八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

主備人：班級(jí)：學(xué)生姓名：

課題：3.1勾股定理的探究（1）勾股定理的發(fā)現(xiàn)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

I、能說出勾股定理的內(nèi)容，并能用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

2、讓學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過程，發(fā)展合情推理的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理及其應(yīng)用。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用圖形的割補(bǔ)驗(yàn)證勾股定理。

自學(xué)要求：認(rèn)真閱讀教材P86-88,回答下列問題：

一、新知體驗(yàn)：

1、情境引入：

你相信世界上有“外星人”嗎？用什么語(yǔ)言與外星人溝通呢？

數(shù)學(xué)家曾建議用“勾股定理''的圖作為與外星人聯(lián)系的信號(hào)。

2、探索新知：

問題：如圖1,以RSA8C的三邊為邊分別向外畫一個(gè)正方形,所畫的三個(gè)正方形面積之間有怎樣的

數(shù)量關(guān)系?

S1E方JffALDB=7X7-4XSA8C

S正方形AEDR=4SAPH+Ix1

圖3-1

正方形BH/C、正方形ACFG的面積分別為9和16,正方形AEQ8的面積為25,

三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系為：S正方形八￡08=5正方彩BHIC十5正方形ACFG-

S正方形A￡O片AB-S正方形切〃（?=8。2,s<mACFG=AC2,：-AB2=BC2+AC20

即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

活動(dòng)：在下面的方格紙上，任意畫一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的直角三角形,

（如右圖）并分別以這個(gè)直角三角形的各邊為一邊向三角形

外部作正方形，仿照上面的方法找出三個(gè)正方形面積之間的

關(guān)系，并與同學(xué)交流,

根據(jù)上面的例子，可以猜想：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平

方。

直角三角形這一特殊的三邊關(guān)系，我國(guó)古代稱之為勾股定理?yè)?jù)《周髀算經(jīng)》記

載

：西周時(shí)期的商高（約前1100）在與周公（約前1100）的對(duì)話中，我國(guó)古代學(xué)者把

直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。

就提出了“勾三股四弦五“，勾股定理的證明從古至今已有數(shù)百種方法，

公元3世紀(jì)初，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（3世紀(jì)前期）用剪拼圖形的方法完成了證明。

勾股定理：

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

即如圖，直角三角）的兩條直角邊〃，〃與斜邊c之間滿足：a-+b2=c2

勾股定理也被稱為

畢達(dá)哥拉斯定理，

在古希臘.人們利

用勾股定理發(fā)現(xiàn)了

無理數(shù).

試一試:

如圖，在下列橫線上填上適當(dāng)?shù)闹?

二、例題講解

例1、如圖1,已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的長(zhǎng)。

12(1)5(2)

例2、在圖2的數(shù)軸上畫出逐對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

-101234

三、基礎(chǔ)強(qiáng)化：

1、求圖中x的值

(1)(2)

2、求圖中x,），的值

3.求圖中匯的值

(1)(2)

四、拓展提高:

如圖，在△ABC中，AC=13,AB=15,BC=\4,是邊上的高，求4。的長(zhǎng).

五、總結(jié)反思:

在直角三角形中,兩直角邊a、b的平方和等廣斜邊c

|的平方，即

勾股定理

必須是在直向三角形中

看清哪個(gè)仍是百角

六、達(dá)標(biāo)檢測(cè):

1、在RSA3C的斜邊48上另作RS46。，并以43為斜邊，若8c=1,AC=b,40=2,則等于

）

A、/+1B、護(hù)―3C、y+4D、（力2+］）2-4

2、如圖，則直角三角形中邊A。的長(zhǎng)為,

四邊形ABCD的面積為o

3、已知一直角三角形的斜邊與其中一直角邊的和為8,差為2,

試求這個(gè)直角三角形三邊的長(zhǎng)。

2025年秋八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

主備人：班級(jí)：學(xué)生姓名：

課題：3.1勾股定理（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、通過拼圖等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步驗(yàn)證勾股定理，發(fā)展合情推理的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

2、經(jīng)歷用多種拼圖方法驗(yàn)證勾股定理的過程，發(fā)展用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界和有條理地

思考與表達(dá)的能力，感受勾股定理的文化價(jià)值。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：通過拼圖驗(yàn)證勾股定理，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證勾股定理。

自學(xué)要求：認(rèn)真閱讀教材P89-90,回答下列問題：

二、新知體驗(yàn)：

3、情境引入：

兩千多年來，勾股定理的證明一直令人著迷，公元3世紀(jì)初,

趙爽通過“弦圖”證明了勾股定理。

4、探索新知：

根據(jù)“弦圖”的思路，用4張如圖3-5所示的直角三角形紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為c的大正方形(圖3-6),你

能用這個(gè)圖形證明勾股定理嗎？

圖3-5圖3-6

如圖3-6,大正方形的邊長(zhǎng)為c,則S正方彩低7)=，

因?yàn)榇笳叫问怯?個(gè)和1個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形組成的，所以，大正方形的面積是4

個(gè)面積與_______面積的.即S正方形ABCD=4x—aZ?+(〃-a)2="+〃.所以

嘗試：

I、用4張如圖3-5所示的直角三角形紙片拼成如圖3-7所示的大正方形，你能用這個(gè)圖形證明勾股定

理嗎？

2、連接圖3-7中小正方形的對(duì)角線，可以得到圖3-8,試?yán)脠D3?8中的面積關(guān)系證明勾股定理。

圖3-8

二、例題講解

例1、如圖把火柴盒放倒，在這個(gè)過程中，也能驗(yàn)證勾股定理，你能利用下圖驗(yàn)證勾股定理嗎？

三、基礎(chǔ)強(qiáng)化:

1、如圖所示的是一段樓梯示意圖，其斜邊A8的長(zhǎng)為5米，一條直角邊8c的長(zhǎng)為3米，

若在此樓梯上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少需要（）

A、8米8、9米C、7米。、6米

2、圖甲是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的。

在RS48C中，若直角邊AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外

延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圉周長(zhǎng)（圖乙中的實(shí)線）是

3、4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c,現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖所示

的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，為什么？

五、拓展提高:

勾股定理是數(shù)學(xué)史上個(gè)非常重要的定理。至今已有數(shù)百種證明方法。

歐幾里得的《幾何原本》用了如下的思路：

如圖1,四邊形ABFE,四邊形A/KC,四邊形BC7”分別是以ROABC的三邊

為一邊的正方形，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AB于點(diǎn)Q,交FE于點(diǎn)、G,連接

CF,請(qǐng)你思考或查閱資料，完成證明過程。

五、總結(jié)反思：

I、這節(jié)課我們通過多種拼圖的方法，進(jìn)一步驗(yàn)證了勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

2、用勾股定理解決問題的一般思路：尋找或構(gòu)造直角三角形.

六、達(dá)標(biāo)檢測(cè)：

1、如圖，--圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，

要爬行的最短路程（兀取3）是（）

A、20cmB、10cmC、14cmD、無法確定

2、一棵樹在臺(tái)風(fēng)“卡努”的襲擊下，在離地5米斷裂，樹頂落在離根12米遠(yuǎn)處,

問這棵樹斷之前有多高？

2025年秋八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

主備人：班級(jí)學(xué)生姓名：

課題：3.2勾股定理的逆定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、會(huì)闡述直角三角形的判定條件（勾股定理的逆定理）.

2、會(huì)應(yīng)用直角三角形的判定條件判定一個(gè)三角形是直角三角形.

3、經(jīng)歷探索一個(gè)三角形是直角三角形的條件的過程，體會(huì)“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及應(yīng)用.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明.

自學(xué)要求：認(rèn)真閱讀教材P93-95,回答下列問題：

三、新知體驗(yàn)：

5、情境引入：

我們知道直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，反過來，如果一個(gè)三角形的兩條邊的

平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？

6、探索新知：

如圖，A/3C的三邊小b,c滿足。2+〃2=/,

能否證明為直角三角形。

我們先作一個(gè)RQABC,使乙。二90。，B

仇如圖），再設(shè)法證明△A7TC與△A4C全等

根據(jù)勾股定理，得4萬(wàn)2=標(biāo)+尻，因?yàn)?爐=4+序，所以A'R'=AB

根據(jù)“”,可知△ABCWA/VB'C,于是4C=ZC'=90。，即48c是直角三角形.

小結(jié)：

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,C,且_______,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

四千多年前，古埃及人在建造金字塔時(shí)就已經(jīng)知道

如何構(gòu)造一個(gè)直角三角形，他們?cè)谝桓K子上打上

距離相等的結(jié)，然后由三人拉成一個(gè)三角形，

使得每條邊被結(jié)點(diǎn)分成3段、4段、5段，

這樣得到的三角形?定是直角三角形.

勾股數(shù)：

如果三個(gè)正整數(shù)4,乩C滿足關(guān)系。2+/=/,則稱4,b,c為.

口訣：奇數(shù)平方寫連續(xù)，偶數(shù)半方加減一。

試一試：

I、下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A、12、15、18：B、12、35、36：C、7、24、25.。、10、20、30

2、有一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為3、4、5,求這個(gè)三角形的面積.

二、例題講解

例1、已知：a,b,c為正整數(shù)，且

求證：對(duì)于任意的正整數(shù)左，正整數(shù)h,”3h構(gòu)成勾股數(shù)。

例2、如圖，AO是的中線，40=24,4B=26,BC=20,求AC的長(zhǎng)。

BDC

三、基礎(chǔ)強(qiáng)化：

1、觀察下列各組數(shù)：①7,12,15：②8,15,17；③12,15,20：④⑤（）.6,（）.8,1,

345

其中是勾股數(shù)的有（）

A、1組B、2組C、3組D、4組

2、在△A8C中，如果三邊〃、氏c滿足I”一32|十|2。-48|+（C-40）2=0,那么"BC是（）

A、等腰三角形B、等邊三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形

3、如圖所示，己知△ABC中，44=5,AC=3,邊6c上的中線4。=2,

（1）求證：△AC。是直角三角形；（2）求AA8C的面積.

4、一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=\2,

AD=\3,假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？

六、拓展提高:

I、若8c的三邊分別是a、b、c,且°=層一1,b=2n,c=rr+\,求證：△48C是直角三角形。

2、如圖，ADLBC,垂足為。，如果C7）=l,AO=2,BD=4,那么MAC是直角嗎？證明你的結(jié)論.

五、總結(jié)反思：

1、在已知三角形的三邊，判斷此三角形是否為直角三角形時(shí)，一般先確定最長(zhǎng)的邊，再計(jì)算較短的兩

邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方，若兩者能，則此三角形為直角三角形，且最長(zhǎng)邊為斜邊，所對(duì)的角

為直角；若兩者不能相等，則天是直角三角形。

2、應(yīng)用平方關(guān)系判斷勾股數(shù)的前提條件是這三個(gè)數(shù)必須都是_____o

六、達(dá)標(biāo)檢測(cè)：

1、如果線段。、b、c能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，那么〃：〃：c可能是（）

A、1：2：3B、3：4：5C、2：3：5D、5：7：8

2、如圖，A3=24,BC=15,CO=20,AD=7,zC=90°,求乙4的度數(shù).

2025年秋八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

主備人：班級(jí)學(xué)生姓名：

課題：3.3勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（1）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、能在實(shí)際生活情境中，利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題；

2、在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想,

使學(xué)生進(jìn)一步養(yǎng)成“學(xué)數(shù)學(xué)，川數(shù)學(xué)”的意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題

自學(xué)要求：認(rèn)真閱讀教材P97-98,回答下列問題：

四、新知體驗(yàn)：

7、情境引入：

如圖，從電線桿離地面6m處向地面拉一條長(zhǎng)10m的固定纜繩，

這條纜繩在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有m.o

下面，我們來研究運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

8、探索新知：

甲、乙兩種款式手機(jī)屏幕的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5.5英寸和5.4英寸，

縱橫比分別為2：1和16：9,哪款手機(jī)的屏幕面積更大？

（1英寸N54cm）

乙

設(shè)甲手機(jī)屏幕的長(zhǎng)、寬分別為2x英寸，x英寸；

乙手機(jī)屏幕的長(zhǎng)、寬分別為16y英寸，9y英寸.

根據(jù)勾股定理，得

（2x）2十（]6y）2+（9y）2=5.42.

X2=552.

分別得到x2=6.05,y?二得?。進(jìn)而分別可以求出甲手機(jī)屏幕的面積為12.1平方英寸,

乙手機(jī)屏幕的面積約為12.5平方英寸所以，乙手機(jī)屏幕的面積更大。

小結(jié)：

在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

實(shí)際問題?一轉(zhuǎn)化為……直角三角形。

試一試:

1、如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B50米,

結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米，則該河的寬度BC為米.

BA

二、例題講解

例1、例：《九章算術(shù)》中的“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”

題意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一史折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，

試問折斷處離地面多高？

三、基礎(chǔ)強(qiáng)化:

I、如圖，起重機(jī)吊運(yùn)物體，BC=7.5m,AC=19.5m,求AB的長(zhǎng)。

2、如圖，某校校慶時(shí)，從教學(xué)樓樓頂?shù)狞c(diǎn)A處向圍墻上的點(diǎn)B處拉彩旗，已知點(diǎn)B和教學(xué)樓的

水平距離為16m,教學(xué)樓高15m,圍墻BC高3m,問至少需要多長(zhǎng)的彩旗帶?

9、如圖，在一次消防演習(xí)中，梯子斜靠在與地面垂直（垂足為O）的墻上，當(dāng)梯子位于AB位置時(shí)，

AO=2.4m,BO=1.8m,如果梯子頂端要下降0.4m（即AC=0.4m）,那么梯子的底端B應(yīng)向右滑動(dòng)多少

米？

七、拓展提高：

有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，

如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳縍恰好碰到岸邊的R，（如圖），

問水深和蘆葦長(zhǎng)各多少？

運(yùn)用勾股定理時(shí)，必須掌握轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即在求三角形邊或進(jìn)行論證時(shí)，

常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形來解決.

六、達(dá)標(biāo)檢測(cè)：

1、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬，高分別為20、3和2,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)

相對(duì)■端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，求它所走的最短路線長(zhǎng)度。

A.20

B

2、如圖，有兩棵樹，一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m,一只小鳥從一棵樹的樹梢

飛到另一棵樹的樹梢，問這只小鳥至少飛行了多少米？

2025年秋八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

主備人：班級(jí)：學(xué)生姓名：

課題：3.3勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

I、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中己知兩邊求第三邊”；而勾股逆定理的作用是由

“三角形邊的關(guān)系得山三角形是直角三角形”。

2、掌握勾股定理及其逆定理，運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的說理和計(jì)算。

3、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”解決問題能力。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決數(shù)學(xué)問題。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決與直角三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

自學(xué)要求：認(rèn)真閱讀教材P99-100,回答下列問題：

一、情境引入：

如圖，有一個(gè)長(zhǎng)為12cm,寬4cm,高3cm的長(zhǎng)方形鐵盒，在其內(nèi)部放一根筆直的鐵絲,

則鐵絲的最長(zhǎng)長(zhǎng)度是多少？

例1、證明：直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的連線段中，垂線段最短

已知，如圖，點(diǎn)尸在直線/外，PALI,垂足為A,Q為直線/上不同于點(diǎn)4的任意一點(diǎn),

例2、如圖，CD為RtAABC的斜邊48上的高，設(shè)CD=/