哈師大附中2025級(jí)2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

滿分150分時(shí)間：120分鐘

第I卷（選擇題共58分）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求．

1.集合A{1,2}的子集個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)．

【詳解】解：因?yàn)楹琻個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，

∴集合A{1,2}有4個(gè)子集，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查有限集的子集個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

2.命題R,x220的否定是（）

A.x∈R，x220B.x∈R，x220

?

C.x∈R，x220D.xR,x220

【答?案】C

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題的否定為存在性命題可求解.

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為存在性命題，

可得命題“xR,x220”的否定為“xR,x220”.

故選：C.

3.角的終邊過點(diǎn)P2,1，tan（）

A.2B.2

11

C.D.

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正確答案.

11

【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P2,1，所以tan.

22

故選：D

3

4.函數(shù)fxx3x1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性，運(yùn)用賦值法結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【詳解】x3在R上單調(diào)遞增，3x在R上單調(diào)遞增，

函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則fx在R上至多一個(gè)零點(diǎn)，

又f00330110，f11331130，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理知函數(shù)fx在區(qū)間0,1內(nèi)存在零點(diǎn)，

函數(shù)f(x)x33x1在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，故B正確．

故選：B．

5.設(shè)a1.010.5,b1.010.6,c0.60.5，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.abcB.bac

C.cbaD.cab

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由y1.01x在R上遞增，則a1.010.5b1.010.6，

由yx0.5在[0,)上遞增，則a1.010.5c0.60.5.

所以bac.

故選：D

2

6.fxx1，下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）

A.fx1B.fx1

C.fx1D.fx1

【答案】C

【解析】

【分析】由偶函數(shù)的定義依次判斷各選項(xiàng)即可.

2

【詳解】fx1x11x22x2，不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

2

fx1x11x22x，不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

2

fx1x11x2，為偶函數(shù)，故C正確；

22

fx1x11x2，不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

1

7.函數(shù)fxlogax1在區(qū)間,1上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

22

A.0,B.1,

C.2,D.3,

【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法可得a0，再由函數(shù)的定義域范圍可得結(jié)果.

1

【詳解】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)yax1在,1上單調(diào)遞增，故a0，

2

1a

且在,1上恒成立，只需ax10，即，解得

ax10min10a2.

22

綜上，a的取值范圍是2,.

故選：C.

2

8.fxm2x，若關(guān)于x的不等式fxx2x的解集中有且只有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍為（）

A.2,0B.2,1

C.2,1D.2,0

【答案】A

【解析】

【分析】由不等式fxx22x分離參數(shù)m，利用構(gòu)造函數(shù)法，對(duì)x進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)求得m的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)m2|x|，所以關(guān)于x的不等式f(x)x22x

可化為m2xx22x，即mx22x2x，

令h(x)x22x2x，即mh(x)．

2

219

當(dāng)x0時(shí)，h(x)xx2x，

24

11

h(x)在0,上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，

22

且h(0)2,h(1)2,h(2)0；

2

2317

當(dāng)x0時(shí)，h(x)x3x2x，

24

h(x)在,0上單調(diào)遞減，且h(1)2．

如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象及x取1,0,1,2時(shí)的函數(shù)值可知，

要使mh(x)的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，這兩個(gè)整數(shù)解只能是0和1，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為2m0，即m[2,0)．

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．

9.下列說法中正確的是（）

A.終邊在x軸上角的集合是∣kπ，kZ

B.角終邊落在第一象限，則角為銳角

C.角是第二象限角，則是在二，三象限的角

2

P

D.周長(zhǎng)為定值P的扇形中，面積最大時(shí)扇形的半徑為

4

【答案】AD

【解析】

【分析】利用角的終邊與象限角的性質(zhì)分析判斷選項(xiàng)ABC，運(yùn)用扇形公式結(jié)合基本不等式分析選項(xiàng)D．

【詳解】選項(xiàng)A：終邊落在x軸上角的集合是|kπ，kZ，故A正確；

π

選項(xiàng)B：終邊落在第一象限的角的集合為|2kπ2kπ,kZ，

2

13π

角不一定為銳角，例如，故B錯(cuò)誤；

6

π

選項(xiàng)C：角是第二象限的角，|2kππ2kπ,kZ，

2

ππ

kπkπkZ，

422

ππ

當(dāng)k2n時(shí)，2nπ+,2nπnZ，位于第一象限；

242

ππ

當(dāng)k2n1時(shí)，(2n1)π,（2n1）πnZ，位于第三象限；

242

為第一，三象限的角，故C錯(cuò)誤；

2

選項(xiàng)D：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，由題意可知：2rlP，

1

扇形面積為Slr，

2

l、r均大于零，

1P2

2r+l匙22rl，即22rlP，整理有l(wèi)r，

216

P2

當(dāng)且僅當(dāng)2rl時(shí)，扇形面積取最大值，

16

2rlP

此時(shí)，解得r，故D正確．

2rlP4

故選：AD．

10.c0,b0,cb1，下列說法正確的是（）

1

A.cb的最大值為

4

1c

B.最小值為4

cb

C.cb的最大值為3

1

D.22的最小值為

cb2

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)，結(jié)合cb1的條件，通過二次函數(shù)性質(zhì)（說明開口方向、對(duì)稱軸）分析最值，或通

過基本不等式（補(bǔ)充等號(hào)成立條件）分析最值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)正誤.

2

【詳解】選項(xiàng)A：由cb1，得cbc1ccc.

1

該式是開口向下的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為c，

2

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，開口向下的函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值.

111111

當(dāng)c時(shí)，b1c，此時(shí)cb，故cb的最大值為，A正確.

222244

1ccbcbc

選項(xiàng)B：1.

cbcbcb

bcbcbc1

由基本不等式，22，當(dāng)且僅當(dāng)（即cb）時(shí)等號(hào)成立.

cbcbcb2

1c

因此123，最小值為3，B錯(cuò)誤.

cb

選項(xiàng)C：(cb)2cb2cb12cb.

111

由選項(xiàng)A知cb，當(dāng)且僅當(dāng)cb時(shí)cb.

424

1

代入得(cb)2122，故cb2，最大值為2，C錯(cuò)誤.

4

選項(xiàng)D：c2b2(cb)22cb12cb.

111

由選項(xiàng)A知cb，當(dāng)且僅當(dāng)cb時(shí)cb.

424

111

代入得c2b212，故c2b2的最小值為，D正確.

422

故選：AD.

，，

11.函數(shù)fx的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x1x2D，且x1x2fx1fx2x2x1恒成立，則稱

fx為復(fù)合增函數(shù)，下列判斷正確的是（）

A.若yfxx是復(fù)合增函數(shù)，則yfx也是復(fù)合增函數(shù)

1

B.y是復(fù)合增函數(shù)

1x2

C.yx3x是復(fù)合增函數(shù)

1

D.y是復(fù)合增函數(shù)

x1

【答案】ABC

【解析】

，

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A∶由條件知，若fx為復(fù)合增函數(shù)，需有當(dāng)x1x2fx1fx2x2x1時(shí)，即

是

fx1x1fx2x2，即yf(x)x增函數(shù)，由此可推導(dǎo)出A正確；對(duì)于選項(xiàng)B∶設(shè)

13

h(x)x，用作差法可得B正確；對(duì)于選項(xiàng)C∶設(shè)Fxxx，用作差法可得C正確．對(duì)于選

1x2

項(xiàng)D∶用特殊值代入可得D錯(cuò)誤．

，

【詳解】選項(xiàng)A∶由條件知，若fx為復(fù)合增函數(shù)，需有當(dāng)x1x2fx1fx2x2x1時(shí)，即

fx1x1fx2x2，即yf(x)x是增函數(shù)，

若yf(x)x是復(fù)合增函數(shù)，則yf(x)xxf(x)是增函數(shù)，

從而yf(x)x也是增函數(shù)，故A正確；

1

選項(xiàng)B∶設(shè)h(x)x，當(dāng)xx時(shí)，

1x212

11x2x2

hxhxxxxx12

2122212122

1x21x11x11x2

22

11122

x1x2x1x2

，故為增函數(shù)，故正確；

222h(x)B

x2x1220

1x11x2

選項(xiàng)C∶由yx3x，

令Fxx32x，

當(dāng)x1x2時(shí)，

33

Fx1Fx2x12x1x22x2

33

=x1x22x1x2

22

=x1x2x1x1x2x22x1x2

22

=x1x2x1x1x2x22

22

x23x2

=x1x2x12

24

2

2

由于，故，x23x2

x1x2x1x20x120

24

故Fx1Fx20，即Fx1Fx2

故Fxx32x是增函數(shù)，

3

故Fxxx是復(fù)合增函數(shù)，故C正確；

1

選項(xiàng)D∶令g(x)x，

x1

37

則g,g23,

22

3

故gg2，

2

1

故g(x)x不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤．

x1

故選：ABC

第II卷（非選擇題共92分）

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．

1

12.函數(shù)fxx1的定義域?yàn)開__________

x3

【答案】1,33,

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式即可求出定義域.

x30

【詳解】由題意可得,

x10

x3

解得,

x1

所以定義域?yàn)?,33,.

故答案為：1,33,

22m1

13.冪函數(shù)fxmm1x在0，是增函數(shù)，f2___________

【答案】8

【解析】

【分析】先根據(jù)冪函數(shù)定義確定系數(shù)滿足的方程，求解后結(jié)合增函數(shù)的條件篩選出符合的m值，進(jìn)而確定

函數(shù)表達(dá)式并計(jì)算f2.

【詳解】由冪函數(shù)定義，得m2m11，即m2m20，解得m2或m1.

函數(shù)在0,上是增函數(shù)，故指數(shù)2m10：

當(dāng)m2時(shí)，2m130，符合條件；

當(dāng)m1時(shí)，2m130，不符合條件.

33

因此m2，fxx，則f228.

故答案為：8.

x1x0

14.已知f(x)，若方程fxa0有四個(gè)根x1,x2,x3,x4且x1x2x3x4，則

log3xx0

x1x2x3x4的取值范圍是______.

4

【答案】0，

3

【解析】

【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得出，，得到，結(jié)合指數(shù)

fxx1x22log3x3log3x4x3x41

函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

x1x0

【詳解】由題意，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，

log3xx0

因?yàn)榉匠蘤xa0有四個(gè)根x1,x2,x3,x4且x1x2x3x4，

由圖象可知，，可得，

x1x22log3x3log3x4x3x41

則x1x2x3x42x3x4，

tt

設(shè)log3x3t,log3x4t，所以x3x433，

10

因?yàn)?t1，所以13t3，所以23t3t，

3

44

所以023t3t，即0xxxx，

312343

4

即的取值范圍是，

x1x2x3x40.

3

4

故答案為：0，.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象和指數(shù)函數(shù)的性

質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力.

四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15.計(jì)算：

1

051

（1）2731530.5；

5

（2）lnelg3lg2

4

3

【答案】（1）1（2）

2

【解析】

【分析】（1）將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化成根式，計(jì)算可得結(jié)果；

（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【小問1詳解】

原式327132321.

【小問2詳解】

11113

原式=lne2lg5lg4lg23lg5lg8lg4lg40lg41.

2222

2

16.已知集合Ax∣x2x30，集合Bx∣a3x2a1.

（1）若a1，求AB；

（2）若ABA，求a的取值范圍．

【答案】（1）ABx1x3

（2）1a2

【解析】

【分析】（1）由集合的交集運(yùn)算可得結(jié)果；

（2）根據(jù)交集的結(jié)果得到AB，由子集的定義列出需滿足的不等式并求解可得結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意可得Ax1x3．

當(dāng)a1時(shí)，Bx2x3，

則ABx1x3．

【小問2詳解】

a32a1

因?yàn)锳BA，所以AB，需滿足a31，解得1a2．

2a13

綜上所述，a的取值范圍是1a2.

17.已知冪函數(shù)fxx過點(diǎn)3,9.

（1）求fx的解析式；

（2）若不等式tfx2x對(duì)任意的xR恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

2

【答案】（1）fxx

（2）t1

【解析】

【分析】（1）將已知點(diǎn)代入冪函數(shù)解析式，通過指數(shù)的等量關(guān)系求出指數(shù)，得到函數(shù)解析式；（2）將不等

式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值，通過配方確定函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【小問1詳解】

將點(diǎn)3,9代入冪函數(shù)fxx，得39，即332，故2，

2

因此fx的解析式為fxx.

【小問2詳解】

2

由fxx，不等式tfx2x化為tx22x對(duì)任意xR恒成立.

將x22x變形為(x1)21，因(x1)20，故(x1)211，

即x22x的最小值為1，因此t1.

x1

18.已知函數(shù)fxa（a0且a1）過點(diǎn)2,

4

（1）求函數(shù)fx的解析式；

（2）若函數(shù)fxgxmx，其中g(shù)x為奇函數(shù)，mx為偶函數(shù)，已知函數(shù)hxx，對(duì)任意

1

x,1，都存在x0，使得等式2cgxm2xhx成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

122112

x

1

【答案】（1）fx

2

（2）,2

【解析】

【分析】（1）代入點(diǎn)坐標(biāo)求解指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，得解析式；

（2）利用奇偶函數(shù)性質(zhì)分解fx為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和，將條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過換元與基本不

等式求最值，確定c的范圍.

【小問1詳解】

x121

由fxa過點(diǎn)2,，得a

44.

x

11

因a0且a1，故a，則fx.

22

【小問2詳解】

由fxgxmx，gx為奇函數(shù)，mx為偶函數(shù)，得fxgxmx.

fxfx2x2xfxfx2x2x

聯(lián)立得gx，mx.

2222

1

對(duì)任意，存在使，而，

x1,1x202cgx1m2x1hx2hxx0

2

1

故在上恒成立

2cgx1m2x10x1,1.

2

x1x1132

令22，時(shí)，單調(diào)遞減，故

tgx1x1,1gx1t,.

2244

22x122x11

m2x2t21，代入得2ct2t210，即ct.

122t

1112

由基本不等式，tt2t2（當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)），

2t2t2t2

故

c2.

19.對(duì)于定義域相同的函數(shù)fx和gx，若存在實(shí)數(shù)m,n使得hxmfxngx，則稱hx由

fx和gx生成的．

4114

（1）若hx4x是由fx2x1和gxxa生成的，求a的值；

xx2x

x

（2）試?yán)胒xlog2161和gxx1生成函數(shù)hx，滿足hx為偶函數(shù)，且h01.

（I）求函數(shù)hx的解析式；

*

（II）已知n3,nN,x01,xn1，對(duì)于1,1上的任意值x1,x2,,xn1x1x2xn1，記

Mhx1hx0hx2hx1hxn1hxn2hxnhxn1，求M的最大值．

7

【答案】（1）

6

17

（2）（I）h(x)log(16x1)2x2；（II）2log．

228

【解析】

【分析】（1）利用給定的定義列式，借助恒等式問題列出方程組求解；

（2）（I）利用偶函數(shù)的定義計(jì)算可得n2m，再利用h01求出m即得解析式；（II）利用函數(shù)單調(diào)

性定義證明函數(shù)hx的單調(diào)性，再化簡(jiǎn)求和即可求出最大值.

【小問1詳解】

4114

依題意，hx4xm2x1nxa，

xx2x

n

2m4

2

4n4nm

則4x2mxman，故有4nm4，

x2x

man0

28

m

17

247

解得n，所以實(shí)數(shù)a的值為；

176

7

a

6

【小問2詳解】

x

（I）設(shè)hxmlog2161nx1，

x

由hx為偶函數(shù)，得hxmlog2161nxn，hxhx，

xx

則mlog2161nxnmlog2161nxn，

x

整理得161，即x，于是2nxmx，

mlog2nxmlog2162nx216

216x1

即2nx4mx對(duì)任意x恒成立，則n2m，

x