高中白城一中2025－2026學(xué)年度高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.如果，那么（）A. B. C. D.2.下列命題：①若，則；②的充要條件是且③若，則；④若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.33.動點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知當(dāng)?shù)貢r(shí)間時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的解析式是（）A. B.C. D.4.化簡所得結(jié)果是（）A. B. C. D.5.《九章算術(shù)》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個(gè)側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（）A. B. C. D.6.設(shè)平面向量，若，則等于（）A1 B. C.4 D.7.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則A. B. C. D.8.下列四個(gè)說法中正確的是（）A.平面α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，則αβB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab（α，β，γ分別表示平面，a，b表示直線），則γβC.平面α內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一個(gè)三角形的三條邊，則αβD.平面α內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對應(yīng)平行，則αβ二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題.每題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.）9.已知非零實(shí)數(shù)a、b滿足，則（）A. B.C. D.10.給出下列說法，其中正確的有（）A.中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合B.高一（1）班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個(gè)集合C.正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合D.大于2023且小于2030的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合11.邊際函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)基本概念，在國防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某公司每月最多生產(chǎn)75臺報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺的收入函數(shù)（單位：元），其成本函數(shù)（單位：元），利潤是收入與成本之差，設(shè)利潤函數(shù)為，則以下說法正確的是（）A.取得最大值時(shí)每月產(chǎn)量為臺B.邊際利潤函數(shù)的表達(dá)式為C.利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)不具有相同的最大值D.邊際利潤函數(shù)說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍是______.13已知向量，，若，則________.14.已知，則________．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明:平面（2）求二面角的正弦值.16.如圖為正四棱錐為底面中心．（1）若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?7.判斷下列各題中，是的什么條件（在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）.（1）若，，；（2），；（3）：兩個(gè)角都是直角，：兩個(gè)角不相等.18.如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)棱，，是的中點(diǎn)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為？19.已知關(guān)于的方程有實(shí)根，求以及實(shí)數(shù)的值.白城一中2025－2026學(xué)年度高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.如果，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】由對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減可得.故選：D2.下列命題：①若，則；②的充要條件是且③若，則；④若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的概念依次判斷各選項(xiàng)即可得答案【詳解】解：對于①，若，則模相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)時(shí)也滿足且，故錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)時(shí)，滿足，但不一定成立；對于④，若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，正確.故真命題的個(gè)數(shù)是1個(gè).故選：B3.動點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知當(dāng)?shù)貢r(shí)間時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意確定周期得到，再通過坐標(biāo)，得到，即可求解.【詳解】由已知可得該函數(shù)的周期，，又當(dāng)時(shí)，，設(shè)，令，得由，得，在一個(gè)周期內(nèi)可得，，又需滿足，故，.故選：D4.化簡所得的結(jié)果是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及兩角差的余弦公式化簡計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】易知.故選：A.5.《九章算術(shù)》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個(gè)側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用側(cè)面與下底面的夾角的正切值均為，求得正棱臺的高，進(jìn)而求得其斜高，結(jié)合側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)上底面為，下底面為，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，設(shè)上底面的中心為，下底面的中心為，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)?，所以即為?cè)面與下底面夾角的平面角，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以方亭的?cè)面積為.故選：B.6.設(shè)平面向量，若，則等于（）A.1 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：D7.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，可得，代入數(shù)據(jù)可求解．【詳解】由正弦定理，變形可得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．8.下列四個(gè)說法中正確的是（）A.平面α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等，則αβB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab（α，β，γ分別表示平面，a，b表示直線），則γβC.平面α內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一個(gè)三角形的三條邊，則αβD.平面α內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對應(yīng)平行，則αβ【答案】C【解析】【分析】求得平面α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等時(shí)α與β的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab時(shí)γ與β的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)B；平面α內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一個(gè)三角形的三條邊時(shí)α與β的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)C；舉特例否定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，平面α內(nèi)的直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：在如下圖所示的三棱柱中：γ與β相交，α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：平面α內(nèi)一個(gè)三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一個(gè)三角形的三條邊，則αβ.判斷正確；選項(xiàng)D：如下圖，，平面α內(nèi)的一個(gè)平行四邊形相對的兩邊與平面β內(nèi)的一個(gè)平行四邊形相對的兩邊滿足.判斷錯(cuò)誤.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題.每題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.）9.已知非零實(shí)數(shù)a、b滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用特值法和作差法對選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷，即可得到答案；【詳解】對A，令，則，故A錯(cuò)誤；對B，當(dāng)，；當(dāng)；當(dāng)，；故B正確；對C，，故C正確；對D，，且，，，故D正確；故選：BCD10.給出下列說法，其中正確的有（）A.中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合B.高一（1）班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個(gè)集合C.正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合D.大于2023且小于2030的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合【答案】AC【解析】【分析】由集合元素的確定性逐個(gè)判斷即可.【詳解】A，C中的元素具備確定性，可以構(gòu)成集合，A，C正確.B中高一（1）班較胖的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)成集合，B錯(cuò)誤.D中的元素具備確定性能構(gòu)成集合，D錯(cuò)誤.故選：AC11.邊際函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)基本概念，在國防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某公司每月最多生產(chǎn)75臺報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺的收入函數(shù)（單位：元），其成本函數(shù)（單位：元），利潤是收入與成本之差，設(shè)利潤函數(shù)為，則以下說法正確的是（）A.取得最大值時(shí)每月產(chǎn)量為臺B.邊際利潤函數(shù)的表達(dá)式為C.利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)不具有相同的最大值D.邊際利潤函數(shù)說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)、的解析式，可判斷B選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；求出利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)的最大值，可判斷C選項(xiàng)；利用邊際利潤函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，因?yàn)?，所以，取得最大值時(shí)每月產(chǎn)量為臺或臺，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，則，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少，D對.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性，確定單調(diào)性，由單調(diào)性結(jié)合定義域列出不等式求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，由可得：，解得.所以滿足的的取值范圍是故答案為：13.已知向量，，若，則________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列式求解，即得答案.【詳解】由題意知向量，，，故，解得，故答案為：114.已知，則________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正弦和角公式得到，進(jìn)而求出，利用二倍角公式求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，因此，則，所以.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由線面垂直判定定理證明平面，再由平行四邊形的性質(zhì)得到即可證明；（2）分別找到平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的余弦公式，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出正弦值即可.建系，【小問1詳解】證明:如圖，設(shè)為在底面的射影，連接，則平面.因?yàn)槠矫鍭BC，所以又為BC的中點(diǎn)，，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，∴平?又為的中點(diǎn)，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，∴平面.【小問2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，且，所?設(shè)平面的法向量為，則即設(shè)，得，所以，則，所以二面角的正弦值為.16.如圖為正四棱錐為底面的中心．（1）若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【小問1詳解】正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是【小問2詳解】連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.即為所求.17.判斷下列各題中，是什么條件（在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答）.（1）若，，；（2），；（3）：兩個(gè)角都是直角，：兩個(gè)角不相等.【答案】（1）充要條件（2）必要不充分條件（3）既不充分也不必要條件【解析】【分析】（1）由充要條件的概念即可直接判斷；（2）由必要不充分條件的概念即可直接判斷；（3）由既不充分也不必要條件的概念即可直接判斷.【小問1詳解】因?yàn)?，并且，所以是的充要條件.【小問2詳解】，即或，，故，故是的必要不充分條件.【小問3詳解】兩個(gè)角都是直角，則這兩個(gè)角相等，兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不都是直角，即，故是既不充分也不必要條件.18.如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)棱，，是的中點(diǎn)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離為？【答案】存在【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先計(jì)算平面的法向量，，，再利