平方的倒數(shù)為權(quán)重）；（3）若濃度隨時間t（小時）變化規(guī)律近似滿足f(t)=100+50sin(π/12t)，求次日6:00時的預(yù)測濃度。三、數(shù)列與統(tǒng)計：公益活動數(shù)據(jù)分析問題5"暖冬行動"志愿者團(tuán)隊連續(xù)10周收集舊衣物，每周收集量（單位：件）依次為：32,45,50,48,55,60,58,65,70,72。（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差；（2）用最小二乘法求收集量y關(guān)于周次x的線性回歸方程y=bx+a（保留2位小數(shù)）；（3）根據(jù)回歸方程預(yù)測第12周的收集量，并分析實際值可能產(chǎn)生偏離的3個志愿服務(wù)相關(guān)因素。問題6某社區(qū)老年食堂志愿服務(wù)中，志愿者記錄了100位老人的用餐偏好：|年齡組|偏愛面食|偏愛米飯|總計||--------|----------|----------|------||60-70歲|25|15|40||71-80歲|20|22|42||80歲以上|8|10|18||總計|53|47|100|（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為"用餐偏好與年齡組有關(guān)"（參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，臨界值3.841）；（2）從"偏愛面食"的老人中按分層抽樣抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選2人贈送營養(yǎng)早餐，求2人來自不同年齡組的概率；（3）志愿者需為糖尿病老人準(zhǔn)備低糖餐食，已知某低糖食譜中碳水化合物、蛋白質(zhì)、脂肪的供能比為5:2:3，若每日需攝入1800千卡熱量，計算蛋白質(zhì)的供給量（1克碳水化合物/蛋白質(zhì)=4千卡，1克脂肪=9千卡）。四、不等式與線性規(guī)劃：大型賽會志愿服務(wù)問題7"青春馬拉松"賽事需安排A、B兩類志愿者共120人。A類負(fù)責(zé)物資補給（每人每天40元交通補貼），B類負(fù)責(zé)賽道引導(dǎo)（每人每天30元交通補貼）。組委會要求B類人數(shù)不少于A類人數(shù)的2倍，且A類至少25人。（1）設(shè)A類志愿者x人，寫出總補貼費用y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍；（2）如何安排兩類志愿者人數(shù)可使總補貼費用最低？最低費用是多少？（3）賽事設(shè)有5個補給站，每個補給站需礦泉水（24瓶/箱）和能量膠（30個/盒）。志愿者發(fā)現(xiàn)：每箱礦泉水售價50元，每盒能量膠售價80元。若組委會要求每個補給站物資費用不超過600元，且礦泉水箱數(shù)不少于能量膠盒數(shù)，列出所有可能的采購方案。問題8志愿者在賽事終點設(shè)置矩形休息區(qū)，周長固定為40米。（1）求休息區(qū)面積S關(guān)于長x的函數(shù)關(guān)系式，并求最大值；（2）若休息區(qū)地面需鋪設(shè)防滑墊，A品牌（50元/㎡）和B品牌（40元/㎡）的防滑系數(shù)分別為0.8和0.6，要求總面積不低于90㎡且防滑系數(shù)加權(quán)平均值不低于0.72，如何選購可使鋪設(shè)成本最低？（3）賽事獎牌設(shè)計為扇形，半徑5cm，圓心角120°，求獎牌面積及制作1000枚獎牌所需金屬材料體積（厚度0.3cm）。五、數(shù)學(xué)建模與綜合應(yīng)用問題9社區(qū)"智慧養(yǎng)老"志愿服務(wù)中，志愿者為獨居老人設(shè)計緊急呼叫系統(tǒng)。系統(tǒng)響應(yīng)時間t（分鐘）與志愿者人數(shù)n的關(guān)系滿足t=20/(n+1)+1（n≥1）。（1）當(dāng)志愿者人數(shù)從5人增加到10人時，響應(yīng)時間縮短了多少？（2）若要求響應(yīng)時間不超過5分鐘，至少需要多少名志愿者同時在崗？（3）建立"服務(wù)滿意度"模型：滿意度S=0.6×(10-t)+0.4×(n/20)，其中t≤10，n≤20。求S的最大值及對應(yīng)的n值，并解釋該模型中各參數(shù)的實際意義。問題10某中學(xué)志愿服務(wù)中心統(tǒng)計顯示，參與志愿服務(wù)時長x（小時）與學(xué)生綜合素質(zhì)評價分?jǐn)?shù)y（分）呈線性相關(guān)。隨機(jī)抽取8名學(xué)生數(shù)據(jù)如下：x:20,30,40,50,60,70,80,90y:65,72,78,82,85,88,90,93（1）計算相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），判斷線性相關(guān)程度（參考公式：r=Σ(xi-$\bar{x}$)(yi-$\bar{y}$)/√[Σ(xi-$\bar{x}$)2Σ(yi-$\bar{y}$)2]）；（2）若學(xué)校規(guī)定綜合素質(zhì)評價85分以上者可參與"優(yōu)秀志愿者"評選，估計至少需要志愿服務(wù)多少小時？（3）在志愿服務(wù)檔案管理中，每位志愿者的電子檔案需包含10項基礎(chǔ)信息和5項動態(tài)數(shù)據(jù)，若數(shù)據(jù)錄入錯誤率為0.5%，求隨機(jī)抽查一份檔案發(fā)現(xiàn)至少1處錯誤的概率（精確到0.001）。（注：本試題共10題，滿分150分，考試時間120分鐘。所有問題均基于2025年真實志愿服務(wù)場景設(shè)計，數(shù)據(jù)來源為各地志愿服務(wù)管理平臺公開信息。）試題設(shè)計說明：知識點覆蓋：全面涵蓋集合函數(shù)、三角函數(shù)、幾何、數(shù)列統(tǒng)計、不等式等高一數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，符合2025年教學(xué)大綱要