第二章有理數(shù)的運算

學校:姓名：班級：考號:

一、解答題

1.利用運算律計算有時可以更簡便.

例1：-2+5-6+17=-2-6+5+17=-8+22=14；

例2：99x99=99x(100-1)=9900-99=9801.

請你參考示例，用運算律簡便計算.

(1)-2-+5-2-；

4,234567

2.計算：1H-1—~~7+-—rH--T

33233343536

3.閱讀與思考:觀察下列式子:w111

3^4-3-4

(1)(探索規(guī)律)用正整數(shù)〃表示上述式子的規(guī)律是;

(2)(問題解決)容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出g升水，第二次倒出的

水量是g升的;，第三次倒出的水量是g升的;，第四次倒出的水量是;升的巳，……，第

〃次倒出的水量是‘升水的二；.按照這種倒水方式，這1升水能否倒完？說明理由；

nn+1

1111

(3)(拓展探究)化簡：x(x+2)+(x+2)(x+4)+(x+4)(x+6)+......+(x+2022)(%+2024)'

11111

4.計算:-+-+—++-+一

579911

5.數(shù)學興趣小組在計算15x15,25x25,36x34等兩位數(shù)乘法時發(fā)現(xiàn)，當十位上的數(shù)字相

同、個位上的數(shù)字之和為10的兩個兩位數(shù)相乘時可以用圖形面積來分解計算：

10

試卷第2頁，共18頁

由圖可得15x15=10x20+5x5=225；

20

由圖可得36x34=30x40+6x4=1224.

(1)請你幫助數(shù)學興趣小組畫出計算62x68的面積分解圖并計算；

(2)設(shè)這兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字為。，個位數(shù)字分別為6,。，請用含a,b,c的代數(shù)式表示出你

發(fā)現(xiàn)的計算規(guī)律，并證明.

二、單選題

6.為了求1+2+2?+23++2?°的值，可令5=1+2+22+23+L+2?°,貝?。?/p>

232O2I

2S=2+2+2++22、因此2S-S=22i-1所以1+2+2?+23++2=2-B仿照以上

推理，計算1+5+52+53++52025=（）

A.52025-1B.52024-1C.^-（52026-1）D.^-（52025-1）

7.如圖是李明在學校數(shù)學推理社團課的部分筆記，請根據(jù)筆記推理過程計算:

l+3+32+33++32024()

求1+2+2之+23+的值

解：令S=l+2+2?+23++22024,

貝I」2s=2+2?+23++22025

故25-5=22*1,

因止匕1+2+2?+23+—+22°24=22°25—1

三、填空題

Ix2x3+2x4x6+3x6x9++99x198x297+100x200x300

8.計算:

3x4x5+6x8x10+9x12x15+~~+297x396x495+300x400x500

四、解答題

9.計算:

⑵1-m*(-3可

⑶T4+；x12x(-6)一(一4)1

3

⑷(-2)，+30+(-5)-卜3|

10.計算:

試卷第4頁，共18頁

312311

(1)(-2-)+(--)+(-3-)+(+2-)+(-1-)+1-

(5)-47.65x2—+37.15x2—+10.5x(-7—)

111111

1

(6)------1--------1--------+

1x44x77x102008x2011

11.計算:

1?324

(l)l-xl2一一1.25X—+2+—

4555

小、71321553

(2)—+一+---+----

61220552

(3)2024x2023-2023x2024

(4)1---------------------------------------------

1+21+2+31+2+3…+50

12.計算:

1?22

(1)(7--5j)+(-7.5)-(+2-)-(-1—)；

⑵4x1-3%3x(-3%6x3?.

13.觀察下列等式.

第1個等式：1x3+1=20第2個等式：2x4+1=32；

第3個等式：3X5+1=42;第4個等式：4x6+1=50

根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題:

⑴寫出第5個等式：；

⑵請寫出第〃個等式：;（（用含〃的式子表示，〃為正整數(shù)）

⑶計算：￥i+^—V-fi+—1-].

（9x11乂10x12）\98x100）

14.《莊子?天下》：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭.”意思是說：一尺長的木棍，每天截

掉一半，永遠也截不完.我國智慧的古代人在兩千多年前就有了數(shù)學極限思想，今天我們運

試卷第6頁，共18頁

⑴如圖I所示的是邊長為I的正方形，將它剪掉一半，則S陰影1=1如圖2,在圖1

的基礎(chǔ)上，將陰影部分再裁剪掉一半，則S陰影2=1-;-

同種操作,如圖3,s陰影=——；

若同種地操作n次，貝IJS■陰影“

于是歸納得到：1+QJ+QJ++出”=

(2)閱讀材料:求1+2+2?+23+24+...+2如5+2236的值.

解：設(shè)5=1+2+22+23+24+...+2刈5+2286①，

將①義2得：2s=2+2?+23+24+...+22016+22017②，

由②-①得：2S-S=22017-l,BPS=22017-l.

BPl+2+22+23+24+...+22015+22016

根據(jù)上述材料，試求出g++］（：+的表達式，寫出推導過程

15.觀察下列各式:

(x-l)(x2+x+l)=x3-1；

(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-1；

(x-l)^x4+x3+%2+%+1)=%5一1；

⑴猜想：(X-1)卜"+x"1+x"2+.+%2+%+])=_；

(2)利用(1)中的猜想計算：25+24+23+22+2+1=

(3)計算3100+3"+398++352+351+350;

(4)若%3+%2+J+1=0,求九2025的值.

16.觀察下列等式：=，把以上三個等式兩邊分別相加,

1x22x33x412)(23J(34144

1

⑴猜想：麗石r」

(2)規(guī)律應用：計算—I----1-----1------1------1-----；

2612203042

1111

(3)拓展提高：計算---------1--------F■■■+

2^44x66x82022x2024

試卷第8頁，共18頁

17.閱讀材料：如果有一列數(shù)，從這列數(shù)的第2個數(shù)開始，每一個數(shù)與它的前一個數(shù)的比等

于同一個非零的常數(shù)，這樣的一列數(shù)就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常

用字母q表示（4WO）.

111

⑴觀察一個等比數(shù)列1，―,它的公比疔;若為（〃為正整數(shù)）表示

這個等比數(shù)列的第n項,則an=；

⑵欲求1+2+2?+23+24++23°的值，可以按照如下步驟進行：

4S=l+2+22+23+24++230@,

等式兩邊都乘2,得2s=2+22+23+2"+25++2及②，

由②-①，得2S-S=23，，

S=231-l,BPl+2+22+23+24++2?°的值為23^-1.

請根據(jù)以上解答過程，計算：1+3+32+3'++32025.

18.在一次綜合實踐活動課上，張老師給每位同學各發(fā)了一張正方形紙片，請同學們思考如

何通過折紙的方法求出:+：+：+...+占的值.

2482

【操作探究】“乘風”小組的同學經(jīng)過一番思考和討論交流后，進行了如下操作：如圖1,將

一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，第①部分是邊長為1的正方形紙片面積的一半,

第②部分是第①部分面積的一半，第③部分是第②部分面積的一半，…，依次類推，則圖1

中空白部分的面積為1+J+J+…+J.

24826

“破浪”小組是這樣思考的：設(shè)S二+<+：+...+!

24o2

將等式兩邊同時乘以;得：：s=；+，+…+<_+*，

/2.4o，，

將上式減去下式得;s=U，即s=i-1=色，gp-+-+-+...+4=—.

26642482664

圖1圖2

【過程思考】

(1)圖1中陰影部分的面積是一，:+；+：+

248Z

(2)請你利用圖2,再設(shè)計能求:+：+:+…+!的值的幾何圖形.(只畫出圖形即可)

2482°

(3)根據(jù)以上規(guī)律，

①〈+:+:+.(〃為正整數(shù))

24o2

②2+4+8+16+...+2"=_.(〃為正整數(shù))

19.觀察并驗證下列等式:

13+23=(1+2)2=9,

試卷第10頁，共18頁

13+23+33=(1+2+3)2=36,

l3+23+33+43=（l+2+3+4）2=100,

⑴續(xù)寫等式：13+23+33+43+53=；（寫出最后結(jié)果）

⑵我們已經(jīng)知道1+2+3+…+〃=g〃5+l）,根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論:

l3+23+33+---+（n-l）3+n3=；（結(jié)果用因式乘積表示）

（3）利用（2）中得到的結(jié)論計算：

33+63+93+---+573+603;

20.探尋規(guī)律：

（1）直接寫出右邊各數(shù)的值：152,352,452；

提煉規(guī)律：

（2）若用茄且。為整數(shù)）表示以上各平方數(shù)的底數(shù)的一般形式，請你觀察上述

各數(shù)的運算結(jié)果，猜測后2的運算結(jié)果，并證明你的結(jié)論；

應用規(guī)律：

（3）計算7S+8.52+9勺的值.

21.觀察下列各式：

l3=l=lxl2x22；13+23=9=-X22X32；13+23+33=36=-X32X42；

444

13+23+33+43=100=-X42X52；...

4

回答下面的問題：

(l)Ml3+23+33+---+(n-l)3+n3=；

(2)利用你得到的(1)中的結(jié)論，計算F+23+33+…+993+10()3的值;

22.下面是小明與小亮同學探究用不同方法簡便計算“102x98”的討論片段，請仔細閱讀,

并解決相關(guān)問題.

小明：102x98=(100+2)x98=100x98+2x98=9800+196=9996.

小亮：我認為小明的計算方法比直接計算簡便，但計算量還是有些大，我采用的方法是

102X98=(100+2)X(100-2)=1002-22=10000-4=9996.

(1)小明進行簡便計算的原理為乘法分配律：a(b+c)=.

小亮進行簡便計算的原理為乘法公式：.

(2)選擇一種簡便計算的方法，完成下列計算：

①29義31；②20252-2024x2026.

試卷第12頁，共18頁

23.觀察下列等式」7=1-＜，7^二=:-1，=U,將以上三個等式兩邊分別相加得:

1x222x3233x434

1111111113

1x22x33x4—22334—4-4,

1

⑴猜想并寫出：而可=-----------;

(2)直接寫出下列各式的計算結(jié)果:

(T)---1----1----FH----------

1x22x33x42222x2223

_1111

，義22x33x4nx(n+l)-----------；

—+1

(3)探究并計算:

2x44x66x82022x2024

24.【閱讀理解】

在數(shù)學學習中，我們常常借助由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格來解決問題，并把由格點(小

正方形的頂點)組成的正方形稱為格點正方形.圖①是由四個邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)

格，容易發(fā)現(xiàn)格點正方形A3CD的面積為2,則這個格點正方形的邊長為④.

【問題解決】

(1)圖②是由9個小正方形網(wǎng)格組成的圖形，那么格點正方形EFG"的邊團=

⑵在由16個小正方形網(wǎng)格組成的圖③中，畫出邊長為血的格點正方形.

(3)若。是5+&的小數(shù)部分，b是5-&的小數(shù)部分，求(“+b)M4的值.

25.將一張等邊三角形紙片分成四個大小、形狀一樣的等邊三角形(如圖所示)，記為第1

次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法分成四部分，記為第2次操作.若

每次都把右下角的等邊三角形按此方法分成四部分，如此循環(huán)進行下去.

(1)若操作4次，則總共能得到個等邊三角形.

(2)若原等邊三角形的邊長為1,設(shè)表示第〃次操作得到的最小的等邊三角形的邊長，如

①義=(用含〃的式子表示);

②計算+4++…+4,=，

試卷第14頁，共18頁

（3）運用（2）的結(jié)論,計算:+：+上+]+占_+』'+^|7+占？的值，

4o1o3，04\,2AJ31，

26.閱讀與思考：請閱讀下列材料，并完成下列問題.

【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一般形式可以寫成：

弓,的,生，…，。”，一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一

個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用4表示.如:

數(shù)列1,2,4,8,為等比數(shù)列，其中q=1,%=2,公比為g=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

（1）等比數(shù)列3,9,27,…的公比4為,第5項是.

【公式推導】

如果一個數(shù)列%,%，%，…，為，…，是等比數(shù)列，且公比為4,那么根據(jù)定義可得到：

0!-w

°2—_q,—qn,—q,…,—y-

3

所以出=4,4,%=a。,4=a、q-q=-q",a4=a3-q=a2?q~=^?q,...

（2）由此，請你填空完成等比數(shù)列的通項公式：%=今

【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復雜，但是其推導過程一錯位相減法，構(gòu)思精巧、形

式奇特.下面是小明為了計算1+2+22+…+22。"+22。2。的值，采用的方法:

設(shè)S=1+2+2?+…+2239+22。2。①,

貝IJ2s=2+22+…+2202。+2?°2i②，

②一①得2S—S=S=22021-1,

S=1+2+2?+...+22019+22020=22021-1.

【解決問題】(3)請仿照小明的方法求3+3?+33+…+3皿5的值.

27.觀察下列各式：

①(9x9+19=10；②,99x99+199=100=1()2；(§)7999x999+1999=1000=103；....

(1)根據(jù)上列式子的規(guī)律，直接寫出)9999x9999+19999=_；

⑵①根據(jù)上列式子的規(guī)律，直接寫出9x999+1999=_.

V〃個9〃個9〃個9

②小明同學將999寫成io-，將1999寫成2xio“-i,進而驗證了①中規(guī)律的正確

〃個9〃個9

性.請你根據(jù)小明同學的思路，證明①中你寫出的結(jié)果.

28.觀察下列各式：

1^11111_11L

5，2^3~2屋3^4-3“

(1)根據(jù)以上式子的特點完成下列各題：

11

①一=___________；②布7不=___________"是正整數(shù)).

8x9n\n-\)

試卷第16頁，共18頁

1111

(2)計算:-----1-------1-------1------

1x22x33x44x5

(3)探究并計算:

111

------1-------1-------FH--------------

2x44x66x82014x2016

29.計算

(1)----1—;-----1-----FLH----；=

22-142-162-1502-1

(2)是否存在一個實數(shù)使以下式子恒成立:

<M

ET百耳+及石+LL+而而T

30.對于含絕對值的算式，在有些情況下，可以不需要計算出結(jié)果也能將絕對值符號去掉,

11

例如：|9-8|=9-8；|8-9|=9-8；---=~^~g

9-88-9

觀察上述式子的特征，解答下列問題：

⑴把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式(不用寫出計算結(jié)果)：①|(zhì)35-84|=_；

1111

1416

(2)當時，|［一可=_;當avb時，|〃一。|=_.

1_111111______1

(3)計算:+------+--+----+

3~243542025-2024

試卷第18頁，共18頁

《第二章有理數(shù)的運算》參考答案

題號67

答案CA

1.(1)0

(2)2

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的簡便運算，靈活運用加法運算律和乘法運算律成為解題的

關(guān)鍵.

(1)直接運用有理數(shù)的加法結(jié)合律進行簡便運算即可;

(2)運用加法交換律和乘法結(jié)合律進行簡便運算即可.

Ju-2

【詳解】(1)解:-2-+5-2-

33

J-20

=—2—2—F5

33

=0.

221S

(2)解：-4x—+6xy+-x(-4)+yx6

=-8x—+(-4)x—+2x—+5x—

3v7377

=(-8-4)x|+(2+5)xy

=Y+6

=2.

2

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，設(shè)；

s=i++[+a+*+,，則

，，據(jù)止匕可求出，：+，一：，

3s=3+2++[+[++(,2s=4+:+:++進一步可

2222214141

^45=8+1+_+__+_+____,則可證明4s=9一3一于，據(jù)此求解即可.

【詳解】解:設(shè)5=1+|+?4+1+：,

3s=3+2-1--H--H--H--H--,

3132333435

???3S-S

234567

=3+2+

答案第1頁，共27頁

/3-24-35-46-57-67

=4+-----+—+—^-+—：—+—1

332333435

111117

=4H------1——H——H——H—........-

33233343536

.111117

??2s=4-I-----1—3~\—z-H—j—三-------z，

33233343536

222214

45=8+-+------1-------1--------1--------------

33233343536

?lc2222r214

??4sH—=8-I-----1—z-H—z-H-7+-T—T

353323334(3535J￥

=8+g222314

-77H-rH—7+

3233343536

_2222114

一十寸丞+m+至+下一至

_222314

一?+手+下一下

=8+尹￡14

3一至

141

.?.4s=9—--

36￥

?C_1636

.?3—.

729

111

3.(I)-7----7\=--------------

+〃n—1

(2)不能倒完，理由見解析；

1012

G)X(X+2024)

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，分式的化簡，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

(1)觀察所給式子，即可得到規(guī)律;

(2)根據(jù)(1)所得規(guī)律，計算第〃次倒出后剩余的水量，即可得到答案;

根據(jù)只可121

(3)將式子分解，再計算即可.

2Xx+2

答案第2頁，共27頁

【詳解】(1)解：觀察所給式子可知，等號左邊為分數(shù)，分子是1,分母為相鄰兩個整相鄰

數(shù)的積，等號右邊為相同的相鄰整式的倒數(shù)的差，

111

則用正整數(shù)〃表示上述式子的規(guī)律是不二=二——r

nin+i]nn—Y

111

故答案為：而可=

(2)解：不能倒完，理由如下：

第〃次倒出后剩余的水量為

1111111

1-—H--X—+—x—-1x----

2233445n〃+1)

即這1升水不能倒完;

(3)解:

x(x+2)x+2)

[]]________1________

x(x+2)(x+2)(x+4)(x+4)(x+6)(x+2022)(x+2024)

2\xx+2)21x+-2-x+4-)-2(%-+4-x+M6J+……-2(4x—+20.22.x+2—024J

2\xx+2x+2x+4x+4x+6x+2022x+2024)

10___

2U尤+2024J

\_2024

2,1(1+2024)

1012

x(x+2024)

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，整式的混合運算，假設(shè)

A=:+；+：+l，2=；+：+｛，則原式+-+然后消去AB,再計算

J/3*.L.L/2*A-L\A?_//\AJ/

即可.

答案第3頁，共27頁

【詳解】解：假設(shè)4=：+；+：+\,8=；+：+5，

原式=心+4>1+部

=AB+-A-AB--B

1313

4(一)

11

二——X—

135

J_

-65

5.⑴見解析,4216

(^)(10a+b)(10a+c)=10a」0(a+l)+6c,見解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，多項式乘以多項式的幾何應用，掌握知識點的應用是解

題的關(guān)鍵.

(1)仿照例題即可求解；

(2)根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，

由圖可得62x68=60x70+2x8=4216；

（2）解：（10a+Z?）（10a+c）=10a/0（a+l）+Z?c,

證明：左邊二100a2+10〃僅+c）+Z?c=100a2+1。0〃+Z?c,

右邊=10a,10（a+l）+bc=100〃2+100a+bcf

左邊=右邊，

???該等式成立.

6.C

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，讀懂題目信息,理解求和的運算方法是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)題目信息，設(shè)5=1+5+52+53++5如+52025,求出5S,然后錯位相減計算即可

答案第4頁，共27頁

得解.

23202420252026

【詳解】解：^S=l+5+5+5+.+5+5,則5s=5+52+53+5"+5,

;.5S-5=52*1,

,20261

4

l+5+52+53++52025=^(52026-l),

故選：C.

7.A

【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律類探索，含乘方的有理數(shù)的混合運算，設(shè)

S=l+3+32+33+,+32°〃①，貝13s=3+32+33+34+.+32025@,用②-①即可求解，掌握

相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，

設(shè)5=1+3+32+33++32°”①，

A3S=3+32+33+34+.+32025②，

②-①得：2S=32025-l,

,_32025-l

??kvJ—,

2

故選：A.

8.—

10

【分析】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律及有理數(shù)的混合運算，能找出分子及分母的公因數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

將分子和分母分別提取1x2x3和3x4x5,再進行計算即可.

■、辛々刀Y々刀HPj/rr,1x2x3x1+1x2x3x2^+1x2x3x3^+…+1x2x3x1OCP

［詳解］解：由題知，原式二-------------------.----------------------------

3x4x5xl+3x4x5x23+3x4x5x33+.?.+3x4x5x100?

1X2X3X(1+23+33++1003)

-3X4X5X(1+23+33++1003)

_1x2x3

-3x4x5

1

-10,

故答案為：—.

9.⑴T

答案第5頁，共27頁

(2)-7

(3)-8

⑷-3

【分析】本題考查的是求一個數(shù)的絕對值，加法的運算律，乘法的運算律，含乘方的有理數(shù)

的混合運算，掌握有理數(shù)加減乘除，乘方運算的運算法則與運算順序是解題的關(guān)鍵.

(1)利用加法的運算律，把分母相同的兩個數(shù)先加，從而可得答案；

⑵利用乘法的分配律把原式化為：11X(-356)-1X(-36)+15X(-36)7-x(-36),再計算乘

法，最后計算加減運算即可；

(3)先計算括號內(nèi)的運算，同步計算乘方運算，再計算乘法運算，最后計算加減運算即可；

(4)先計算乘方運算，同步計算除法與絕對值，再計算乘法運算，最后計算加減運算即可.

4

【詳解】⑴解:-1-

=-7+3

⑵解：]一?￡卜(一36)

1557

=5X(-36)--X(-36)+-x(-36)--X(-36)

=—18+20—30+21

=-7；

42

(3)解:-1+1X[2X(-6)-(-4)]

=-1+5(-12-16)

=_l+lx(-28)

=-1-7

二一8；

(4)解：(-2)^^-1^|+30^(-5)-|-3|

=-8x|--|+(-6)-3

答案第6頁，共27頁

=6+(-6)-3

=—3.

10.

(2)4

⑶一30

(4)-659

⑸一105

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算、積的乘方逆運算以及乘法運算律，熟練掌握相關(guān)運

算法則是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)有理數(shù)的加法交換率和結(jié)合律計算即可；

(2)先計算乘方、絕對值、利用積的乘方逆運算法則變形，再計算乘法，最后計算加減；

(3)根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則計算即可；

(4)根據(jù)乘法分配律解答即可；

(5)連續(xù)利用乘法分配律求解即可；

(6)利用裂項相消法變形計算即可.

312311

【詳解】(1)解：(-2《)+(-/+(-3()+(+21)+(-15)+1§

321311

=(-2-)+(-3j)+(--)+(+2-)+(-1-)+1-

=-6+1+1-

3

=一5；

(2)解：卜-手+([k-1＞。。。+0.5刈sx(-2嚴

2

=-1-||-l+[0.5x(-2)rx(-2)

=1-1+4

=4；

(3)解:[(-|)3X(1)2^(-1)-32-(-3)3X(-14)

=彳乂小(_2)_9_(_27)卜(一1)

答案第7頁，共27頁

=(12-9+27)x(-l)

=—30；

10+625

<-H><tx60

12

=-620+2+40—25—56

=-659；

(5)解：-47.65x2—+37.15x2—+10.5x(-7—)

111111

=(-47.65+37.15)x2^-+10.5x

=-10.5x2—+10.5x(-7—)

1111

=-10.5x

=-10.5x10

=-105;

1111

(6)解:------+-------+---------F

1x44x77x102008x2011

+3XboO8-2oTlJ

1111______1

—i—一++20082011

7710

1

=-x

3

12010

—x---

32011

670

一2011

11.(1)10

⑵22(

(3)0

2

(4)—

51

【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，熟練掌握有理數(shù)混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)逆用乘法分配律進行計算即可;

(2)利用列項進行計算即可；

答案第8頁，共27頁

（3）逆用乘法分配律進行計算即可;

-111

(4)》等1---------------------變形為

1+21+2+31+2+3…+50

111

1-------------------1--------------------1------1-----------------------,然后再用裂項的方法，進行求解即可.

(l+2)x2(l+3)x3(1+50)x50

222

〃s2…32c4

【詳解】⑴解:1—xl2——1.25x----1-24--

4555

45454

5"2232c

=—x12---------1-2

455

I,8

=10;

71321553

(2)解:—I-------1---------F…H--------

61220552

=1+-+1+—+1+—+???+1+—

61220552

1111

=1x(24-2)+---------1-----------1---------------1--------------

2x33x44x523x24

11111111

=22+-+—++...-----------

2334452324

11

=22+

224

“11

=22+—

24

=22——11；

24

(3)解：2024x2023-2023x2024

=24x(2023-2023)

=0;

1

(4)解:____!_

1+21+2+31+2+3…+50

11

------------------F,??H

(l+3)x3--------(1+50)x50

22

2

+???+--------

50x51

答案第9頁，共27頁

11

5051

51

2

-51,

12.(1)--

11

⑵—27

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的運算法則與運算律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算，先去括號，再根據(jù)加法結(jié)合律和交換律進行計算即可;

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進行計算即可求解.

1922

【詳解】(1)解：(7--5-)+(-7.5)-(+2-)-(-1-)

=0-4-2—

11

-區(qū)7

7

=-27

13.(1)5x7+1=62

（2）〃（〃+2）+1=（九+1）

（3）—

10

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，正確得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題目中的等式，可以寫出第5個式子即可；

（2）根據(jù)題目中的等式的特點，可以寫出第〃個式子；

（3）將所求式子變形，再利用規(guī)律運算，然后拆項，即可計算出所求式子的值.

答案第10頁，共27頁

【詳解】（1）解：：第1個等式：1x3+1=22；第2個等式：2x4+1=32；

第3個等式：3x5+1=42；第4個等式：4x6+1=52;

???第5個等式：5x7+1=62;

⑵解：...第1個等式：1x3+1=22;第2個等式：2x4+1=32；

第3個等式：3x5+1=42；第4個等式：4x6+1=52,

〃(〃+2)+1=(〃+1)2；

/C、叼9x11+110x12+198x100+1

(3)解：原式=c,,XsXX

9x1110x1298x100

102II2992

-----------X---------------X---X------------------

9x1110x1298x100

101011119999

=——X——X—X—X---X——X--------

911101298100

1099

一_____v___

—9100

⑵K+出++〔切=1-。過程見解析

【分析】本題考查了規(guī)律探究和乘方的應用，正確理解題意是關(guān)鍵;

（1）根據(jù)題意提供的方法找到規(guī)律解答即可;

（2）仿照題目中給的方法解答即可.

【詳解】（1）解：如圖1所示的是邊長為1的正方形，將它剪掉一半，則S陰影|=l-g=g,

如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，將陰影部分再裁剪掉一半，則S陰影=*

同種操作,如圖3,“3=T-出一出

如圖4,$陰影4dHm3

答案第11頁，共27頁

1

若同種地操作〃次，貝！JS陰影〃=1

~T

于是歸納得到：+

故答案為:

(2)解：①,

則2s=6+口+以++[/②，

②—①，得S=l—二~,

15.(1)%"+1-1

(2)63

口

2

⑷-1

【分析】本題考查了多項式乘法的規(guī)律、有理數(shù)的乘方的運算，理解題意，正確得出規(guī)律是

解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題干中所給式子即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)43W^^nTM25+24+23+22+2+l=(2-l)(25+24+23+22+2+l),計算即

可得解；

525150249

(3)先根據(jù)規(guī)律計算出於―399+3%++3+3+3++3+3\3++3?+3］的值,

作差即可得解；

(4)由規(guī)律可得(x-。，+尤2+了+1)=/_1=0,求出尤=1或x=_i,再分別計算即可得

解.

【詳解】(1)解：V(x-l)(x2+x+l)=x3-l；

(x-l)(x3+x2+x+l)=d-1;

答案第12頁，共27頁

；.(尤一1)(無"+尤I+尤'T+尤3+尤2+*+1)=尤”+1_1；

(2)解:V(x-l)(y!+x,,-1+x,,-2+..x3+JC2+x+l)=xn+1-l,

25+24+23+22+2+1=(2-1)(25+24+23+2?+2+1)=26-1=64-1=63；

(3)1?：V3100+3"+398++352+351+35O++32+3'

2

(3_1)(31?+3?+398++352+351+35。++3+31)

2

3101-1

2

349++…"H—hl

22

A3100+3"+398+-+352+351+350

=3100+3"+398++352+351+350++32+3*-(349++32+31)

3101-1350-1

22

3101-350

2

(4)解：x3+x2+x+1=0,

—尤3+尤2+*+])=彳4—1=0,

??X=1X——19

當x=l時，x3+x2+x+l=l+l+l+1^0,不符合題意，舍去;

當X=T時，X3+X2+X+l=-l+l-l+l=0,符合題意，止匕時留25=(一1廣5=一1.

16.(1)-—

nn+1

⑶儡

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，有理數(shù)混合運算，根據(jù)已知等式得出一般規(guī)律是解題

答案第13頁，共27頁

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知等式分析即可；

(2)根據(jù)(1)所得規(guī)律裂項計算即可；

(3)根據(jù)/裂項計算即可.

磯〃+2)2\nn+2)

1_11

【詳解】(1)解:

n(n+l)nn+T

J___1_

故答案為:

nn+1

111111

(2)解:+-+一+------1------

2612203042

1+--1-+-1--+1---+1---1+一

1x22x33x44x55x66x7

11111

+++

34457

6

7

(3)解:

〃(〃+2)2\nn+2)

1111

則---------1-----------1F???H

2x44x66x8--------2022x2024

=-"力1

+—X

2

~44~668…

2(22024

11011

—x--------