“皖南八?！?025-2026學年高一第一學期期中考試

數(shù)學

考生注意：

1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘.2．考生作答時，請

將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號

涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答

題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．

3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊第一章、第二章、第三章．

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的．

p：x3,,x29

1.已知命題“”，則p是（）

22

A.x3,,x9B.x3,,x9

22

C.x3,,x9D.x3,,x9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題求解即可.

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：

2

若命題“p：x3,,x9”，

2

則p是x3,,x9.

故選：A

2.已知集合A1,0,1,2，BxNx3，那么集合AB等于（）

A.1,3B.0,1,2C.1,0,1,2D.1,0,1,2,3

【答案】C

【解析】

【分析】先表示出集合B，然后根據(jù)并集運算求得AB的結(jié)果.

【詳解】因為BxNx30,1,2，A1,0,1,2，

所以AB1,0,1,2，

故選：C.

7

3.不等式1的解集為（）

2x1

11

A.{x∣x4}B.{x∣x2}

24

11

C.{x∣x或x4}D.{x∣x或x2}

24

【答案】A

【解析】

7

【分析】將不等式1轉(zhuǎn)化為2x82x10，利用一元二次不等式的解法即可得到答案.

2x1

772x8

【詳解】1即10，化簡為0，即2x82x10，

2x12x12x1

11

解得x4，所以不等式的解集為xx4.

22

故選：A.

x21,x1,

4.設(shè)函數(shù)f(x)＝2則f(f(3))＝()

,x1,

x

1213

A.B.3C.D.

539

【答案】D

【解析】

2

【詳解】31,f3,

3

2213

f(f(3))f()()21,故選D.

339

1

5.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,5)，則函數(shù)g(x)f(x1)的定義域為（）

x2

A.[2,4)B.[2,6)C.(2,4)D.(2,6)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合抽象函數(shù)的定義域列出不等式組求出定義域.

1

【詳解】由函數(shù)f(x)的定義域為(0,5)，函數(shù)g(x)f(x1)有意義，

x2

0x15

得，解得2x6，

x20

所以所求定義域為(2,6).

故選：D

6.定義集合A和B的運算：ABx,y|xA,yB，若集合A1,2,3,B2,3，則A○B(yǎng)的真

子集個數(shù)為（）

A.31B.32C.62D.63

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)新定義求出集合A○B(yǎng)的所有元素，確定其元素個數(shù)n，再代入真子集個數(shù)公式2n1計算

即可.

【詳解】由新定義知，AB1,2,1,3,2,2,2,3,3,2,3,3，一共6個元素，所以A○B(yǎng)的真

子集的個數(shù)為26163.

故選：

D.

7.已知定義在R上的偶函數(shù)fx在0，上單調(diào)，且f2f3，則f3，f5，fπ

的大小順序是（）

A.f5f3fπB.fπf3f5

C.f3f5fπD.f5fπf3

【答案】B

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小.

【詳解】因為fx是偶函數(shù)，所以f(3)f(3)，

已知f(2)f(3)，由偶函數(shù)性質(zhì)f(2)f(2)，因此f(2)f(3)，

所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減；

數(shù)值大小關(guān)系為53π，

所以f(5)f(3)f(π)，

又因為f(3)f(3)，

所以f(5)f(3)f(π)即f(π)f(3)f(5).

故選：B.

8.p:存在aR且a0，對于任意的xR，使得fxafxfa；q1:fx在R上單調(diào)遞

減，且fx0恒成立；q2:fx在R上單調(diào)遞增，且存在x00使得fx00；下列說法成立的是（）

A.只有q1是p的充分條件B.只有q2是p的充分條件

C.q1、q2都是p的充分條件D.q1、q2都不是p的充分條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及充分條件的定義判斷即可.

【詳解】對于命題q1:fx在R上單調(diào)遞減，且fx0恒成立，

當a0時，此時xax，

又因為fx在R上單調(diào)遞減，所以fxafx，

又因為fx0恒成立，所以fxfxfa，

所以fxafxfa，所以命題q1?命題p，

對于命題q2:fx在R上單調(diào)遞增，且存在x00使得fx00，

當ax00時，此時xax，fafx00，

又因為fx在R上單調(diào)遞增，所以fxafx，

所以fxafxfa，所以命題q2?命題p，

所以q1、q2都是p的充分條件，

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，找到相應(yīng)a的值，從而得解.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．

9.若a,b,cR，則下列命題正確的是（）

A.若ac2bc2，則ab

11

B.若ab且，則ab0

ab

C.若ba0，則a3ab3b

D.若ab0且c0，則acbc

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可求解.

【詳解】若ac2bc2，則c0，兩邊同除以c2得ab，故A正確；

11ba

由可得0，又因為ab，所以ab0，故B正確；

abab

若ba0，則b3a3，由不等式的同向可加性可得a3ab3b，故C正確；

若ab0且c0，則acbc，故D錯誤.

故選：ABC

10.已知函數(shù)fx的定義域為[1，），且fx12xx，則（）

2

A.fxx1x1B.fx的值域為[1,）

1

C.fx在[1,）上單調(diào)遞增D.f的值域為[0,）

x

【答案】ACD

【解析】

【分析】由fx12xx，求出fxx21，通過二次函數(shù)圖像法求出單調(diào)性，值域，即可得

解.

22

【詳解】fx12xxx11，fxx1x1，故選項A正確；

fxx21的對稱軸為x0，

2

fxx1在[1,）上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項C正確；

2

當x1時，fxx1取最小值為0，fx的值域為[0,），故選項B不正確；

21

fxx1的值域為[0,），f的值域為[0,），故選項D正確.

x

故選：ACD.

1

11.已知函數(shù)fx的定義域為R，x，yR，fxyfxfy，且f1，則（）

2

1

A.f2

4

B.函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增

C.fx1fx

D.fx2fx1fx1fx

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A，令xy1，即可求出f2；對于B，采用舉反例來進行判斷；對于C，先證明fx0，

1

再令y1，得到fx1fx，從而判斷fx1fx；對于D，采用賦值法，求出

2

fx2fx1和fx1fx，再結(jié)合fx0進行比較.

1

【詳解】對于A，令xy1，則f2f1·f1，故A正確；

4

對于B，因為12，而f1f2，不符合單調(diào)遞增的定義，故B錯誤；

對于C，令x1,y0，則f1f1f0，則f01，

fxfxf01，則fx0，

2

xxx

又fxff，則fx0，

222

1

令y1，fx1fx，則fx1fx，故C正確；

2

111

對于D，由fx1fx，則fx2fx1fx，

224

11

所以fx2fx1fx，fx1fxfx，

42

11

又fx0，則fxfx，即fx2fx1fx1fx，故D錯誤.

42

故選：AC.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．

12.已知冪函數(shù)yx的圖象經(jīng)過點2,2和點16,n，則n______．

【答案】4

【解析】

【分析】依次代入點2,2和點16,n即可求解.

11

【詳解】由題意22，所以2，

2yx

1

所以，所以

n162n4.

故答案為：4

22

13.已知兩正數(shù)x，y，滿足x1，則y的最小值為___________．

yx

【答案】8

【解析】

2224

【分析】由題可得yxyxy4，然后由基本不等式可得答案.

xyxxy

22224

【詳解】因x，y為正數(shù)，x1，則yxyxy4

yxyxxy

441

2xy48，當且僅當xy，即x，y4時取等號.

xyxy2

故答案為：8

14.定義域為R的偶函數(shù)gx在0,上單調(diào)遞減，且g10，若關(guān)于x的不等式

ax1gx1bx2g1x的解集為0,，則b2a的最小值為___________．

7

【答案】

4

【解析】

【分析】先根據(jù)偶函數(shù)和零點判斷gx取正值、負值的區(qū)間范圍，然后將不等式進行化簡，進而通過討論，

得到a,b的關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.

【詳解】因為定義域為R的偶函數(shù)gx在0,上單調(diào)遞減，所以gx在,0上單調(diào)遞增，

且g1g10，

可知當x,11,時，gx0；當x1,1時，gx0；

那么當x,02,時，gx10；當x0,2時，gx10；

當x0,2時，gx10；

由ax1gx1bx2g1x可得ax1gx1bx2g1x0，

因為ax1gx1bx2g1xax1gx1bx2gx1abx3gx10.

由題意可知不等式abx3gx10的解集為0,，

顯然yabx3不恒為0，可知當x,0時，abx30；

當x0,2時，abx30；當x2,時，abx30.

可知一次函數(shù)yabx3的零點為2，且圖象是由左向右下降的，

3

則2ab3，所以ab.

2

2

22317127

所以babbb，當b時，ba取最小值為.

22424

7

故答案為：.

4

四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．

15.（1）已知fx3x2，求f2x5的解析式；

2

（2）已知fx為二次函數(shù)，且fx1fx12x4x，求fx的解析式.

2

【答案】（1）f2x56x17；（2）fxx2x1

【解析】

【分析】（1）已知fx的解析式，求f2x5，只需將x替換為2x5，然后按照代數(shù)運算規(guī)則展開、

化簡即可.

2

（2）已知fx為二次函數(shù)，設(shè)其一般式為fxaxbxca0，將x1和x1分別代入該式，

然后將兩個式子相加，展開并合并同類項，

再與已知的2x24x對比對應(yīng)項的系數(shù)，得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即可求出a,b,c的值，即可

得fx的解析式.

【詳解】（1）由題意得f2x532x526x17.

2

（2）設(shè)fxaxbxca0，則

fx1fx1a(x1)2bx1ca(x1)2bx1c，

2

整理可得fx1fx12ax2bx2a2c.

由題意得2ax22bx2a2c2x24x,

2a2a1

所以2b4，解得b2，

2a2c0c1

所以fxx22x1.

16.已知命題p：xR，不等式2tx22tx10恒成立，當命題p為真命題時，實數(shù)t的取值集合為A．

（1）求集合A；

（2）設(shè)非空集合B{∣ta2t12a}，若“xA”是“xB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范

圍．

【答案】（1）At0t2

3

（2）aa3

2

【解析】

【分析】（1）分為t0和t0兩種情況分別討論，根據(jù)一元二次不等式恒成立，即可求得答案；

（2）根據(jù)充分不必要條件得出A是B的真子集，根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求得結(jié)果.

【小問1詳解】

當t0時，xR，不等式2tx22tx10恒成立，此時命題p為真命題，符合題意；

t0

當時，若命題p為真命題，則，解得，

t020t2

4t8t0

綜上所訴，0t2，所以集合At0t2.

【小問2詳解】

B{ta2t12a}，即B{ta3t2a1}，

若“xA”是“xB”的充分不必要條件，則A是B的真子集，

a32a1

3

則a30，解得a3，

2

2a12

3

所以實數(shù)a的取值范圍為aa3.

2

22

17.已知函數(shù)fxx3a1x2a3aaR.

（1）當a1時，求函數(shù)fx的最小值；

（2）若關(guān)于x的不等式fx0的解集為1,5，求實數(shù)a的值；

（3）設(shè)關(guān)于x的不等式fx0的解集為A,B1,1，若AB，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）最小值為4

（2）a1

（3）,21,

【解析】

【分析】（1）將a1代入函數(shù)，通過配方法將二次函數(shù)化為頂點式，直接得出最小值即可.

（2）根據(jù)一元二次不等式解集的端點是對應(yīng)方程的根，利用韋達定理列出關(guān)于a的方程組，解出a的值即

可.

（3）先對二次函數(shù)因式分解，得到xax2a30，然后根據(jù)零點的大小分類討論，并結(jié)合

AB和B1,1，即可得出a的取值范圍.

【小問1詳解】

當a1時，函數(shù)fxx26x5(x3)24，

則當x3時，函數(shù)fx取得最小值，最小值為4.

【小問2詳解】

因為關(guān)于x的不等式x23a1x2a23a0的解集為1,5，

22

所以1和5是一元二次方程x3a1x2a3a0的兩個根，

153a1

所以，解得.

2a1

152a3a

【小問3詳解】

22

由fxx3a1x2a3a0，可得xax2a30，

①當a2a3，即a3時，Aa,2a3，

要使AB，則a1或2a31，

解得a1或a2，又a3，可得3a2或a1；

②當a2a3，即a3時，A，滿足AB；

③當a2a3，即a3時，A2a3,a，

要使AB，則2a31或a1，

解得a1或a1，又a3，可得a3.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為,21,.

18.設(shè)矩形ABCD的周長為20，其中ABAD.如圖所示，E為CD邊上一動點，把四邊形ABCE沿AE

折疊，使得AB與DC交于點P.設(shè)DPx，PEy.

（1）若AD3，將y表示成x的函數(shù)yfx，并求定義域；

（2）在（1）條件下，判斷并證明yfx的單調(diào)性；

（3）求△ADP面積的最大值.

20

【答案】（1）yx29，0,

7

20

（2）yx29在x0,上單調(diào)遞增，證明見解析

7

（3）75502.

【解析】

【分析】（1）通過幾何關(guān)系確定APEP，利用RRtADP的三邊關(guān)系建立x，y的關(guān)系，再利用xy7，

進而確定x的范圍即可.

（2）應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；

5m5m

（3）設(shè)ADm，將面積表示為S，適當變形應(yīng)用基本不等式求解最值即可.

10m

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，由AD3，得AB7，

由已知PAEPEA，故APEPy，

又因為DPx

故在RtADP中，則AP2AD2DP2，

即y2x29，整理得yx29

又xy7，則xx297，故x297x，

x2949x214x

2020

x，所以，定義域為0,.

77

【小問2詳解】

20

解：因為yx29，x0,，

7

20

任取x，且，

1x20,x1x2

7

x1x2x1x2

則yyx29x29

121222

x19x29

20

因為0xx，

217

所以，，22

x1x20x1x20x19x290

所以y1y20，

20

即yx29在x0,上單調(diào)遞增.

7

【小問3詳解】

解：易知，當E點位于C點時，△ADP面積最大.

此時再設(shè)ADm，DPn，那么AP10nm，

5010m

由AP2AD2DP2得n，m0,5，

10m

115010m5m5m

所以，△ADP的面積Snmm，

2210m10m

令10mt，則m10t5t10，mt10，

5m5m

故S

10m

510t5t10

t

5050

5t1552t1575502，

tt

50

當且僅當t，即t52，即m1052時，等號成立，

t

故當AD1052時，△ADP的面積S的最大值為75502.

19.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，給定集合D，若f(x)滿足對任意x1，x2R，存在實數(shù)，當x1x2D

時，都有，則稱是上的級優(yōu)函數(shù)．

fx1fx2Df(x)D“”

（1）請寫出一個{1}上的“1級優(yōu)函數(shù)”，并說明理由；

（2）已知f(x)是2,3上的“2級優(yōu)函數(shù)”，

（ⅰ）證明：f(x6)f(x)3；

b

（ⅱ）當x[0,1]時，f(x)ax，其中a，bZ，求a，b的值．

x1

【答案】（1）函數(shù)f(x)x是{1}上的“1級優(yōu)函數(shù)，理由見解析

a0a1

（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ），或．

b1b1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“級優(yōu)函數(shù)”的定義，即可求解.

3

（2）根據(jù)定義可得1fxfx，即可采用迭代相加法求解（?。?，根據(jù)（?。┑乃枷肟勺C明

122

331

f(x3)f(x)，故f(x3)f(x)，進而可得f(x1)f(x)，進而可判定f(x)是[0,1]上

222

的“2級優(yōu)函數(shù)”，且f(x)是[0,1]上單調(diào)遞增函數(shù)，對a分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及可列方程求解（ⅱ）.

【小問1詳解】

函數(shù)f(x)x是{1}上的“1級優(yōu)函數(shù)”．理由如下：

因為當x1x21時，有fx1fx2x1x21，所以f(x)x是{1}上的“1級優(yōu)函數(shù)”．

【小問2詳解】

（?。┮驗閒(x)是2,3上的“2級優(yōu)函數(shù)”，由定義可得對任意x1，x2R，

3

當2xx3時，有1fxfx，

12122

所以f(x6)f(x)f(x6)f(x4)f(x4)f(x2)f(x2)f(x)3，

又f(x6)f(x)f(x6)f(x3)f(x3)f(x)3，

所以f(x6)f(x)3．

（ⅱ）由（?。┛傻?/p>

3113

f(x2)f(x3)，f(x3)fx

2222

故f(x2)f(x)f(x2)f(x3)f(x3)fx1

又f(x2)f(x)1，因此f(x2)f(x)1，

3

f(x3)f(x)f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)f(x1)fx

2

33

又f(x3)f(x)，故f(x3)f(x)，

22

1

因此f(x3)f(x2)，

2

1

在上式中，以