2025年線性代數(shù)等值試卷版試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）設(shè)矩陣(A)通過初等行變換變?yōu)榫仃?B)，則(r(A))與(r(B))的關(guān)系為（）A.(r(A)>r(B))B.(r(A)=r(B))C.(r(A)<r(B))D.無法判定設(shè)(A)為(n)階方陣且(|A|=0)，則（）A.(A)中有一行元素全為零B.(A)有兩行（列）元素對應(yīng)成比例C.(A)中必有一行為其他行的線性組合D.(A)的任一行為其他行的線性組合設(shè)(A)是(n)階矩陣((n\geq2))，(A^)是(A)的伴隨矩陣，若(|A|=2)，則(|A^|)的值為（）A.(2^{n-1})B.(2^n)C.(2)D.(4)下列不是(n)維向量組(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)線性無關(guān)的充分必要條件是（）A.存在一組不全為零的數(shù)(k_1,k_2,\dots,k_m)使得(\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i=0)B.不存在一組不全為零的數(shù)(k_1,k_2,\dots,k_m)使得(\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i=0)C.向量組的秩等于(m)D.向量組中任意一個(gè)向量都不能用其他向量線性表示設(shè)(A)為(n)階矩陣，若矩陣(A+E)的秩為(r)，則(A-E)的秩必為（）A.(1)B.(n-r)C.(r)D.(n)四階行列式(\begin{vmatrix}1&0&0&0\0&2&0&0\0&0&3&0\0&0&0&4\end{vmatrix})的值等于（）A.(0)B.(24)C.(12)D.(10)設(shè)(A)為四階矩陣且(|A|=2)，則伴隨矩陣(A^)的行列式(|A^|)為（）A.(2)B.(4)C.(8)D.(16)設(shè)(A)為(n)階矩陣且滿足(A^2=A)，(E)為(n)階單位矩陣，則（）A.(A=0)B.(A=E)C.(r(A)+r(A-E)=n)D.(A)不可逆設(shè)(A)與(B)是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）A.(A)與(B)的秩相同B.(A)與(B)的特征值相同C.(A)與(B)的特征矩陣相似D.(A)與(B)的行列式相同設(shè)(\lambda)為(n)階矩陣(A)的特征值，則(\lambda^2+2\lambda)是矩陣（）的特征值A(chǔ).(A^2+2A)B.(A+2E)C.(A^2)D.(2A)二、填空題（每題3分，共18分）計(jì)算行列式(\begin{vmatrix}2&1&0&0\1&2&1&0\0&1&2&1\0&0&1&2\end{vmatrix}=)__________。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A^{-1}=)__________。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3)對應(yīng)的對稱矩陣為__________。已知(\alpha_1=(1,0,0))，(\alpha_2=(0,1,0))，(\alpha_3=(0,0,1))是歐氏空間(\mathbb{R}^3)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則向量(\beta=(2,-1,3))在這組基下的坐標(biāo)為__________。已知矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A)的特征值之和為__________。設(shè)(\alpha,\beta,\gamma)均為3維列向量，記矩陣(A=(\alpha,\beta,\gamma))，(B=(\alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha))。若(|A|=1)，則(|B|=)__________。三、計(jì)算題（共8分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{pmatrix})，求(A^{-1})。四、解答題（共10分）設(shè)向量組(\alpha_1=(1,2,-1,4))，(\alpha_2=(2,4,3,5))，(\alpha_3=(-1,-2,6,-7))，(\alpha_4=(2,4,-5,11))，(\alpha_5=(2,4,-1,10))。試求該向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并將其他向量用該極大無關(guān)組線性表示。五、線性方程組解的討論（共12分）討論線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+ax_3=2\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases})解的情況，并在有無窮多解時(shí)求其通解。六、矩陣特征值與正交對角化（共14分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix})。（1）求(A)的所有特征值和特征向量；（2）求正交矩陣(Q)，使得(Q^{-1}AQ)為對角矩陣。七、證明題（共8分）對任意的(n)階矩陣(A)，證明：（1）(A+A^T)為對稱矩陣，(A-A^T)為反對稱矩陣；（2）(A)可表示為一個(gè)對稱矩陣和一個(gè)反對稱矩陣之和。八、綜合題（共18分）設(shè)(A)是3階實(shí)對稱矩陣，其特征值為(\lambda_1=1)（二重），(\lambda_2=-2)，且對應(yīng)于(\lambda_1=1)的特征向量為(\alpha_1=(1,1,0)^T)，(\alpha_2=(1,-1,1)^T)。求矩陣(A)。（9分）已知二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+tx_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3)正定，求實(shí)數(shù)(t)的取值范圍。（9分）九、高階行列式計(jì)算（共10分）計(jì)算(n)階行列式(D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\dots&b\b&a&b&\dots&b\b&b&a&\dots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\dots&a\end{vmatrix})。十、向量空間與過渡矩陣（共10分）在四元實(shí)向量構(gòu)成的線性空間(\mathbb{R}^4)中，已知基(\alpha_1=(1,0,0,0))，(\alpha_2=(0,1,0,0))，(\alpha_3=(0,0,1,0))，(\alpha_4=(0,0,0,1))和基(\beta_1=(1,1,1,1))，(\beta_2=(1,1,-1,-1))，(\beta_3=(1,-1,1,-1))，(\beta_4=(1,-1,-1,1))。求由基({\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4})到基({\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4})的過渡矩陣(P)。十一、二次型正定性（共10分）已知實(shí)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=tx_1^2+tx_2^2+tx_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3)，問(t)為何值時(shí)，該二次型為正定二次型？十二、證明題（共10分）設(shè)(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)是歐氏空間(V)的標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明(\beta_1