一、解答題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，3)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上,且AC=6.(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)把點(diǎn)C往上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H，作射線CH,連接BH，點(diǎn)M在射線CH上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)C、H重合).試探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解析：(1)C(-2，0)；(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由點(diǎn)A坐標(biāo)可得OA=4，再根據(jù)C點(diǎn)x軸負(fù)半軸上，AC=6即可求得答案；(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根據(jù)S△POB=S△ABC，可得OP=6，即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)先得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到BH//AC，然后根據(jù)點(diǎn)M在射線CH上，分點(diǎn)M在線段CH上與不在線段CH上兩種情況分別進(jìn)行討論即可得.【詳解】(1)∵A(4，0)，∴OA=4，∵C點(diǎn)x軸負(fù)半軸上，AC=6，∴OC=AC-OA=2，∴C(-2，0)；(2)∵B(2，3)，∴S△ABC=×6×3=9，S△BOP=OP×2=OP，又∵S△POB=S△ABC，∴OP=×9=6，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，證明如下：∵把點(diǎn)C往上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)H，C(-2，0)，∴H(-2，3)，又∵B(2，3)，∴BH//AC；如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段HC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN//AC，∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，∴∠HBM=∠BMN，∵∠BMA=∠BMN+∠AMN，∴∠BMA=∠HBM+∠MAC；如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在射線CH上但不在線段HC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN//AC，∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，∴∠HBM=∠BMN，∵∠BMA=∠AMN-∠BMN，∴∠BMA=∠MAC-∠HBM；綜上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，點(diǎn)的平移，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，正確進(jìn)行分類并準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，，，其中a、b滿足關(guān)系式：．______，______，的面積為_(kāi)_____；如圖2，石于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段OC上一點(diǎn)，連接BP，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求證：BP平分；提示：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于如圖3，若，點(diǎn)E是點(diǎn)A與點(diǎn)B之間上一點(diǎn)連接CE，且CB平分問(wèn)與有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）；；6；（2）證明見(jiàn)解析；（3）

，理由見(jiàn)解析.【詳解】分析：（1）求出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)等角的余角相等解答即可；（3）首先證明∠ACD=∠ACE，推出∠DCE=2∠ACD，再證明∠ACD=∠BCO，∠BEC=∠DCE=2∠ACD即可解決問(wèn)題；【解答】（1）解：如圖1中，∵|a+4|+（b-a-1）2=0，∴a=-4，b=-3，∵點(diǎn)C（0，-4），D（-3，-4），∴CD=3，且CD∥x軸，∴△BCD的面積=×4×3=6；故答案為-4，-3，6．（2）如圖2中，∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠ABQ=∠CBQ，∴BQ平分∠CBA．（3）如圖3中，結(jié)論：∠BEC=2∠BCO．理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°，∵CB平分∠ECF，∴∠ECB=∠BCF，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE，∴∠DCE=2∠ACD，∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO，∵C（0，-4），D（-3，-4），∴CD∥AB，∠BEC=∠DCE=2∠ACD，∴∠BEC=2∠BCO，點(diǎn)睛：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,，CD//x軸，CD=AB．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)：(2)四邊形OCDB的面積四邊形OCDB；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB=四邊形OCDB；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）（2）7（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或【詳解】試題分析：⑴抓住∥軸，可以推出縱坐標(biāo)相等，而是橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，以此可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖示要舍去一種情況.⑵四邊形是梯形，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出此梯形的上、下底和高，面積可求.⑶存在性問(wèn)題可以先假設(shè)存在，在假設(shè)的基礎(chǔ)上以△=四邊形為等量關(guān)系建立方程，以此來(lái)探討在軸上是否存在著符合條件的點(diǎn).試題解析：⑴.∵∥軸,∴縱坐標(biāo)相等;∵∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)也為2.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.又，且，∴，解得：.由于點(diǎn)在第一象限，所以，所以的坐標(biāo)為.⑵.∵∥軸，且∴∴四邊形=.⑶.假設(shè)在軸上存在點(diǎn),使△=四邊形.設(shè)的坐標(biāo)為，則，而∴△=.∵△=四邊形，四邊形∴，解得；.均符合題意.∴在軸上存在點(diǎn),使△=四邊形.點(diǎn)的坐標(biāo)為或.4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，0)、(-2，0)，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)分別向上平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接、、.（1）若在軸上存在點(diǎn),連接，使S△ABM=S□ABDC，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，求S=S△PCD+S△POB的取值范圍；（3）若在直線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出的數(shù)量關(guān)系.解析：（1）(0，4)或(0，-4)；（2）；（3）答案見(jiàn)解析【解析】（1）先根據(jù)S△ABM=S□ABDC，得出△ABM的高為4，再根據(jù)三角形面積公式得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先計(jì)算出S梯形OBDC=5，再討論：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，S△POC的最小值=2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，S△POC的最大值=3，即可判斷S=S△PCD+S△POB的取值范圍的取值范圍；（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在BD上，如圖1，作PE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，同樣有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP，于是∠BOP-∠DCP=∠CPO；同理可得當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DCP-∠BOP=∠CPO．解：（1）由題意，得C（0，2）∴□ABDC的高為2若S△ABM=S□ABDC，則△ABM的高為4又∵點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，4)或(0，-4)（2）∵B（-2，0），O（0，0）∴OB=2由題意，得C（0，2），D（-3，2）∴OC=2，CD=3∴S梯形OBDC=點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)B時(shí)，△PCO的面積最小，為當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)D時(shí)，△PCO的面積最大，為∴S=S△PCD+S△POB=S梯形OBDC－S△PCO=5－S△PCO∴S的最大值為5－2=3，最小值為5－3=2故S的取值范圍是：（3）如圖：當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)睛：本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及三角形的面積.利用分類討論思想，并構(gòu)造輔助線利用平行線的性質(zhì)推理是解題的關(guān)鍵.5．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足+|b﹣2|＝0，D為線段AC的中點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．（1）則A點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)C的坐標(biāo)為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿y軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．問(wèn)：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠FOC＝∠FCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，連OG，使得∠AOG＝∠AOF．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連CE交OF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)確定∠OHC，∠ACE和∠OEC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．解析：（1），，；（2）存在，；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a，b的值，得出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，再運(yùn)用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可得CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根據(jù)S△ODP=S△ODQ，列方程求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AC交x軸于點(diǎn)P，先證明OG∥AC，再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線性質(zhì)，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入可得．【詳解】解：（1），，，，，，，設(shè)，為線段的中點(diǎn)．，，，故答案為：，，；（2）存在，．由條件可知：點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)需要時(shí)間為2秒，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)需要時(shí)間2秒，，點(diǎn)在線段上，，，，，，，，，．（3）如圖2，，，，，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，則，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等，是一道三角形綜合題，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．6．如圖，在長(zhǎng)方形中，為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為且、滿足，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著的線路移動(dòng)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________；當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________；（2）在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)到軸的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間；（3）在的線路移動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)使的面積是20，若存在直接寫出點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）（8，12），（0，10）；（2）2秒或14秒；（3）存在，t=2.5s或【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a、b的值，據(jù)此可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間可得其運(yùn)動(dòng)5秒的路程，得到OP=10，從而得出其坐標(biāo)；（2）先根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)11秒判斷出點(diǎn)P的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求解可得；（3）分為點(diǎn)P在OC、BC上分類計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵a，b滿足，∴a=8，b=12，∴點(diǎn)B（8，12）；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)5秒時(shí)，其運(yùn)動(dòng)路程為5×2=10，∴OP=10，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,10），故答案為：（8，12）、（0,10）；（2）由題意可得，第一種情況，當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：4÷2＝2秒，第二種情況，當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)．點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：（12+8+8）÷2＝14秒，所以在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是2秒或14秒．（3）如圖1所示：∵△OBP的面積=20，∴OP?BC=20，即×8×OP=20．解得：OP=5．∴此時(shí)t=2.5s如圖2所示；∵△OBP的面積=20，∴PB?OC=20，即×12×PB=20．解得：BP=．∴CP=．∴此時(shí)t=，綜上所述，滿足條件的時(shí)間t=2.5s或【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．7．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A滿足，平移線段AB使點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）則a＝，b＝，點(diǎn)C坐標(biāo)為；（2）如圖1，點(diǎn)D（m，n）在線段BC上，求m，n滿足的關(guān)系式；（3）如圖2，E是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)B為邊作∠BOG＝∠AOB，交BC于點(diǎn)G，連CE交OG于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變，請(qǐng)求出其值．解析：（1）；（2）；（3）不變，值為2．【分析】（1）根據(jù)，即可得出a，b的值，再根據(jù)平移的性質(zhì)得出，因?yàn)辄c(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，連接OD，在中用等面積法即可求出m和n的關(guān)系式；（3）分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EP∥OA，F(xiàn)Q∥OA分別交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出進(jìn)而得到的值．【詳解】（1）解：∵，∴∴∵且C在y軸負(fù)半軸上，∴,故填：；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥x軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，連接OD．∵AB⊥x軸于點(diǎn)B，且點(diǎn)A，D，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：∴，∴,又∵S△BOC=S△BOD＋S△COD=OB×MD＋OC×ND，∴；（3）解：的值不變，值為2．理由如下：如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EP∥OA，F(xiàn)Q∥OA分別交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，∵線段OC是由線段AB平移得到，∴BC∥OA，又∵EP∥OA，∴EP∥BC，∴∠GCF=∠PEC，∵EP∥OA，∴∠AOE=∠OEP，∴∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，同理：∠OFC=∠AOF+∠GCF，又∵∠AOB=∠BOG，∴∠OFC=2∠AOE+∠GCF，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，平行線的判定與性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，運(yùn)用等面積法，角的和差關(guān)系以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解．8．已知直線AB//CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?2°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按逆時(shí)針?lè)较蛎棵?°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間10秒時(shí)，PB'與QC'的位置關(guān)系為；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)15秒，射線PB才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為多少秒時(shí)，PB′//QC′．解析：（1）PB′⊥QC′；（2）當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′【分析】（1）求出旋轉(zhuǎn)10秒時(shí)，∠BPB′和∠CQC′的度數(shù)，設(shè)PB′與QC′交于O，過(guò)O作OE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠POE和∠QOE的度數(shù)，進(jìn)而得結(jié)論；（2）分三種情況：①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，③當(dāng)30＜t＜45時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．【詳解】解：（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，過(guò)O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD，∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，∴∠POQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案為：PB′⊥QC′；（2）①當(dāng)0＜t≤15時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；②當(dāng)15＜t≤30時(shí)，如圖，則∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；③當(dāng)30＜t≤45時(shí)，如圖，則∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或25秒或45秒時(shí)，PB′∥QC′．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問(wèn)題．9．如圖，直線，點(diǎn)是、之間（不在直線，上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若與都是銳角，請(qǐng)寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）把直角三角形如圖2擺放，直角頂點(diǎn)在兩條平行線之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接，有，求的值；（3）如圖3，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）75°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和平角的定義解答即可．（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】解：（1）∠C=∠1+∠2，證明：過(guò)C作l∥MN，如下圖所示，∵l∥MN，∴∠4=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，∴l(xiāng)∥PQ，∴∠3=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠3+∠4=∠1+∠2，∴∠C=∠1+∠2；（2）∵∠BDF=∠GDF，∵∠BDF=∠PDC，∴∠GDF=∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，∴∠CDG+2∠PDC=180°，∴∠PDC=90°-∠CDG，由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，∴∠AEN=∠CEM，∴，（3）設(shè)BD交MN于J．∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，∵PQ∥MN，∴∠BJA=∠PBD=50°，∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行找出角度之間的關(guān)系．10．如圖1，MN∥PQ，點(diǎn)C、B分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點(diǎn)E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）120°．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補(bǔ)角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，已知，是的平分線．（1）若平分，求的度數(shù)；（2）若在的內(nèi)部，且于，求證：平分；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，但與、始終有交點(diǎn)，問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．解析：（1）90°；（2）見(jiàn)解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據(jù)垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過(guò)，分別作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解．【詳解】解（1），分別平分和，，，，；（2），，即，，是的平分線，，，又，，又在的內(nèi)部，平分；（3）如圖，不發(fā)生變化，，過(guò)，分別作，，則有，，，，，，，，，，，，不變．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上．（1）根據(jù)圖1填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°．①如圖2，當(dāng)n＝25°，且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí)，求∠1、∠2的度數(shù)；②當(dāng)0°＜n＜180°時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有n的值和對(duì)應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BCG，然后根據(jù)周角等于360°計(jì)算即可得到∠2；②結(jié)合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解．【詳解】解：（1）∠1=180°-60°=120°，∠2=90°；故答案為：120，90；（2）①如圖2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°-n°，∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG=360°-90°-（180°-n°）=90°+n°；②當(dāng)n=30°時(shí)，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°+60°=90°，AB⊥DG（EF）；當(dāng)n=90°時(shí)，∠C=∠CBF=90°，∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n=120°時(shí)，∴AB⊥DE（GF）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．13．直線AB∥CD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，CP．（1）如圖①，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，當(dāng)∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時(shí)，求∠APC的度數(shù)；（2）如圖②，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，點(diǎn)P在直線CD下方，當(dāng)∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP時(shí)，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．解析：（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由見(jiàn)解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根據(jù)∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過(guò)K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，進(jìn)而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，進(jìn)而得到∠AKC＝∠APC；（3）過(guò)K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根據(jù)已知得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝∠APC，進(jìn)而得到∠BAK﹣∠DCK＝∠APC．【詳解】（1）如圖1，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝∠APC．理由：如圖2，過(guò)K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，過(guò)P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC；（3）∠AKC＝∠APC理由：如圖3，過(guò)K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，過(guò)P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP，∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是作出平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等計(jì)算．14．已知：AB∥CD，截線MN分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．（1）如圖①，點(diǎn)B在線段MN上，設(shè)∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且滿足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度數(shù)；（2）如圖②，在（1）的條件下，射線DF平分∠CDE，且交線段BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；請(qǐng)寫出∠DEF與∠CDF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在射線NT上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DCP與∠BMT的平分線交于點(diǎn)Q，則∠Q與∠CPM的比值為（直接寫出答案）．解析：（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）由非負(fù)性可求α，β的值，由平行線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可求解；（2）過(guò)點(diǎn)E作直線EH∥AB，由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的數(shù)量可求解；（3）由平行線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即