3.2勾股定理的逆定理（題型專練）

題型一、勾股定理的逆定理

題型二、在網(wǎng)格中判斷直角三角形

基礎達標

勾股定理的題型一、勾股定理逆定理的實際應用

題型二、新定義材料探究問題

逆定理能力提升

題型三、勾股數(shù)拓展問題

題型四、勾股定理逆定理的擴展問題

拓展培優(yōu)

A基礎達標題.

題型一、勾股定理的逆定理

1.（24-25八年級上,貴州六盤水?期末）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的一組數(shù)據(jù)是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

2.（24-25八年級上?福建漳州?期中）三角形各邊長度的如下，其中不是直角三角形的是（）

A.3,4,5B.7,24,25C.15,8,17D.5,11,13

3.（24-25八年級上?江西吉安?期末）在V/8C中，NZ,NB,ZC的對邊分別記為①b,c,下列條件不

能夠判定V/l4c為直角三角形的是（）

A./A=/B+NCB.a2=c2-bz

C.（7=1>b=2,c=GD.a:b:c=\/3:2:yj5

4.（八年級?山東濟寧?期中）已知三角形三邊長分別為1,3,而，則這個三角形的面積為.

5.（22-23八年級上?貴州畢節(jié)?期口）已知a,b,c滿足（a+JK=1+卜一=0.

(1)求a,b,c的值.

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(2)試問以“，4c的長度能否構成一個直角三角形？若能，求三角形的面積：若不能，請說明理由.

題型二、在網(wǎng)格中判斷直角三角形

6.(24-25八年級上?四川樂山?期末)如圖，正方形網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,且點48、。均為格點.

⑴求V48C的面枳；

(2)猜想V48c的形狀，并說明理由.

7.(2024八年級上?全國?專題練習)如圖，每個小正方形的邊長都為1.

R_

⑴求四邊形力8c。的面積；

(2)/8。是直角嗎？為什么？

8.(24-25八年級上?河北保定?期末)如圖，在3x3網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,V48C的頂點均在

網(wǎng)格的格點(網(wǎng)格線的交點)上.

(1)填空：AC=,AB=,BC=；

(2)丫48。是直角三角形嗎？請作出判斷，并說明理由.

9.(24-25八年級上?江蘇無錫?期中)如圖所示，在每個邊長都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點4、B、P

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均為網(wǎng)格的格點.

>一一■—一■-b■■

A\

----r--i-------1-------r-

⑴線段AB的長度等于：

（2）以點力、B、Q為頂點的A48P面積為：

⑶僅用無刻度直尺在線段AB上作一個點。，使得點。滿足NPQ4=45。.

題型三、已知兩點求構成直角三角形的點

10.（24-25八年級上?海南?？?期末）在如圖的網(wǎng)格中，以力4為一邊畫Rt△月8C,則滿足條件的格點。共

有（）

B

A.7個B.6個C.5個D.4個

11.（24-25八年級上?山西太原?階段練習）在如圖的網(wǎng)格中，以力8為一邊畫Rt△43C,則滿足條件的格點

C共有（）

B

A.6個B.5個C.4個D.3個

12.（23-24八年級?廣西玉林?期末）如圖，在4x4方格中作以力〃為一邊的RtZXW要求點。也在格點上,

這樣的RtZ\/18C能作出（）

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的兩直角邊分別向外作正方形，重復這?過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似?棵樹而得

名.假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第

一個正方形面積為1,則第2025代勾股樹中所有正方形的面積為.

第一代勾股樹第二代勾股樹第三代勾股樹

19.（24-25八年級?河北張家口?期中）如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，主體圖案是由

如圖乙的一連串直角三角形演化而成，其中04=44=44=……=44=1，現(xiàn)把圖乙中的直角三角形繼

續(xù)作下去，若的值是整數(shù)，且iw〃w30,則符合條件的〃有個.

20.（24-25八年級?廣東珠海?期中）如圖，圖中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知

最大的正方形的邊長為6,則4B,C,D四個正方形的面積之和為.

題型六、勾股定理逆定理的有關計算與證明

21.（24-25八年級?福建莆田?期中）如圖，在四邊形48CQ中，Z5=90°,AB=3,8C=4,點。是RtZ\48C

外一點，連接CDAD,且。。=12,月。=13.求四邊形48C。的面積.

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22.（24-25八年級上?福建漳州?期中）如圖，四邊形48CO中，AB=2,8c=4,CZ）=4,AD=6,且

ABLBC.求證：ACLCD.

23.（24-25八年級?陜西安康?期末:如圖，在△川5c中，。是8C的中點，DE工BC,交AB于點E,且BE=13,

24.（24-25八年級?廣東梅州?階段練習）如圖，P是等邊三角形/8C內(nèi)一點，且4=6,PB=&PC=10,若

將&P/4C繞點彳逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△戶4?.求：

⑴P9的長度；

⑵/力24的度數(shù)

能力提升題

題型一、勾股定理逆定理的實際應用

25.（24-25八年級?江西贛州粉段練習）如圖，某小區(qū)的兩個噴泉45位于小路/1C的問側，兩個噴泉之

間的距離48=25m.要為噴泉鋪設供水管道4W,BM,供水點M在小路4。上，供水點M到48的距離

MM=12m,8"=15m.

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⑴求供水點M到噴泉力需要鋪設的管道長4W;

（2）求證：NRM1=9O。.

26.（24-25八年級?海南省直轄縣級單位?期中）如圖，某港IIO位于東西方向的海岸線上，"遠航"號、"海

天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，"遠航"號每小時航行16海里，“海天〃號每小時航行12

海里.

產(chǎn)北

戶E

圖1

（1）若它們離開港口2小時后分別位于小《處（圖1）,如果知道"遠航"號沿射線Q4方向航行，“海天”號沿

射線方向航行，則40=海里，80=海里；

⑵若它們離開港口1.5小時后分別位于/、4處（圖1）,且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，

能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

27.（24-25八年級上?貴州六盤水?期末）小明喜歡自制航天飛行模擬器.在某次制作模擬器前，對模擬器某

個部位所需要材料的形狀進行設計，根據(jù)實際需要，該材料的形狀設計為一個四邊形，其平面示意圖如圖

所示，其中8cm,CD=6cm,BC=24cm,AB=26cm,按要求完成下列問題.

⑴連接4C，并求力C的長；

（2）小明按照設計訂制了?塊這樣的四邊形金屬材料，為防止材料氧化，需對材料表面（四邊形力8C。）鍍

一層防氧化膜，請根據(jù)題中的信息，求出應鍍氧化膜的面積.

28.（24-25八年級?河北邢臺?期末）如圖，為居民飲水方便，某小區(qū)設立了兩個直飲水自動售賣機4B,

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且44均位于地下管道力C的同側，售賣機44之間的距離（/4）為500米，管道分叉口M與4之間

的距離為300米，工于點N,用到力8的距離（MN）為240米.假設所有管道的材質(zhì)相同.

⑴求8,N之間的距離；

⑵珍珍認為：從管道4。上的任意一處向售賣機8引出的分叉管道中，是這些分叉管道中最省材料的，

請通過計算判斷珍珍的觀點是否正確.

題型二、新定義材料探究問題

29.（24-25八年級?山西運城?階段練習）定義：在丫，〃。中，若叱-*/9-6,4?-5且-6,<:滿足40十〃2=〃2,

則稱這個三角形為“類勾股三角形".

請根據(jù)以上定義解決下列問題：

圖1圖2

⑴如圖1,若等腰三角形18c是“類勾股三角形"，AB=BC,AC>AB,求/C的度數(shù).

（2）如圖2,在V/18C中，AB=2ZJ,JSZ.ACB>Z.A,。是48上的點，連接CQ,滿足力。=。，過點。作

CE1AB,垂足為￡.求證：V/4c為“類勾股三角形〃.

30.（24-25八年級上?江蘇無錫?期中）定義：在V"C中，若BC=a,AC=b,=o,a",c滿足w+/〃

則稱這個三角形為〃類勾股三角形、請根據(jù)以上定義解決下列問題：

圖1圖2備用圖

⑴命題：“直角三角形都是類勾股三角形〃是（填“真〃或"假”）命題.

（2）如圖1所示、若等腰三角形48C是“類勾股三角形〃，其中<B=BC,AOAB,請求的度數(shù).

⑶如圖2所示，在V/1〃C中，=且NC>N4.請證明V為"類勾股三角形”.

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題型三、勾股數(shù)拓展問題

31.(24-25八年級上?江蘇無錫?期中)課堂上學習了勾股定理后知道：直角三角形三邊長是整數(shù)時我們稱之

為“勾股數(shù)”.王老師給出一組數(shù)讓學生觀察:345；542.13；7.24.25；9.40.41；L，學生發(fā)現(xiàn)這些勾股

數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學生解決.若兩直角邊為“b(a<b),

斜邊為c.

⑴請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一經(jīng)勾股數(shù)：11、_、_：

(2)當(〃為奇數(shù)，且〃23)時，若b=_,c=_時可以構造出勾股數(shù)(用含〃的代數(shù)式表示)，并證明你

的猜想；

⑶構造勾股數(shù)的方法很多，請你尋找當。=20時，c=_.

32.(22-23八年級上?江蘇揚州?期中)課堂上學習了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五〃.王老師給出一

組數(shù)讓學生觀察:345；5、12、13；7、24、25：9、40、41；…,學生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就

沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學生解決.

⑴請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、、;

⑵若第一個數(shù)用字母。(〃為奇數(shù)，且。之3)表示，那么后兩個數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小

明發(fā)現(xiàn)每組第二個數(shù)有這樣的規(guī)律：4=—,12=—,24=—......,則用含。的代數(shù)式表示每組第

222

二個數(shù)和第三個數(shù)分別為、：

⑶用所學知識加以說明.

33.(18-19八年級?山東濟寧?期末)【知識背景】

據(jù)我國古代《周概算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，瘠一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一

個直角三角形，如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括為“勾三、股四、弦五”.像3、4、5這樣

為三邊長能構成直角三角形的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

【應用舉例】

觀察3,4,5；5,12,13；7,24,25;...

可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，并且

勾為3時，股4=[(9-1),弦5=：(9+1)；

22

勾為5時，股12=1(25-1),弦13=1(25+1)；

22

請仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

(1)如果勾為7,則股24=弦2S=

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（2）如果勾用〃（〃23,且〃為奇數(shù)）表示時，請用含有〃的式子表示股和弦，則股=,弦=.

【解決問題】

觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…根據(jù)應用舉例獲得的經(jīng)驗進行填空：

（3）如果。力,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，〃=2〃？（機表示大于1的整數(shù)），則人=,c=,

這就是古希臘的哲學家柏拉圖提出的構造勾股數(shù)組的公式.

（4）請你利用柏拉圖公式，補全下面兩組勾股數(shù)（數(shù)據(jù)從小到大排列）第一組：、24、：第二

組：、、37.

題型四、勾股定理逆定理的擴展問題

34.（23-24八年級上?江蘇徐州?期中）在V/18C中，BC=a,AC=b,AB=c,設。為最長邊,當時,

V/18C是直角三角形；當/+〃工。2時，利用代數(shù)式/+〃和d的大小關系，探究V力8。的形狀（按角分

類）.

⑴當V48c三邊分別為6、8、9時，NABC為三角形；當V/4C三邊分別為6、8、11時，VABC

為三角形；

⑵猜想：當/+〃c?時，V48c為銳角三角形；當/時，V45c為鈍角三角形；

（填”>〃或"<〃或"="）

（3）判斷：當a=5,6=12時，

當V/18C為直角三角形時，則c的取值為；

當V/18C為銳角三角形時，則。的取值范圍:

當V48C為鈍角三角形時，則。的取值范圍.

35.（23-24八年級上?湖南長沙?期中）定義：a,b,c為正整數(shù)，若。2=/+/,則稱c為“完美勾股數(shù)〃，a,

6為。的“伴侶勾股數(shù)〃.如13:=52+12]，則13是“完美勾股數(shù)"，5,12是13的”伴侶勾股數(shù)

⑴數(shù)10"完美勾股數(shù)〃（填"是"或"不是"）；

⑵已知的三邊a,b,。滿足/+〃+°.2-60-汕一10'+50=0.求證：c是“完美勾股數(shù)

⑶已知"1,〃>0且〃[>〃，c=2m2+2mn+2ir,a=nr+4nui+n2>b=6（m+n）,。為“完美勾股數(shù)”，a,

b為C的“伴侶勾股數(shù)〃.多項式父-3/+P有一個因式x7〃+〃,求該多項式的另一個因式.

36.（20-21八年級上?江西吉安?期末）先觀察下列各組數(shù)，然后回答問題：

第一組：1,右，2；第二組：拉，2,后：

第三組：6M，x/8;第四組：2,在，回；

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（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含〃的代數(shù)式表示第〃組的三個數(shù)；

（2）如果各組數(shù)的三個數(shù)分別是三角形的三邊長，那么這個三知形是什么三角形？請說明理由；

（3）如圖，CB=3,=AC=n,若3,小，〃為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，且=90。,

AD=AC,求8。的長.

37.（24-25八年級?湖南懷化?期末）直角二角形的二邊為。-2力，%?十2A且〃、方都為正整數(shù)，則二角形

其中一邊長可能為（）

A.18B.19C.21D.22

117

38.（24-25八年級?湖南湘西?階段練習）在VZAC中，一+丁二一，則NC（）

abc

A.一定是銳角B.一定是直角C.一定是鈍角D,都有可能

39.（24-25八年級?山西呂梁?期末）如圖，V/8C中，AC:BC:AB=3:4.5,點。在8。上，點E為的

中點，AD,CE相交于點尸，且力。=08.若NB=35。,則/D氏石的度數(shù)是.

40.（24-25八年級?陜西西安?期中）如圖，點O是等邊V/AC內(nèi)一點，0.4-2,。。=2百，OC-4,則

SaABC.Sqoc的值為

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41.（24-25八年級?江西撫州?期末）定義：若過三角形一個頂點的線段，將這個三角形分為兩個三角形，其

中一個是直角三角形，另一個是等腰三角形，則稱這個三角形是等直三角形，這條線段叫做這個三角形的

等直分割線段.例如：如圖1,在V48c中，?:力。"L8C于。，且4。=QC,是等直三角形，AD是VABC

的一條等直分割線段.

⑴定義理解：直角三角形一定等直三角形（填“是"或“不是〃）；

（2）定義應用：如圖2,在V/出。中，/。=90。,/。是\「力4。的等直分割線段，AC=4,8C=8,求力。的長;

⑶應用提升：在V/4C中，初=2,/4=30。,力。是\『48。的等直分割線段，則AC的長可以為.

42.（24-25八年級?山東德州?期中）【閱讀思考】請閱讀下列材料，并完成相應的任務，如圖，點力（百,乂）,

點必），以外為斜邊作與坐標軸平行的線構成平△4BC,則C（S，M），力。=|再一司，8c二|%-必|,

所以月3=J（X「/）2+5-M）2，反之，可將代數(shù)式Ja-/y+（M-n）2的值看作點力（再，Y）到點趴/，%）

>

ox

【解決問題】

①己知4（0,3）,8（4,0）,則線段48=

②已知點爪-2,3），鳥（3,5）,在x軸上找一點?，使得+的值最小，請直接寫出這個最小值是

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【延伸應用】

①代數(shù)式J(x—1)2+(0一1『+J(x-2)2+(0-3『的最小值=

②己知4(1,2),C(5.0),判斷V48c的形狀，并說明理由.

【遷移拓展】已知點［(-2,3)，鳥(3,5),在x軸上找一點。，使得的值最大，請直接寫出這個最大

值是.

43.(24-25八年級?廣西來賓?期中)【綜合與實踐】

【問題探究】

(1)如圖1,〃力為四邊形48CQ的對角線，BD1CD,若48=8,AD=6,BC=5后,CD=5,試求四

邊形48CQ的面積；

【問題解決】

(2)如圖2.四邊形/AC。是某縣一座全民健身中心的平面示意圖，AC.AE.石夕為三條走廊(點K和

點廠分別在邊8c和43上)，40=60米，CQ=4E=40米，CE=20米，BE=30米，ACLCD.EFLAB.^.

E廠的長；

BEC

圖2

(3)隨著民眾健康意識的不斷增強，對■科學健身也有了更多的需求，為滿足民眾不斷增長的健身需求，該

縣計劃對這座全民健身中心進行重新規(guī)劃，在4B上取點“，并將△8E”區(qū)域修建為功能訓練區(qū)，根據(jù)設

計要求，△8E”應為等腰三角形，請你幫助設計人員計算出所有符合條件的力〃的長.

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3.2勾股定理的逆定理（題型專練）

題型一、勾股定理的逆定理

題型二、在網(wǎng)格中判斷直角三角形

基礎達標題型三、已知兩點求構成直角三角形的點

題型四、勾段數(shù)問題

題型五、勾股樹問題

題型六、勾殷定理逆定理的有關計算與證明

勾股定理的題型一、勾股定理逆定理的實際應用

題型二、新定義材料探究問題

逆定理能力提升

題型三、勾股數(shù)拓展問題

題型四、勾股定理逆定理的擴展問題

拓展培優(yōu)

基礎達標題

題型一、勾股定理的逆定理

1.（24-25八年級上?貴州六盤水?期末）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的一組數(shù)據(jù)是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

【答案】C

【分析】此題考查了勾股定理的逆定理，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理.如果一個三角形的三

邊滿足/+/=。2,那么這個三角形是直角三角形.

根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.如果一個三角形的三邊滿足"+〃=。2,那么這個三角形是直角三角形.

【詳解】解：A,12+22^32,所以1，2,3不能作為直角三角形的三邊，不符合題意；

B、2?+3?=4?,所以2,3,4不能作為直角三角形的三邊，不符合題意；

C、32+42=52,所以3,4,5能作為直角三角形的三邊，符合題意；

D、42+52^6\所以4,5,6不能作為直角三角形的三邊，不符合題意：

故選：C.

2.（24-2S八年級上福建漳州?期中）三角形各邊長度的如下，其中不是直角三角形的是（）

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A.3,4,5B.7,24,25C.15,8,17D.5,lb13

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個選項中的條件能否構成直角

三角形，從而求解即可，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

【詳解】解：A>V32+42=5\

???能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

B,V72+242=252，

???能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

C.V82+152=172,

，能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

D>V52+ll2*132,

???不能組成直角二角形，故此選項符合題意；

故選：D.

3.（24-25八年級上?江西吉安?期末）在V46C中，/4，/B,NC的對邊分別記為4,b,c,下列條件不

能夠判定V/出。為直角三角形的是（）

222

A.NA=NB+NCB.a=c-b

C.。=1,6=2，c=￡D.a:b:c=S：2:后

【答案】D

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和，勾股定理逆定理，能夠熟練掌握勾股定理是解決本題的關鍵.根據(jù)三

角形的內(nèi)角和等于180。，各個角之間的數(shù)量關系，根據(jù)邊之間的等量關系，結合勾股定理逆定理來判斷各

個選項是否符合題意.

【詳解】解：A./=N4+/C,ZJ+Z5+ZC=180°,

.\Z4=90°,

，能判定V48c為直角三角形；

B.Va2=c2-b2,

?,*a2+b2=c2

，能判定V48C為直角三角形：

a2+C1-b1?

15/57

，能判定v48C為直角三角形；

D.V22+（^）2#（^）2,

a2+b2HC：

，不能判定V"C為直角三角形.

故選：D.

4.（18-19八年級?山東濟寧?期中）已知三角形三邊長分別為1,3,屈，則這個三角形的面積為

【答案】|/1.5

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的面積，能求出三角形是直角三角形是解此題的關鍵.

根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的面積公式求出面積即可.

【詳解】解：???I2+32=IO,（Vio）2=io,

Al2+32=（7io）2,

???以1,3,屈,為三角形三邊的三角形是直角三角形，

???這個三角形的面枳為!xlx3=2

22

3

故答案為：—.

2

5.（22-23八年級上?貴州畢節(jié)?期中）已知a,b,c滿足一行）'+小力+|c—?|=0.

⑴求4,b,c的值.

（2）試問以mb,。的長度能否構成一個直角三角形？若能，求三角形的面積；若不能，請說明理由.

【答案】⑴a=\[1，b=\,c=石；

（2）能，面積為孝

【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，二次根式的加法，解題的關鍵是掌握絕對值、偶次

幫、算術平方根都具有非負性.

（1）根據(jù)偶次方，算術平方根以及絕對值的非負性進行求解即可；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷，并計算面積即可.

【詳解】（1）解：???（。一及『+%]+,一百=0，

K（t?-x/2）">0,,c-\/3|>0,

16/57

—V2j=0,\]b—1=0，|c——0,

??4=^2，b=1,c=^3:

（2）解：+/=3=（6j,

即/+下=。2,

故以“，b,。為三邊的三角形是直角三角形；

則三角形的面積為：1x72x1=^-.

22

題型二、在網(wǎng)格中判斷直角三角形

6.（24-25八年級上?四川樂山?期末）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,且點人B、C均為格點.

⑴求V/8C的面積；

（2）猜想V48c的形狀，并說明理由.

【答案】⑴5

（2）V48C是直角三角形，理由見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的應用以及求三角形的面積，掌握勾股定理及勾股定理

的逆定理是解題的關鍵.

（1）V48C的面積由正方形面積減去三個直角三角形面積，求出即可；

（2）利用勾股定理求出V45c的三邊長，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；

【詳解】（1）<5A.<flr=4x4-—x4x2--x2xl--x3x4,

=16—4—1—6，

=5.

（2）V/18C是直角三角形，理由如下：

由圖知，AC=A/42+2"=2^5,BC=5/2?+f=亞,AB=>/3'+4?=5?

vJC2+BC2=（2>/5）2+（V5）=25,AB2=25,

17/57

AC2BC1=AB2，

.?.△48C是直角三角形.

7.（2024八年級上?全國?專題練習）如圖，每個小正方形的邊長都為1.

R_

⑴求四邊形力8c。的面積；

⑵/8CO是直角嗎？為什么？

【答案】⑴22.5

⑵是直角，見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，求網(wǎng)格中圖形的面積，

對于（1）,根據(jù)正方形的面積減去四個三角形和一個正方形的面積可解；

對于（2）,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】（1）解：四邊形/3CQ的面積=6X6-'X2X6-LX1X6-11x3-1-‘1x4=22.5；

2222

（2）解:NBCD是直角,理由加卜.：

如圖，連接8。，

根據(jù)勾股定理，得8c2=2?+6?=40,CZ）2=l2+32=10，5Z>2=52+52=50，

BC2+CD2=BD2,

??.△BCO是直角三角形，

即NBCD是直角.

18/57

8.（24-25八年級上?河北保定?期末）如圖，在3x3網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,V48c的頂點均在

網(wǎng)格的格點（網(wǎng)格線的交點）上.

（1）填空：AC=,AB=，BC=：

（2）丫48。是直角三角形嗎？請作出判斷，并說明理由.

【答案】（1）0，2及，710

（2）V48C是直角三角形，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵.

（1）利用勾股定理計算即可；

（2）利用勾股定理的逆定理判斷即可;

【詳解】⑴解：由網(wǎng)格得,"=4+f=6，AB=>l22+22=2y[2?BC=J/+3?=反.

故答案為：舊2五，V10:

（2）解:V/3C是直角三角形.理由加卜.：

VAC2+AB-=（N/2）：+（2>/2）：=10,i5C2=（V10）2=10,

AC1+AB2=BC\

???V48c是直角三角形.

9.（24-25八年級上?江蘇無錫?期中）如圖所示，在每個邊長都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點力、8、P

均為網(wǎng)格的格點.

⑴線段4?的長度等于

19/57

(2)以點力、B、P為頂點的△48。面積為:

⑶僅用無刻度直尺在線段AB上作一個點。，使得點。滿足NPQ1=45。.

【答案】(1)后

(2)1

⑶見解析

【分析】本虺主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，網(wǎng)格中求三角形面積，熟

知勾股定理是解題的關鍵.

(1)利用勾股定理求解即可；

(2)利用割補法求解即可：

(3)取格點C、D,連接尸。交力8于。，點。即為所求.

【詳解】(1)解：由網(wǎng)格的特點和勾股定理可得48二爐*=J萬；

(2)解:5A/MP=4x2-1xlx4-jxlxl-l-x2x3=^-；

(3)解：如圖所示，取格點。、D,連接尸。交48于。，點。即為所求；

可證明是等腰直角三角形，則/胡C=45。，

可證明PQ_L4C,則可證明/P。/=45。.

題型三、已知兩點求構成直角三角形的點

10.(24-25八年級上?海南?？?期末)在如圖的網(wǎng)格中，以力〃為一-邊畫RtA48C,則滿足條件的格點C共

有()

20/57

B

A.7個B.6個C.5個D.4個

【答案】B

【分析】此題考查了勾股定理以及逆定理，解題的關鍵是掌握以上知識點.

根據(jù)勾股定理以及逆定理和網(wǎng)格的特點求解即可.

【詳解】如圖所示，

當力8是斜邊時，由網(wǎng)格可得，NACB=/ADB=90°,

:.AB2=AC2+BC2=\2+32=10

VAE2+BE2=\2+22+\2+22=\0=AB2

：.2AEB=90°

?.*AH2+BH2=12+i2+22+22=10=AB2

，/AHB=90°

???第三個頂點所在的位置有：C、。、E、〃四個；

當48是直角邊，/是直角頂點時，

丁AB2+AF2=10+\0=20=8^2=22+42

，乙修8=90。；

???第三個頂點可以是產(chǎn)點；

當48是直角邊，8是直角頂點時，

,/JZ?2+Z?G2-10+10-20-JG2-22+42

21/57

/./ABG=90°；

工第三個頂點可以是G.

工共有6個滿足條件的頂點.

故透:B.

11.（24-25八年級上?山西太原?階段練習）在如圖的網(wǎng)格中，以*4為一邊畫Rt△44C,則滿足條件的格點

C共有（）

B

A.6個B.5個C.4個D.3個

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)網(wǎng)格的特點，分48為斜邊，以及48分別為直角頂點,

分類討論，即可求解.

【詳解】解：當/8是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、。、E、，四個；

當44是直角邊，4是直角頂點時，第三個頂點是E點：

當43是直角邊，8是直角頂點時，第三個頂點是G.

因而共有6個滿足條件的頂點.

故選：A.

12.（23-24八年級?廣西玉根期末）如圖，在4x4方格中作以4E為一邊的Rt△月8C,要求點C也在格點上,

這樣的能作出（）

22/57

A.2個B.4個C.6個D.7個

【答案】C

【分析】此題主要考杳了勾股定理逆定理，正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關鍵，當48

是斜邊時有四個，當AB是直角邊時有2個RtA.

【詳解】解：當力〃是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、DE、〃四個；

CaB

????D?

?tilt

?

H\\E1G：

????

?'>p?

?

當48是直角邊，力是直角頂點時，第三個頂點是少點；

當48是直角邊，4是直角頂點時，第三個頂點是G.

因而共有6個滿足條件的頂點.

故選C.

13.(22-23八年級?浙江臺州?期中)在如圖所示的5x5的方格圖中，點4和點8均為圖中格點.點。也在

格點上，滿足V/8C為以46為斜邊的直角三角形.這樣的點。有()

B

二n

1,,,,

r;]:…丁]

111111

111111

111111

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】結合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對應點即可.

23/57

【詳解】解：如圖，滿足條件的點C共有4個,

故選D.

C：C：

【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關鍵.

題型四、勾股數(shù)問題

14.（24-25八年級?河南安陽?階段練習）勾股數(shù)，又名畢達哥拉斯三元數(shù)，是指可以構成?個直角三角形三

邊的一組正整數(shù).下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3D.4,5,國

C.7,24,25D.0.6,0.8,0.9

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義（三個正整數(shù)且滿足兩數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平

方），逐一驗證各選項即可.

【詳解】解：A1,2,3：均為正整數(shù)，但最大數(shù)3的平方為9,而產(chǎn)+22=|+4=5/9,不滿足勾股定理.

B.4,5,屈:而不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)必須為整數(shù)的條件.

C.7,24,25：均為正整數(shù).驗證平方和：7?+242=49+576=625,25—625,滿足勾股定理.

D.0.6,0.8,0.9：均為小數(shù)而非正整數(shù)，直接排除.

故選：C

15.（24-25八年級?湖南邵陽?期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學

著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，不用于“勾股數(shù)”的是（）

A.3,4,5B.5,7,9C.8,15,17D.7,24,25

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理，熟記勾股定理的公式是解題的關鍵.

根據(jù)勾股數(shù)的定義，即三個正整數(shù)滿足/+從=。2（其中。為最大數(shù)），逐一驗證各選項即可.

【詳解】解：A：3?+42=9+16=25=52,滿足勾股數(shù)條件，故該選項不符合題意：

B：5,72=25+49=74,而9?=gl，74工81,不滿足勾股數(shù)條件，故該選項符合題意；

24/57

c：82+152=64+225=289=172,滿足勾股數(shù)條件，故該選項不符合題意；

222

D：7+24=49+576=625=25;滿足勾股數(shù)條件，故該選項不符合題意.

故選:B.

16.（24-25八年級?江西新余?期末）把能夠圍成直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).下列不是勾

股數(shù)的是（）

A.6,8,10B.8,15,17C.5,12,13D.13,14,15

【答案】D

【分析】本題考查了勾股數(shù).對于三個正整數(shù)，先找出最大的數(shù)，若較小的兩個數(shù)的平方和等于最大的數(shù)

的平方，則這組數(shù)為“勾股數(shù)"，計算即可.

【詳解】解：,??62+82=102,??.6,8,10是“勾股數(shù)〃，，選項A不符合題意：

???a+52=172,??,8,15,17是"勾股數(shù)"，，選項B不符合題意；

V52+122=132，A5,12,13是“勾股數(shù)%???選項C不符合題意;

,??熾+⑷=3，???13,14,15不是“勾股數(shù)”，，選項D符合題意;

故選：D.

17.（24-25八年級?福建廈門?期中）滿足的三個正整數(shù)a,b,。稱為一組勾股數(shù)，如3,4,5,

就是一組勾股數(shù).請你再寫出一組勾股數(shù).

【答案】6,8,10（答案不唯一）

【分析】本題考查勾股數(shù)問題.根據(jù)題意寫出符合/+/=/的式子即可.

【詳解】解：???6?+8?=102,

，勾股數(shù)可以是：6,8,10（答案不唯一），

故答案為：6,8,10（答案不唯一）.

題型五、勾股樹問題

18.（24-25八年級?四川廣元?期中）“勾股樹〃是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形

的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得

名.假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第

一個正方形面積為1,則第2025代勾股樹中所有正方形的面積為.

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第一代勾股樹第二代勾股樹第三代勾股樹

【答案】2026

【分析】本題主要考查勾股定理，由題目條件和所畫出來的圖形正確找出規(guī)律是解題的關鍵.分別計算出

第一，第二，第三代勾股樹中所有正方形的面積，得出第〃代勾股樹中所有正方形的面積為〃+1進行分析計

算.

【詳解】解：由題意可知，第一代勾股樹中所有正方形的面積為1+1=2；

第二代勾股樹中所有正方形的面積為1+1+1=3;

第三代勾股樹中所有正方形的面積為1+1+1+1=4.......

則第〃代勾股樹中所有正方形的面積為〃+1,

???第2025代勾股樹中所有正方形的面積為2025+1=2026.

故答案為:2026.

19.(24-25八年級?河北張家口?期中)如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會(ICME)的會徽，主體圖案是由

如圖乙的一連串直角三角形演化而成，其中……=44=1，現(xiàn)把圖乙中的直角三角形繼

續(xù)作下去，若W4的值是整數(shù)，且1OW30,則符合條件的〃有個.

【分析】本題考查了勾股定理的應用；探索圖形規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵.

利用勾股定理可求出，得到OA?=G,即可得到0404二百/，再根據(jù)是整數(shù)及

1</?<30,由此可求出〃的值的人數(shù).

【詳解】解：由題意得

。4=4+]2=及:

26/57

OAI=啦）+r=&+1=樞；

=j3+『

=xjn;

Vl</?<30,

???。4的值是整數(shù)，

???。4的值可以是石，2石，3石，是整數(shù)的有3個.

故答案為：3.

20.（24-25八年級?廣東珠海?期中）如圖，圖中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知

最大的正方形的邊長為6,則4B,C,D四個正方形的面積之和為.

【答案】36

【分析】本題考查了以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，設4優(yōu)。,。四個正方形的面積分別為:

2

S、C，由圖可知：51+52+53+54=6=36,即可求解；

【詳解】解：設4SC,0四個正方形的面積分別為：S,,S2,S3,54,