22.1比例線段課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解比例的基本性質(zhì)、線段的比，成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割。②通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似；了解相似多邊形和相似比。③掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。①理解比例、比例線段的概念；②了解比例的基本性質(zhì)，會求常見圖形中的線段比，會應(yīng)用比例和比例線段解決問題；③掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，并應(yīng)用這一基本事實(shí)求線段長；④了解黃金分割，會進(jìn)行黃金分割的有關(guān)計(jì)算。知識點(diǎn)01相似多邊形的概念·相似圖形：形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形·相似多邊形：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）【即學(xué)即練1】（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁知識點(diǎn)02比例線段的相關(guān)概念·線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n·比的前項(xiàng)和后項(xiàng)：在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)?！炯磳W(xué)即練2】如圖，線段，那么等于（

）

A． B． C． D．·比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段·比的外項(xiàng)和內(nèi)項(xiàng)：若四條線段a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)?！け壤许?xiàng)：如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)?！炯磳W(xué)即練3】（23-24九年級上·江蘇常州·期中）線段的比例中項(xiàng)為．【即學(xué)即練4】如果線段c是a、b的比例中項(xiàng)，且，，則．知識點(diǎn)03比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)①a:b=c:dad=bc②a:b=b:c（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：如果，等式兩邊同時(shí)±1：【即學(xué)即練5】對于線段a，b，若，則下列四個(gè)選項(xiàng)一定正確的（

）A． B．C． D．（5）等比性質(zhì)：【即學(xué)即練6】已知，那么下列等式中一定正確的是

（

）A． B． C． D．知識點(diǎn)04黃金分割·把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB【即學(xué)即練7】已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，那么的長是（

）A． B． C． D．知識點(diǎn)05平行線分線段成比例定理·基本事實(shí)：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例?！炯磳W(xué)即練8】如圖，直線，直線分別交于點(diǎn)；直線分別交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)H，且，則的值為（）A． B． C． D．推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例?！つ娑ɡ恚喝绻粭l直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。：DE∥BC【即學(xué)即練9】在中，點(diǎn)分別在邊、上，下列比例式中能判定的是（

）A． B． C． D．（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。：DE∥BC【即學(xué)即練10】在中，點(diǎn)、分別在邊和上，，，，要使，那么的長為．·比例的性質(zhì)與等比變形：1.更比性質(zhì)的變形：2.和比性質(zhì)的變形：在的條件下，等式兩邊同時(shí)加任意一個(gè)常數(shù)有：特別的，當(dāng)k=±1時(shí)，3.等比性質(zhì)的證明：設(shè)參法設(shè)，有，代入有【題型一：比例尺】例1.（23-24九年級上·安徽安慶·期末）2023年9月，占地約3.23平方千米的合肥園博園正式對外全面開放，主辦方精心籌建的舞臺展區(qū)深受廣大游客的青睞，其中某兩個(gè)展區(qū)入口之間的距離為155米，在一張比例尺為的導(dǎo)游圖上，它們之間的距離大約相當(dāng)于（

）A．一支粉筆的長度 B．?dāng)?shù)學(xué)課本的長度C．一把家用掃帚的長度 D．課桌的寬度變式1.一種精密零件長毫米，把它畫在圖紙上，圖上零件長10厘米，這張圖紙的比例尺是（

）A． B．500:1 C．1:50 D．50:1【題型二：根據(jù)比例的性質(zhì)化簡求值】例2．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）已知，且，則．變式2-1.如果，且，則．變式2-2.（23-24九年級上·安徽馬鞍山·期中）如果，則下列各式不成立的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】·法一：熟練運(yùn)用比例的性質(zhì)：①更比性質(zhì)——交換內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)的位置，等式不變；②合比性質(zhì)——；③等比性質(zhì)·法二：賦值法代數(shù)判斷，僅限于選擇和填空例3.閱讀理解，并解決問題：小明同學(xué)在一次教學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，存在一組都不為0的數(shù)a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同學(xué)還有新的發(fā)現(xiàn)：若，則（分比性質(zhì)）．已知①；②．問題解決：(1)仿照上例，從①②中選一組數(shù)據(jù)寫出分比性質(zhì)等式；(2)證明（1）中的分比性質(zhì)等式成立．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)參法說明比例的性質(zhì)（見難點(diǎn)分析）【題型三：利用平行線分線段成比例求線段的長】例4．（23-24九年級上·上?！て谥校┤鐖D，直線，已知，，，．例5．如圖，是的中線，E是上一點(diǎn)，的延長線交于F，的面積與的面積之比是，且，則．變式5-1．（23-24九年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中、已知，，，，求的長．

【方法技巧與總結(jié)】平行線分線段成比例定理的應(yīng)用：熟記模型“”：DE∥BC【題型四：實(shí)踐生活中的黃金分割點(diǎn)】例6．（22-23九年級上·安徽安慶·期末）如圖，二胡是中國古老的民族拉弦樂器之一．音樂家發(fā)現(xiàn)，二胡的“千金”鉤在琴弦長的黃金分割點(diǎn)處，奏出來的音調(diào)最和諧、最悅耳．一把二胡的弦長為，求“千金”鉤出的下面一截琴弦長為（保留根號）．變式6-1．在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）．變式6-2．20世紀(jì)70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，．已知為2米，則線段的長為米．【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)黃金分割比例為進(jìn)行求解．一、選擇題1.（23-24九年級上·四川宜賓·期中）觀察如圖每組圖形，是相似圖形的是（）A． B． C． D．2．在一幅比例尺為的地圖上，量得某段高速公路長5.5厘米，則這段高速公路的實(shí)際長度是（

）A．55米 B．550米 C．5500米 D．55千米3．如果，那么下列比例式中不正確的是（

）A． B．C． D．4．（23-24八年級下·山東煙臺·期末）已知，那么下列四個(gè)選項(xiàng)一定正確的是（

）A． B． C． D．5．（23-24九年級上·安徽滁州·期中）如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A．2 B．3 C． D．46．（23-24九年級上·安徽安慶·期中）如圖，直線，直線分別交直線a，b，c于A，B，C和D，E，F(xiàn)，且，，則（）A．5 B．10 C．12 D．157．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．8．（23-24九年級上·安徽池州·期末）大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，P為的黃金分割點(diǎn)，如果的長度為，那么的長度是（

）A． B． C． D．二、填空題9．（23-24九年級上·河北石家莊·期中）點(diǎn)在線段AB上，若

，則．10．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）已知線段，，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于．11．已知線段、、，其中是的比例中項(xiàng)，如果，，那么線段的長度為．12．在比例尺為的地圖上，量得甲乙兩地的距離是，則兩地的實(shí)際距離是．13.如圖，直線，相交于點(diǎn)，且，若，，，則．14．（23-24八年級下·河南許昌·期末）如圖，已知線段，經(jīng)過點(diǎn)作，使，連接AD，在AD上截??；在AB上截取，則．15．（22-23九年級上·安徽安慶·期末）已知，且，則＝．16．如圖，點(diǎn)是矩形的對角線的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的長為．三、解答題17．已知是的三邊，且滿足，試判斷的形狀，并說明理由．18．（23-24九年級上·安徽滁州·期中）已知線段a、b、c，且．(1)求的值；(2)若線段a、b、c滿足，求a、b、c的值．19．如圖，已知為的邊上的一點(diǎn)，為的延長線上的一點(diǎn)，且．求證：．

（23-24八年級下·安徽宿州·期末）如圖，，、是邊上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【背景知識】寬與長的比等于的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．世界上很多著名建筑，為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，如希臘帕特農(nóng)神廟等．（1）經(jīng)測量帕特農(nóng)神廟的長約為30米，求它的寬度是多少米