2025年線性代數(shù)傳染病動力學中的SEIR模型試題一、SEIR模型的基本結(jié)構(gòu)與參數(shù)體系SEIR模型作為經(jīng)典的傳染病動力學倉室模型，通過將人群劃分為易感者（S）、暴露者（E）、傳染者（I）和恢復者（R）四個相互獨立的狀態(tài)，描述病原體在群體中的傳播過程。其核心假設包括：總?cè)丝诤愣ǎ?N=S+E+I+R$，忽略出生、死亡及遷移的影響；狀態(tài)轉(zhuǎn)移不可逆：個體按$S\toE\toI\toR$的路徑單向流動（無免疫喪失或重復感染）；均勻混合假設：群體內(nèi)個體接觸概率均等，有效接觸率僅與群體規(guī)模相關。模型的關鍵參數(shù)定義如下表：參數(shù)符號物理意義典型取值范圍單位$\beta$有效感染率（單位時間接觸傳染概率）$0.1\sim1.0$天$^{-1}$$\sigma$潛伏期結(jié)束速率（暴露者轉(zhuǎn)傳染者）$1/5.2$（COVID-19）天$^{-1}$$\gamma$恢復率（傳染者轉(zhuǎn)恢復者速率）$1/14$（COVID-19）天$^{-1}$$R_0$基本再生數(shù)（單個傳染者平均傳染人數(shù)）$1.5\sim6.0$無量綱其中，$R_0=\beta/\gamma$是衡量疾病傳播潛力的核心指標，當$R_0>1$時疫情將持續(xù)擴散，反之則逐漸消亡。二、SEIR模型的微分方程組與線性化表示2.1非線性微分方程組SEIR模型的動態(tài)變化由以下常微分方程組描述：$$\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}\\frac{dE}{dt}=\frac{\betaSI}{N}-\sigmaE\\frac{dI}{dt}=\sigmaE-\gammaI\\frac{dR}{dt}=\gammaI\end{cases}$$該方程組的非線性源于$S$與$I$的乘積項$\betaSI/N$，反映了易感者與傳染者的接觸依賴關系。2.2線性代數(shù)矩陣表示在疫情初期（$I\llN$且$S\approxN$），可通過線性化近似將模型轉(zhuǎn)化為矩陣形式。令狀態(tài)向量$\mathbf{X}=[S,E,I,R]^T$，則系統(tǒng)的雅可比矩陣為：$$\mathbf{J}=\begin{bmatrix}0&0&-\beta&0\0&-\sigma&\beta&0\0&\sigma&-\gamma&0\0&0&\gamma&0\end{bmatrix}$$此時，微分方程組可表示為$\frac{d\mathbf{X}}{dt}=\mathbf{J}\mathbf{X}$，通過矩陣特征值分析可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。例如，當$\text{Re}(\lambda_{\text{max}})>0$時（$\lambda_{\text{max}}$為最大特征值），疫情進入指數(shù)增長階段。2.3差分格式的矩陣迭代實際計算中常采用歐拉法將連續(xù)系統(tǒng)離散化，時間步長$\Deltat=1$天時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：$$\begin{bmatrix}S_{t+1}\E_{t+1}\I_{t+1}\R_{t+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&-\beta\Deltat&0\0&1-\sigma\Deltat&\beta\Deltat&0\0&\sigma\Deltat&1-\gamma\Deltat&0\0&0&\gamma\Deltat&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}S_t\E_t\I_t\R_t\end{bmatrix}$$該迭代格式可通過矩陣乘法快速求解，適用于大規(guī)模數(shù)值模擬與參數(shù)敏感性分析。三、線性代數(shù)工具在模型分析中的應用3.1基本再生數(shù)$R_0$的矩陣特征值計算對于包含潛伏期的SEIR模型，$R_0$可通過下一代矩陣（Next-GenerationMatrix）求解。定義傳染者產(chǎn)生新病例的轉(zhuǎn)移矩陣$\mathbf{K}$和移除矩陣$\mathbf{D}$：$$\mathbf{K}=\begin{bmatrix}0&\beta&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix},\quad\mathbf{D}=\begin{bmatrix}\sigma&0&0\0&\gamma&0\0&0&0\end{bmatrix}$$則$R_0$等于矩陣$\mathbf{K}\mathbf{D}^{-1}$的譜半徑（最大特征值），即$R_0=\beta/\gamma$，與經(jīng)典定義一致。3.2狀態(tài)空間的維度壓縮與主成分分析（PCA）當模型擴展至包含年齡結(jié)構(gòu)、空間分布等復雜因素時，狀態(tài)向量維度可能高達數(shù)百維。通過PCA可將高維數(shù)據(jù)投影至低維特征空間，其核心步驟為：對模擬數(shù)據(jù)矩陣$\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{T\times4}$（$T$為時間步數(shù)）進行標準化；計算協(xié)方差矩陣$\mathbf{C}=\frac{1}{T-1}\mathbf{X}^T\mathbf{X}$；求解$\mathbf{C}$的特征值與特征向量，取前2個主成分（累計貢獻率>95%）可視化疫情動態(tài)。例如，COVID-19疫情數(shù)據(jù)的PCA結(jié)果顯示，第一主成分（貢獻率82%）主要反映$S$與$R$的消長關系，第二主成分（貢獻率15%）反映$E$與$I$的相位差。四、模型擴展與參數(shù)敏感性分析4.1含疫苗接種的SEIR-V模型引入疫苗接種倉室$V$（接種后獲得完全免疫），擴展模型的微分方程組為：$$\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}-\nuS\\frac{dV}{dt}=\nuS\\frac{dE}{dt}=\frac{\betaSI}{N}-\sigmaE\\frac{dI}{dt}=\sigmaE-\gammaI\\frac{dR}{dt}=\gammaI\end{cases}$$其中$\nu$為日接種率。通過矩陣擾動理論分析可知，疫苗接種可使有效再生數(shù)降至$R_{\text{eff}}=R_0(1-p)$（$p$為接種覆蓋率），當$p>1-1/R_0$時可實現(xiàn)群體免疫。4.2參數(shù)敏感性的矩陣條件數(shù)分析采用條件數(shù)（ConditionNumber）評估參數(shù)擾動對模型輸出的影響。定義輸出向量$\mathbf{Y}=[I_{\text{peak}},t_{\text{peak}},R_{\text{total}}]^T$（峰值感染數(shù)、達峰時間、累計恢復數(shù)），參數(shù)向量$\boldsymbol{\theta}=[\beta,\sigma,\gamma]^T$，則敏感性矩陣$\mathbf{S}=\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial\boldsymbol{\theta}}$的條件數(shù)為：$$\text{cond}(\mathbf{S})=|\mathbf{S}|_2|\mathbf{S}^{-1}|_2$$當$\text{cond}(\mathbf{S})>100$時，模型對參數(shù)擾動高度敏感。例如，$\beta$的10%誤差可導致$I_{\text{peak}}$偏差30%以上，需通過貝葉斯反演進行參數(shù)校準。五、數(shù)值模擬與防控策略優(yōu)化5.1基于MATLAB的SEIR模型實現(xiàn)以下為SEIR模型的MATLAB數(shù)值求解代碼，采用ode45函數(shù)求解微分方程組并可視化結(jié)果：functionseir_simulation()%參數(shù)設置N=1e6;%總?cè)丝赽eta=0.5;%感染率sigma=1/5.2;%潛伏期速率（5.2天）gamma=1/14;%恢復率（14天）y0=[N-10,0,10,0];%初始狀態(tài)[S,E,I,R]tspan=[0,180];%模擬180天%求解微分方程[t,y]=ode45(@(t,y)seir_deriv(t,y,beta,sigma,gamma,N),tspan,y0);%可視化figure;plot(t,y(:,1)/N,'b',t,y(:,2)/N,'m',t,y(:,3)/N,'r',t,y(:,4)/N,'g');legend('易感者(S)','暴露者(E)','傳染者(I)','恢復者(R)');xlabel('時間（天）');ylabel('占總?cè)丝诒壤?);title('SEIR模型疫情傳播曲線');gridon;endfunctiondydt=seir_deriv(t,y,beta,sigma,gamma,N)S=y(1);E=y(2);I=y(3);R=y(4);dydt=[-beta*S*I/N;beta*S*I/N-sigma*E;sigma*E-gamma*I;gamma*I];end模擬結(jié)果顯示，疫情峰值通常出現(xiàn)在暴露者曲線下降與傳染者曲線上升的交點處，且峰值高度與$\beta$呈正相關，與$\gamma$呈負相關。5.2非藥物干預（NPIs）的矩陣表示社交距離、封鎖等干預措施可通過降低$\beta$實現(xiàn)。假設干預后$\beta$降至$\beta'=\beta\cdot\alpha$（$\alpha<1$為干預強度系數(shù)），則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的$(1,3)$元素由$-\beta$變?yōu)?-\beta\alpha$。通過矩陣特征值跟蹤可知，當$\alpha<1/R_0$時，$R_{\text{eff}}<1$，疫情將得到控制。六、模型局限性與前沿拓展6.1經(jīng)典模型的固有缺陷空間均勻性假設失效：實際疫情呈現(xiàn)聚集性傳播，需結(jié)合圖論引入接觸網(wǎng)絡拓撲（如無標度網(wǎng)絡的度分布修正）；參數(shù)時變性：$\beta$和$\gamma$隨季節(jié)、政策干預動態(tài)變化，需采用時變矩陣$\mathbf{J}(t)$描述；個體異質(zhì)性：年齡、基礎疾病等因素導致易感性差異，需建立分塊矩陣模型$\mathbf{J}=\text{diag}(\mathbf{J}_1,\mathbf{J}_2,...,\mathbf{J}_k)$（$k$為年齡組）。6.2結(jié)合機器學習的混合建模方法通過LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡擬合SEIR模型殘差，可構(gòu)建數(shù)據(jù)驅(qū)動的校正模型：$$\mathbf{X}_{t+1}=\mathbf{M}\mathbf{X}_t+\text{LSTM}(\mathbf{X}_t,\epsilon_t)$$其中$\mathbf{M}$為線性化轉(zhuǎn)移矩陣，$\epsilon_t$為模型誤差。該方法在2025年新型流感預測中已實現(xiàn)92%的峰值時間預測精度，較傳統(tǒng)模型提升15%。七、綜合應用題題目：基于SEIR模型的疫情防控策略優(yōu)化背景：某城市總?cè)丝?N=100$萬，初始確診病例$I_0=50$人，無暴露者和康復者。已知$\beta=0.3$天$^{-1}$，$\sigma=1/6$天$^{-1}$，$\gamma=1/10$天$^{-1}$。問題：計算基本再生數(shù)$R_0$，判斷疫情是否會擴散；建立離散時間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，預測第10天的各倉室人數(shù)；若實施封控使$\beta$降低40%，計算需維持封控多少天可使$R_{\text{eff}}<1$；設計數(shù)值實驗，比較“全員核酸（降低$\sigma$）”與“社交距離（降低$\beta$）”對峰值感染數(shù)的影響差異（要求繪制對比曲線并計算相對降幅）。解答要點：$R_0=\beta/\gamma=0.3/0.1=3>1$，疫情將擴散；離散轉(zhuǎn)移矩陣$\mathbf{M}$中，$I_{t+1}=I_t+\sigmaE_t-\gammaI_t$，需迭代計算前10天狀態(tài)；封控后$\beta'=0.3\times0.6=0.18$，$R_{\text{eff}}=0.18/0.1=1.8>1$，需進一步降低$\beta