第1模塊數(shù)與式第二章整式考向分布考頻課標(biāo)要求1.列代數(shù)式

1.借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義.2.能分析具體問題中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需的公式.3.會(huì)把具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算.4.了解代數(shù)推理.2.求代數(shù)式的值

3.規(guī)律探索題

典例1某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng).現(xiàn)需購(gòu)買甲、乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本.設(shè)購(gòu)買甲種讀本x本，則購(gòu)買乙種讀本的費(fèi)用為(

)A.8x元 B.10(100－x)元C.8(100－x)元 D.(100－8x)元列代數(shù)式解析

∵購(gòu)買甲種讀本x本，∴購(gòu)買乙種讀本(100－x)本，∴購(gòu)買乙種讀本的費(fèi)用為8(100－x)元.答案

C列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題(1)在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量.(2)要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”(乘號(hào))簡(jiǎn)寫作“·”或者省略不寫.(3)在數(shù)和表示數(shù)的字母的乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面.若這個(gè)數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，則需要把它化成假分?jǐn)?shù).(4)含有字母的除法一般不用“÷”(除號(hào))，而是寫成分?jǐn)?shù)的形式.典例2已知x＋2y＝3，則1＋2x＋4y＝

.求代數(shù)式的值點(diǎn)撥

方法①(整體代入法)：將原式變形，進(jìn)而整體代入代數(shù)式求出答案.方法②(直接代入法)：化簡(jiǎn)已知條件，然后代入求值.解析

方法①當(dāng)x＋2y＝3時(shí)，原式＝1＋2(x＋2y)＝1＋2×3＝1＋6＝7.

方法②∵x＋2y＝3，∴x＝3－2y，∴原式＝1＋2(3－2y)＋4y

＝1＋6－4y＋4y＝7.答案

7求代數(shù)式值的一般方法(1)直接代入法：把已知字母(或式子)的值代入所求的代數(shù)式中，按照代數(shù)式原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值.(2)整體代入法：①觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系；②將所求式子變形后與已知代數(shù)式形成某種關(guān)系(一般會(huì)用到提公因式、平方差公式、完全平方公式等)；③把已知代數(shù)式看成整體，代入所求代數(shù)式中求值.變式訓(xùn)練1

已知x＝5－y，xy＝2，則3x＋3y－4xy的值為

.【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5.當(dāng)x＋y＝5，xy＝2時(shí)，原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5－4×2＝15－8＝7.7

規(guī)律探索題

常見的規(guī)律探索問題有兩類：數(shù)式規(guī)律和圖形規(guī)律.①探索數(shù)式規(guī)律時(shí)，把所給的式子作橫向或縱向比較，注意觀察已知的對(duì)應(yīng)數(shù)值的變化，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，即找出各部分具有的特征，從而探究出整個(gè)式子所具有的規(guī)律.②探索圖形規(guī)律時(shí)，一般需要抓住圖形數(shù)量的增減變化特點(diǎn)，進(jìn)行分析、猜想、歸納、驗(yàn)證，得出結(jié)果.此類問題的特殊解法：排除法，即將選項(xiàng)中的規(guī)律表示與題干各項(xiàng)進(jìn)行對(duì)照，符合即為正確答案.變式訓(xùn)練2

將字母“C”“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，則第⑨個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)為(

)A.16 B.18 C.20 D.22【解析】第①個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)為4，第②個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)為4＋2，第③個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)為4＋2×2，……∴第n○個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)為4＋2×(n－1)＝2n＋2，∴第⑨個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)為4＋2×(9－1)＝20.C1.[2025·上海]下列代數(shù)式中，能表示“x與y的差的平方”的是(

)A.x2－y2 B.(x－y)2C.x2－y D.x－y2B2.[2024·云南]將代數(shù)式按一定規(guī)律排列：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，則第n個(gè)代數(shù)式是(

)A.2xn B.(n－1)xnC.nxn＋1 D.(n＋1)xnD3.[2024·山東濟(jì)寧]如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼成正方形.第一幅圖有1個(gè)正方形，第二幅圖有5個(gè)正方形，第三幅圖有14個(gè)正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為(

)A.90

B.91

C.92

D.93B【解析】由題中所給圖形可知，第一幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為1＝12；第二幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為5＝12＋22；第三幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為14＝12＋22＋32；第四幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為30＝12＋22＋32＋42；……所以第n幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為12＋22＋32＋…＋n2.當(dāng)n＝6時(shí)，12＋22＋32＋…＋62＝91，即第六幅圖中正方形的個(gè)數(shù)為91.4.[2024·廣東廣州]若a2－2a－5＝0，則2a2－4a＋1＝

.【解析】∵a2－2a－5＝0，∴a2－2a＝5，∴原式＝2(a2－2a)＋1＝2×5＋1＝11.115.[2023·安徽]

【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含n的式子填空：(1)第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為

；解：∵第1個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為3＝1＋1＋1，第2個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為6＝1＋2＋2＋1，第3個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為9＝1＋2＋2＋3＋1，……∴第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為1＋2(n－1)＋n＋1＝3n.故答案為3n.3n

【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1＋2＋3＋…＋n等于第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)的2倍.

6.[2024·江蘇揚(yáng)州]1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，….這一列數(shù)滿足：從第3個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前2個(gè)數(shù)之和，則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.676

B.674

C.1348

D.1350【解析】這一列數(shù)為1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組的前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù).∵2024÷3＝674……2，∴前2024個(gè)數(shù)可分為674組，且余2個(gè)數(shù)，∴奇數(shù)有674×2＋2＝1350(個(gè)).D7.[2024·山東濰坊]將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表.記a(i，j)為數(shù)表中第i行第j列位置的數(shù)字.如a(1，2)＝4，a(3，2)＝8，a(5，4)＝22.若a(m，n)＝2024，則m＝

，n＝

.452【解析】由題圖中數(shù)表排布可知，當(dāng)正整數(shù)為k2(k＞1)時(shí)，若k為奇數(shù)，則k2在第k行第1列，k2＋1在第(k＋1)行第1列，k2－1在第k行第2列；若k為偶數(shù)，則k2在第1行第k列，k2＋1在第1行第(k＋1)列，k2－1在第2行第k列.∵a(m，n)＝2024＝2025－1＝452－1，2025＝452，在第45行第1列，∴2024在第45行第2列，即m＝45，n＝2.8.[2024·四川德陽(yáng)]數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問題：把數(shù)字1至8分別填入如圖所示的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1.經(jīng)過(guò)探究后，乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a，b，你認(rèn)為a可以是

(寫出一個(gè)即可).1(或8)【解析】?jī)蓚€(gè)中心圓圈均有六根線段相連，數(shù)字1至8，共有八個(gè)數(shù)字，若2，3，4，5，6，7中任何一個(gè)數(shù)字填在中心圓圈中，則與其相鄰的兩個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的六個(gè)圓圈中，故只剩下五個(gè)數(shù)字可選，不滿足需要填入六個(gè)空的圓圈，∴位于中心圓圈中的數(shù)字a只可能是1或8.9.【閱讀理解】閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：一個(gè)三角點(diǎn)陣如圖所示，從上往下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有

2個(gè)點(diǎn)……第n行有n個(gè)點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，從上往下數(shù)，三角點(diǎn)陣中前四行的點(diǎn)數(shù)之和

為10.(1)探索：從上往下數(shù)，三角點(diǎn)陣中前八行的點(diǎn)數(shù)之和為

，前十五行的點(diǎn)數(shù)之和為

，前n行的點(diǎn)數(shù)之和為

.36120

(2)體驗(yàn)：從上往下數(shù)，三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)之和

(填“能”或“不能”)為500.

不能(3)運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的盆景.若按照第一排用2盆，第二排用4盆，第三排用6盆……第n排用2n盆的規(guī)律擺放，則一共能擺放多少排？解：由題意，得前n排盆景的總數(shù)可表示為n(n＋1).令n(n＋1)＝420，解得n1＝－21，n2＝20.因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n＝20，即一共能擺放20排.考向分布考頻課標(biāo)要求1.整式的運(yùn)算

1.了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì).2.理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則.能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加減運(yùn)算，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算(多項(xiàng)式乘法僅限于一次式之間和一次式與二次式的乘法).3.理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理.2.整式的化簡(jiǎn)求值

整式的運(yùn)算

典例1(1)計(jì)算：[a3·a5＋(3a4)2]÷a2.解

原式＝(a8＋9a8)÷a2＝10a8÷a2＝10a6.(2)化簡(jiǎn)：(x＋y)2－x(x＋2y).解

原式＝x2＋2xy＋y2－x2－2xy＝y(tǒng)2.變式訓(xùn)練1(1)若m，n滿足3m－n－4＝0，則8m÷2n＝

.

(2)計(jì)算：(a＋3)(a－3)＋a(1－a).解：(a＋3)(a－3)＋a(1－a)＝a2－9＋a－a2＝a－9.

整式的化簡(jiǎn)求值

變式訓(xùn)練2

已知a2＋2b2－1＝0，求代數(shù)式(a－b)2＋b(2a＋b)的值.解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab＋b2＝a2＋2b2.∵a2＋2b2－1＝0，∴a2＋2b2＝1，∴原式＝1.1.[2024·四川內(nèi)江]下列單項(xiàng)式中，ab3的同類項(xiàng)是(

)A.3ab3 B.2a2b3C.－a2b2 D.a3bA2.[2025·湖北]下列運(yùn)算的結(jié)果為m6的是(

)A.m3＋m3 B.m2·m3

C.(m2)3 D.m4÷m2C3.[2024·四川成都]下列運(yùn)算正確的是(

)A.(3x)2＝3x2 B.3x＋3y＝6xyC.(x＋y)2＝x2＋y2 D.(x＋2)(x－2)＝x2－4【解析】(3x)2＝9x2，故A選項(xiàng)不符合題意；3x與3y不是同類項(xiàng)，不能合并，故B選項(xiàng)不符合題意；(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故C選項(xiàng)不符合題意；(x＋2)(x－2)＝x2－4，故D選項(xiàng)符合題意.D

【解析】根據(jù)題意，得8×2a＝28b，即2a＋3＝28b，∴a＋3＝8b.A5.[2024·河南]請(qǐng)寫出2m的一個(gè)同類項(xiàng)：

.6.[2024·吉林長(zhǎng)春]單項(xiàng)式－2a2b的次數(shù)為

.7.[2024·上海]計(jì)算：(a＋b)(b－a)＝

.m(答案不唯一)3b2－a2【解析】(a＋b)(b－a)＝(b＋a)(b－a)＝b2－a2.8.[2024·四川德陽(yáng)]若一個(gè)多項(xiàng)式加上y2＋3xy－4，結(jié)果是3xy＋2y2－5，則這個(gè)多項(xiàng)式為

.【解析】根據(jù)題意，得3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y(tǒng)2－1.y2－1

310.[2025·江蘇揚(yáng)州節(jié)選]計(jì)算：a(a＋2)－a3÷a.解：原式＝a2＋2a－a2＝2a.11.[2024·重慶A卷]計(jì)算：x(x－2y)＋(x＋y)2.解：原式＝x2－2xy＋x2＋2xy＋y2＝2x2＋y2.12.[2024·內(nèi)蒙古赤峰節(jié)選]已知a2－a－3＝0，求代數(shù)式(a－2)2＋(a－1)(a＋3)的值.解：∵a2－a－3＝0，∴a2－a＝3，∴原式＝a2－4a＋4＋a2＋2a－3＝2a2－2a＋1＝2(a2－a)＋1＝2×3＋1＝7.13.[2024·江蘇南京]任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差總能(

)A.被3整除 B.被5整除C.被6整除 D.被8整除【解析】設(shè)這兩個(gè)奇數(shù)分別為2m＋1和2n＋1，則(2m＋1)2－(2n＋1)2＝(2m＋1＋2n＋1)(2m＋1－2n－1)＝(2m＋2n＋2)(2m－2n)＝4(m＋n＋1)(m－n).∵m－n與m＋n＋1中必有一個(gè)為偶數(shù)，∴(2m＋1)2－(2n＋1)2是8的倍數(shù)，即任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差總能被8整除.D14.[2024·四川涼山州]已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，則a＋b＝

.【解析】∵a2－b2＝12，∴(a＋b)(a－b)＝12.∵a－b＝－2，∴a＋b＝－6.－6

16.[2023·河北改編]現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示(a＞1).某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形(不重疊、無(wú)縫隙)，如圖2和圖3所示，其面積分別為S1，S2.(1)請(qǐng)用含a的式子分別表示S1，S2；當(dāng)a＝2時(shí)，求S1＋S2的值.解：由題圖可知，S1＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2，S2＝(5a＋1)×1＝5a＋1.當(dāng)a＝2時(shí)，S1＋S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23.(2)比較S1與S2的大小，并說(shuō)明理由.解：S1＞S2.理由如下：∵S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝(a－1)2，a＞1，∴(a－1)2＞0，即S1－S2＞0，∴S1＞S2.

A

考向分布考頻課標(biāo)要求因式分解

能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過(guò)二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)為正整數(shù)).1.因式分解的方法因式分解2.因式分解的一般步驟典例

分解因式：(1)x2－2025x＝

.點(diǎn)撥

分解因式常見的錯(cuò)誤是提公因式漏項(xiàng)或分解不徹底.解析

原式＝x(x－2

025).(2)7a2－28＝

.解析

原式＝7(a2－4)＝7(a＋2)(a－2).答案

x(x－2

025)答案

7(a＋2)(a－2)(3)x3＋6x2＋9x＝

.解析

原式＝x(x2＋6x＋9)＝x(x＋3)2.答案

x(x＋3)2(4)b2＋c2＋2bc－a2＝

.解析

原式＝(b＋c)2－a2＝(b＋c＋a)(b＋c－a).答案

(b＋c＋a)(b＋c－a)1.提公因式的關(guān)鍵是確定公因式.公因式的確定方法：(1)系數(shù)：取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)字母：取各項(xiàng)相同的字母(或多項(xiàng)式)；(3)指數(shù)：取各項(xiàng)相同字母(或多項(xiàng)式)的最低次數(shù).2.運(yùn)用公式法的關(guān)鍵——“兩看”：(1)看項(xiàng)數(shù).能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式一般是三項(xiàng)式，能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式一般是二項(xiàng)式.(2)看特征.符合“a2±2ab＋b2”的用完全平方公式分解，符合“a2－b2”的用平方差公式分解.1.[2024·云南]分解因式：a3－9a＝(

)A.a(a－3)(a＋3)

B.a(a2＋9)

C.(a－3)(a＋3)

D.a2(a－9)A2.[2024·廣西]如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值為(

)A.0

B.1

C.4

D.9【解析】∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9.D3.[2025·湖南]分解因式：a2＋13a＝

.4.[2024·山東威海]分解因式：(x＋2)(x＋4)＋1＝

.a(a＋13)【解析】原式＝x2＋4x＋2x＋8＋1＝x2＋6x＋9＝(x＋3)2.(x＋3)25.[2023·黑龍江齊齊哈爾節(jié)選]分解因式：2a3－12a2＋18a.解：原式＝2a(a2－6a＋