（中小學教案）云南省保山曙光學校高二數(shù)學《變量間的相關關系》教學設計一、教學目標1.知識與技能目標讓學生理解變量之間的兩種關系：函數(shù)關系與相關關系。能夠通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系。了解正相關和負相關的概念，能根據(jù)散點圖判斷兩個變量之間是正相關還是負相關。理解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。2.過程與方法目標通過對實際問題的探究，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、概括的能力。經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程，體會最小二乘法的思想，提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。讓學生在解決問題的過程中，感受統(tǒng)計思維與確定性思維的差異。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過探究實際生活中的案例，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生勇于探索、創(chuàng)新的精神。體會數(shù)學在實際生活中的廣泛應用，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。二、教學重難點1.教學重點變量之間相關關系的概念。散點圖的繪制及利用散點圖判斷變量間的相關關系。線性回歸方程的建立和應用。2.教學難點對相關關系概念的理解，區(qū)分函數(shù)關系與相關關系。對最小二乘法的理解，以及線性回歸方程系數(shù)公式的推導。三、教學方法1.講授法：通過清晰的講解，向學生傳授變量間相關關系的基本概念、原理和方法，使學生系統(tǒng)地掌握知識。2.討論法：組織學生就實際案例進行討論，激發(fā)學生的思維，促進學生之間的交流與合作，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作能力和獨立思考能力。3.探究法：引導學生自主探究實際問題，讓學生在探究過程中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新精神。4.直觀演示法：利用多媒體等工具，展示散點圖、線性回歸方程的擬合過程等，使學生更直觀地理解抽象的數(shù)學概念和方法。四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）1.展示一些生活中的實例：展示人的身高與體重的數(shù)據(jù)表格，提問學生：人的身高和體重之間有什么關系？展示農作物的產量與施肥量的數(shù)據(jù)表格，提問學生：農作物的產量與施肥量之間存在怎樣的聯(lián)系？2.引導學生思考這些變量之間的關系與我們之前學過的函數(shù)關系有什么不同。回顧函數(shù)關系的定義：在一個變化過程中，有兩個變量\(x\)和\(y\)，如果給定一個\(x\)值，相應地就確定唯一的一個\(y\)值，那么就稱\(y\)是\(x\)的函數(shù)。讓學生分析上述實例中的變量關系是否滿足函數(shù)關系的定義。（二）講解新課（25分鐘）1.變量間的相關關系給出相關關系的定義：當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。舉例說明相關關系：除了前面提到的身高與體重、農作物產量與施肥量的關系外，還可以舉例汽車的行駛速度與耗油量的關系、家庭收入與支出的關系等。強調相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別：函數(shù)關系是一種確定性的關系，而相關關系是一種非確定性的關系。2.散點圖介紹散點圖的概念：將兩個變量的各對數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點，得到的圖形叫做散點圖。以人的身高與體重的數(shù)據(jù)為例，講解如何繪制散點圖：建立平面直角坐標系，橫軸表示身高，縱軸表示體重。根據(jù)數(shù)據(jù)表格中的每一組身高和體重數(shù)據(jù)，在坐標系中描出對應的點。讓學生通過觀察散點圖，直觀感受變量之間的關系：引導學生觀察散點的分布情況，判斷變量之間是否存在某種趨勢。若散點大致分布在一條直線附近，則說明兩個變量之間存在線性相關關系；若散點分布沒有明顯的規(guī)律，則說明兩個變量之間可能不存在相關關系。3.正相關和負相關給出正相關和負相關的定義：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，即一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大，這種相關關系稱為正相關。如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，即一個變量的值由小變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關關系稱為負相關。結合散點圖的實例，讓學生判斷變量之間是正相關還是負相關：展示不同的散點圖，讓學生根據(jù)正相關和負相關的定義進行判斷。引導學生思考正相關和負相關在實際生活中的意義。（三）深入探究（20分鐘）1.線性回歸方程提出問題：如果兩個變量之間存在線性相關關系，如何用一條直線來近似表示這種關系呢？介紹最小二乘法的思想：設所求的直線方程為\(\hat{y}=bx+a\)，其中\(zhòng)(\hat{y}\)是\(y\)的估計值，\(b\)是斜率，\(a\)是截距。對于一組數(shù)據(jù)\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)\)，我們希望直線\(\hat{y}=bx+a\)與各點的距離的平方和\(Q=\sum_{i=1}^{n}(y_i\hat{y}_i)^2=\sum_{i=1}^{n}(y_ibx_ia)^2\)最小，這種使偏差平方和最小的方法叫做最小二乘法。給出線性回歸方程系數(shù)公式：\(b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i\overline{x})(y_i\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i\overline{x})^2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_in\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}x_i^2n\overline{x}^2}\)，\(a=\overline{y}b\overline{x}\)，其中\(zhòng)(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)，\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i\)。解釋公式中各符號的含義。2.例題講解給出一個具體的實例：某班\(5\)名學生的數(shù)學和物理成績如下表：|學生編號|1|2|3|4|5|||||||||數(shù)學成績\(x\)|88|76|73|66|63||物理成績\(y\)|78|65|71|64|61|引導學生按照以下步驟求線性回歸方程：計算\(\overline{x}\)和\(\overline{y}\)：\(\overline{x}=\frac{88+76+73+66+63}{5}=73.2\)，\(\overline{y}=\frac{78+65+71+64+61}{5}=67.8\)。計算\(\sum_{i=1}^{5}x_iy_i\)和\(\sum_{i=1}^{5}x_i^2\)：\(\sum_{i=1}^{5}x_iy_i=88\times78+76\times65+73\times71+66\times64+63\times61=25054\)。\(\sum_{i=1}^{5}x_i^2=88^2+76^2+73^2+66^2+63^2=27174\)。計算\(b\)和\(a\)：\(b=\frac{\sum_{i=1}^{5}x_iy_i5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}x_i^25\overline{x}^2}=\frac{250545\times73.2\times67.8}{271745\times73.2^2}\approx0.625\)。\(a=\overline{y}b\overline{x}=67.80.625\times73.2=22.05\)。得到線性回歸方程\(\hat{y}=0.625x+22.05\)。（四）課堂練習（15分鐘）1.給出練習題：已知某種商品的價格\(x\)（元）與需求量\(y\)（件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表：|價格\(x\)|14|16|18|20|22|||||||||需求量\(y\)|12|10|7|5|3|要求學生：畫出散點圖，判斷價格與需求量之間是正相關還是負相關。求線性回歸方程。2.學生獨立完成練習，教師巡視指導，及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題并給予糾正。3.選取部分學生的答案進行展示和講解，強調解題的步驟和注意事項。（五）課堂小結（10分鐘）1.引導學生回顧本節(jié)課所學的主要內容：變量間的相關關系（函數(shù)關系與相關關系的區(qū)別）。散點圖的繪制和作用（判斷變量間的相關關系、正相關和負相關）。線性回歸方程的概念、最小二乘法的思想以及線性回歸方程系數(shù)公式的應用。2.強調重點和難點內容：重點是理解相關關系的概念，掌握散點圖的繪制和線性回歸方程的求解方法。難點是對最小二乘法的理解和線性回歸方程系數(shù)公式的推導。3.布置課后作業(yè)：完成教材上相關的習題。收集一組兩個變量的數(shù)據(jù)，如自己一個月內每天的學習時間和考試成績，繪制散點圖并求線性回歸方程，分析兩個變量之間的關系。五、教學資源1.教材：選用適合高二學生的數(shù)學教材，作為教學的主要依據(jù)。2.多媒體課件：制作包含實例數(shù)據(jù)、散點圖、線性回歸方程推導過程等內容的課件，輔助教學。3.網(wǎng)絡資源：利用網(wǎng)絡上的相關教學視頻、數(shù)學軟件等資源，豐富教學內容和教學手段。六、教學評價1.課堂表現(xiàn)評價：觀察學生在課堂上的表現(xiàn)，包括參與討論的積極性、回答問題的準確性、小組合作的協(xié)調性等，及時給予肯定和鼓勵，對存在的問題及時進行糾正和指導。2.作業(yè)評價：認真批改學生的課后作業(yè)，了解學生對本節(jié)課知識的掌握情況，對于作業(yè)中出現(xiàn)的共性問題，在課堂上進行集中講解；對于個別學生的問題，進行個別輔導。3.測驗評價：定期進行小測驗，檢查學生對知識的綜合運用