專題22.20相似三角形的性質(zhì)與判定綜合專題（分層練習(xí)）（培優(yōu)練）1．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊和（或延長線）上，連接，，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)，若，，求的長；（3）當(dāng)M為上任意一點(diǎn)，探究，，間的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．

（1）求證：；（2）若，，求．3．（2022·福建廈門·?？级＃┤鐖D，在中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上．（1）在圖中求作；要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡（2）若交于點(diǎn)，，，求的長．4．（2023春·吉林長春·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q，連接、，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）用含的代數(shù)式表示的長．（2）連接，求的最小值．（3）當(dāng)所在直線與邊所夾銳角等于時(shí)，求的面積．（4）當(dāng)?shù)倪吪c的任意一邊平行時(shí)，直接寫出t的值．5．（2022·河北邯鄲·?？既＃┰谡叫沃?，，F(xiàn)為對角線上一動點(diǎn)，連接，以為斜邊向右下方作等腰直角，連接．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在線段上時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E不在線段上時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，求線段的長；（4）若點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D，直接寫出點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長．6．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)H，連接．

（1）求證：；（2）若，求的值；（3）已知正方形的邊長為1，點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，的長能否為，請說明理由．7．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，已知中，，E是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)C與重合，連接．

（1）求證：；（2）若點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且，求的最小值．8．（2022秋·吉林·九年級校考期末）如圖所示，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并作關(guān)于直線對稱的，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為，與的重疊面積為．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，______（用含的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；（3）求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍．9．（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖1，在中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動至點(diǎn)停止．若點(diǎn)的運(yùn)動速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為．的長度為，與的函數(shù)圖象如圖2所示．

（1）當(dāng)恰好平分時(shí)，求的值；（2）滿足（1）的條件下，求證：．10．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知：如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，與分別相交于點(diǎn)．

（1）求證：；（2）連接，求證：；（3）若，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，求的長．11．（2022秋·湖南永州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)、分別在線段、上，．的延長線交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)、其延長線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)與相似時(shí)，求的長．12．（2021·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）求證EG2＝GF?AF；（3）若AG＝3，EG＝，求BE的長．13．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠BCA＝90°，點(diǎn)E在BC上，且EC＝AC．連接AE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，過點(diǎn)E作EH∥CD交DF的延長線于點(diǎn)H，DH交BC于M．（1）探究∠EAB和∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）求證AD＝EH；（3）若BC＝kAC，求的值（用含有k的代數(shù)式表示）．14．（2022·山東德州·?？级＃┤鐖D，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：．（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值．15．（2021·浙江·九年級專題練習(xí)）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處，使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)、猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）若BC＝6，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連接DM，DM與AC交于點(diǎn)O，當(dāng)三角板的邊DF與邊DM重合時(shí)（如圖2），若OF＝，求出DF和DN的長．16．（2021秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，連接DB，將線段DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接BE、CE．（1）求的值；（2）求射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)；（3）題設(shè)其它條件不變，若點(diǎn)D是∠BAC平分線上的一個(gè)動點(diǎn)，且AB=1，∠DBC=15°，直接寫出線段CE的長．17．（2020秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD與矩形AEFG，，連接GD，BE相交于點(diǎn)Q．（1）求證：△GAD∽△EAB；（2）猜想GD與BE之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）請連接DE，BG，若AB=6，AE=3，求DE2+BG2的值．18．（2019春·浙江杭州·九年級期中）如圖，在矩形中，，E為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，以為邊作正方形，與交于點(diǎn)H，的延長線交于點(diǎn)M，連結(jié)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長（用含a的代數(shù)式表示）；（2）試證是一個(gè)定值；（3）直接寫出的取值范圍（用含a的代數(shù)式表示）．19．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）已知：在中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是直線上一點(diǎn)，連接，將沿著折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為D，連接．

（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段上，求證：；（2）如圖2，與交于點(diǎn)M，連接，若，求證：點(diǎn)M是的中點(diǎn)；（3）如圖3，點(diǎn)F在延長線上，與交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，若，，求．20．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）已知正方形，是對角線上一點(diǎn)．（1）如圖1，連接，．求證：；（2）如圖2，是延長線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，．判斷的形狀并說明理由；（3）在第（2）題的條件下，．求的值．21．（2019·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，，在中，，且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，時(shí)，試猜想線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，時(shí)，請直接寫出線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．22．（2022秋·江蘇泰州·九年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將沿BE翻折至的位置．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接CF并延長，交AD于點(diǎn)G，若，，，則GF的長度為________________；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處時(shí)，若，且，求BC的長；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處時(shí)，延長EF，與的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，求的值．23．（2022秋·浙江·九年級期末）在中，，點(diǎn)D在直線上，連結(jié)，以為邊作等腰直角（點(diǎn)E在直線右側(cè)），連結(jié)．（1）如圖1，若，且點(diǎn)D在邊上，求證：；（2）如圖2，若，且，，求的長；（3）如圖3，若點(diǎn)D在的延長線上，，相交于點(diǎn)F，設(shè)的面積為，的面積為，的面積為，則，請說明理由．24．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M，求的值．參考答案1．（1）見分析；（2）；（3），理由見分析【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，則，而，所以，即可證明是等腰三角形；（2）作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形都是矩形，所以，，設(shè)，則，由勾股定理得，則，所以，，，由，根據(jù)平行線分線段成比例定理，；（3）作于點(diǎn)，則，因?yàn)?，，所以，得，即可證明．解：（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，是等腰三角形．（2）解：如圖1，作于點(diǎn)，

，，四邊形和四邊形都是矩形，為中點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，，，，，的長是；（3）解：，理由如下：如圖2，作于點(diǎn)，，，，，，，，．

【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)，，得到，根據(jù)，推出；（2）設(shè)，根據(jù)，得到，，根據(jù)等邊對等角得到，根據(jù)等角的余角相等得到，根據(jù)，推出，得到，推出，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)（1）中結(jié)論得到，得到，推出．解：（1）∵，∴,∵，∴，∵，∴；（2）設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形，等腰三角形，勾股定理．熟練掌握相似三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，是解決問題的關(guān)鍵．3．（1）作圖見分析；（2）的長為【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可完成作圖；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，可得，然后證明，可得，進(jìn)而可以解決問題．（1）解：如圖，即為所作；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴的長為．【點(diǎn)撥】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．掌握基本作圖的方法、相似三角形的判定和性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）；（3）或9；（4）【分析】（1）由題意列出式子即可；（2）當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的長最小，故而得出答案；（3）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，①當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)E．通過平行得到，得到，得出，最終得出答案，②當(dāng)時(shí)，，即可得出答案；（4）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別利用平行線的性質(zhì)、勾股定理等算出結(jié)果．（1）解：由題意得．（2）當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的長最?。嗟淖钚≈禐椋?）①當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)E．

∵．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②當(dāng)時(shí)，．∴．（4）解：①如圖

當(dāng)時(shí)，則，，，又，，，，．②如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，即為的中點(diǎn)，，，．③如圖，當(dāng)時(shí)，延長交于，

∵，，，∴，又，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，由折疊可知，，，在中，，即，解得，故．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，其中能夠根據(jù)題意找出所有的符合題意得情況是解題的關(guān)鍵．5．（1）見分析；（2）成立，理由見分析；（3）的長為1或7；（4）點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，再證明為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，連接與交于點(diǎn)O，連接，先證明，得，再證明，便可得了結(jié)論；（3）延長，與交于點(diǎn)H，由勾股定理求得，進(jìn)而求得，再由，求得；（4）不論F點(diǎn)運(yùn)動到什么位置，，得E點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)F與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，當(dāng)F點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E與G點(diǎn)重合，求得的長度便可．解：（1）證明：在正方形中，F(xiàn)為對角線上一動點(diǎn)，∴．∵是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴．（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：連接與交于點(diǎn)O，連接，如圖，

∵四邊形是正方形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，∴．（3）解：延長，與交于點(diǎn)H，如圖，

，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)在的下方時(shí)，同法可得．綜上所述，的值為1或7；（4）解：由題意知，不論F點(diǎn)運(yùn)動到什么位置，，∴E點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)F與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，當(dāng)F點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E與G點(diǎn)重合，如圖，

，，，，∴點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等和相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．6．（1）見分析；（2）；（3）的長不可能為，理由見分析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，即，由證明得出，即可得出結(jié)論；（2）先證明得出，，在證明得出，由三角函數(shù)得出，得出，作交于P，則，，得出，，，即可得出結(jié)果；（3）假設(shè)，先判斷出點(diǎn)G在的延長線上，同（2）的方法得，，得出，再判斷出，得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：四邊形和四邊形是正方形，，，，在和中，，，，；（2）解：四邊形是正方形，，在和中，，，在和中，，，，，，，作交于P，則，，，，；（3）解：的長不可能為，理由：假設(shè)的長為，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)G在的延長線上，同（2）的方法得，，，在中，是斜邊，，正方形的邊長為1，，，，點(diǎn)G在正方形的邊上，與點(diǎn)G在的延長線上相矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，即：的長不可能為．

【點(diǎn)撥】此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵，用反證法說明不可能為是解本題的難度．7．（1）見分析；（2）【分析】（1）折疊，得到，根據(jù)的值，求出的值，進(jìn)而得到，再根據(jù)，即可得證；（2）根據(jù)相似的性質(zhì)得到，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的長，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易得，求出的長，利用勾股定理求出的長即可．（1）解：∵沿折疊，點(diǎn)C與重合，∴，∵，∴，∵，∴，又，∴；（2）∵，∴∴，∴∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長，如圖，過點(diǎn)E作于H，

∵，，，∴，∵，，∴，∴∴，∴，，∴，∴，∴的最小值．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，證明三角形相似．8．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由勾股定理得出，由題意得出，通過證明，得出，即，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）由（1）知：，可得，即，，由題意得出，即可求得答案；（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，重疊部分為，且；當(dāng)時(shí)，重疊部分為四邊形，利用計(jì)算即可得到答案；當(dāng)時(shí)，重疊部分為直角三角形，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．（1）解：中，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，，，，，，，即，解得：，故答案為：；（2）解：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖①，

，，由（1）知：，，即，，由題意知：當(dāng)時(shí)，，，解得，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值為；（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖②，，

，由（1）知：，，，即，，，，與關(guān)于直線對稱，，；當(dāng)時(shí)，如圖③，設(shè)交于，取的中點(diǎn)，作交于，連接，

，則，，，，，，，，，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖④，過點(diǎn)作于，

，，，，，即，，，，，，，，，，，即，，即，綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用分類討論思想解決問題．9．（1）；（2）見詳解【分析】（1）由圖象可得，通過證明，可求的長，即可求解；（2）根據(jù)（1）中，，，可得結(jié)論．（1）解：如圖，連接，由圖2可得，，，，平分，，，，，，，，，，，（負(fù)值舍去），；（2）證明：由（1）知，，，，．

【點(diǎn)撥】本題是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．10．（1）見分析；（2）見分析；（3）【分析】（1）通過證明，可得，由平行線的性質(zhì)可得，且，可證；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，且，可證，可得，由平行線分線段成比例可得，可得結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，由相似三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可得到答案．解：（1）∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∴．又∵，∴．（2）連接，∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴．∴，∴，∴．

（3）∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，由（1）知，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∵∴，∴，∴，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．11．（1）見分析；（2）y＝（0＜x≤9）；（3）3或．【分析】（1）由AD∥BC知，，結(jié)合DB=DC=15，DE=DF=5知，從而得，據(jù)此可得答案；（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根據(jù)得，即DN＝，再根據(jù)知NQ＝，由三角形的面積公式可得答案；（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH兩種情況分別求解可得．解：（1）∵AD∥BC，∴，．∵DB=DC=15，DE=DF=5，∴，∴，∴BG=CH．（2）過點(diǎn)D作DP⊥BC，過點(diǎn)N作NQ⊥AD，垂足分別為點(diǎn)P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．∵，∴BG=CH=2x，∴BH=18+2x．∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴DN＝．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，∴，∴NQ＝．∴y＝AD?NQ＝x?（0＜x≤9）．（3）∵AD∥BC，∴∠DAN=∠FHG．（i）當(dāng)∠ADN=∠FGH時(shí)，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC=∠FGH，∴BD∥FG，∴，∴，∴BG=6，∴AD=3．（ii）當(dāng)∠ADN=∠GFH時(shí)，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND=∠FGH，∴△ADN∽△FCG．∴，∴x?（18?2x）＝?10，整理得x2-3x-29=0，解得x＝，或x＝（舍去）．綜上所述，當(dāng)△HFG與△ADN相似時(shí)，AD的長為3或．【點(diǎn)撥】本題是相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論思想的運(yùn)用等知識點(diǎn)．12．（1）證明見分析；（2）證明見分析；（3）．【分析】（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；（3）過點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．解：（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）證明：如圖1所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，，∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO?AF．∵，∴；（3）如圖2所示：過點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．∵，∴，整理得：FG2+3FG-10=0．解得：FG=2，F(xiàn)G=-5（舍去）．∵∴∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即，∴．∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO?AF是解題答問題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題（3）的關(guān)鍵．13．（1）∠BCD＝∠BAE＋45°，見分析；（2）見分析；（3）【分析】（1）在直角三角形中，兩銳角和為，再利用等腰直角三角形角度的特殊性，通過等量代換即可證明；（2）添加輔助線后，證明三角形全等得到對應(yīng)邊相等，得到一個(gè)等腰直角三角形，再利用平行線的性質(zhì)，再次證明三角形全等，得到對應(yīng)邊相等，根據(jù)等腰直角三角形腰相等，通過等量代換即可證明；（3）引進(jìn)未知數(shù)，通過證明三角形相似，得對應(yīng)邊成比例，通過等量代換把表示出來，即可和相比．解：（1）∠BCD＝∠BAE＋45°證明：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠CDA＝90°∴∠CAD＋∠ACD＝90°∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD∵AC＝CE，∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠CEA＝45°∴∠BCD＝∠CAD＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAE＋45°（2）證明：連接CF，作FN⊥DF，垂足為點(diǎn)F，F(xiàn)N交CD于點(diǎn)N，作EG∥AD，EG與DH交于點(diǎn)G∵∠ACE＝90°，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)∴CF＝AF＝EF，CF⊥AE∴∠AFC＝∠CFE＝90°∵FN⊥DF，∴∠DFN＝90°∴∠AFD＋∠AFN＝∠AFN＋∠CFN＝90°∴∠AFD＝∠CFN∵∠BCD＝∠BAE＋45°，∠FCE＝45°，∴∠BAE＝∠FCN，∴△ADF≌△CNF∴FN＝FD又∵∠DFN＝90°，∴∠FDN＝∠FND＝45°∵HE∥CD，∴∠H＝∠FDN＝45°∠ADF＝∠ADC＋∠FDN＝135°∵EG//AD，∴∠FGD＝∠ADF＝135°又∵∠AFD＝∠EFG，∴△ADF≌△EGF∴EG＝AD∵∠EGH＝180°－∠EGF＝180°－135°＝45°，∴∠H＝∠EGH．∴EH＝EG．∴AD＝EH（3）解：設(shè)AC＝CE＝m，BC＝km，∴BE＝BC－CE＝（k－1）m∵∠ADC＝∠ACB，∠DAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC．∵∠H＝∠FDN，∠HME＝∠DMC，∴△MCD∽△MEH又∵CM＋ME＝CE，．．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形、等腰直角三角形、三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判斷與性質(zhì)，題目綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定理，添加適當(dāng)輔助線，通過三角形全等或相似找到邊角之間的等量關(guān)系，通過等量代換求解該題．14．（1）是等腰三角形，證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）．【分析】（1）如圖1中，是等腰三角形．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）如圖2中，過點(diǎn)作交于，則．首先證明，再證明，即可解決問題；（3）如圖3中，過點(diǎn)作于，則，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（1）解：如圖1中，是等腰三角形；理由：平分，，，，，，，是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)作交于，則，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，；（3）解：如圖3中，過點(diǎn)作于，則，，，，，，又，，，設(shè)，，則，．【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題是解題的關(guān)鍵．15．（1）CE＝AF，見分析；（2）DN＝，DF＝【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出△ADF≌△CDE即可；（2）證△MAO∽△DCO得，由勾股定理得DM＝3，據(jù)此求得DO＝2，結(jié)合OF＝知DF＝，再證△DFN∽△DCO得，據(jù)此計(jì)算可得．解：（1）CE＝AF，理由如下：在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，F(xiàn)D＝DE，CD＝CA，∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴CE＝AF；（2）∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MA＝AB＝AD，∵AB∥CD，∴△MAO∽△DCO，∴，在Rt△DAM中，AD＝6，AM＝3，∴DM＝3，∴DO＝2，∵OF＝，∴DF＝，∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，∴△DFN∽△DCO，∴，∴，∴DN＝．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．16．（1）；（2）射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）CE的長為或【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，證△ABD∽△CBE，求相似比即可；（2）延長AD、CE相交于點(diǎn)F，由相似可知∠BCF=∠BAD=45°，再根據(jù)角平分線和三角形內(nèi)角和求∠F即可；（3）作DF⊥AB，垂足為F，根據(jù)D點(diǎn)在三角形內(nèi)和外分類討論，利用30°角的直角三角形性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論可求EC．解：（1）由題意知ΔABC和ΔBDE均為等腰直角三角形．∴，．∠ABC=∠DBE=45°．∴，∵∠ABC=∠DBE=45°．∴∠ABD=∠CBE．∴△ABD∽△CBE．∴．（2）延長AD、CE相交于點(diǎn)F，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵AF平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAF=∠BAC=45°．∵△ABD∽△CBE．∴∠BCF=∠BAD=45°．∠F=180°-∠BCF-∠ACB-∠CAF=45°．射線AD與直線CE相交所成的較小角的度數(shù)為45°．（3）如圖1，作DF⊥AB，垂足為F，∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBA=30°，∴設(shè)DF為x，BD為2x，∴BF=，∵∠BAD=45°，∴DF=AF=x，AD=∵AB=1，∴，解得，，AD=，∵，∴CE=，如圖2，作DF⊥AB，垂足為F，∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBA=60°，∠BDF=30°，∴設(shè)BF為x，BD為2x，∴DF=，∵∠BAD=45°，∴DF=AF=，AD=∵AB=1，∴，解得，，AD=，∵，∴CE=，CE的長為或．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及到了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練的判定三角形相似，畫出準(zhǔn)確圖形，樹立分類討論思想．17．（1）證明見分析；（2）GD⊥BE，理由見分析；（3）125【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD與AEFG為矩形，可得到∠DAG=∠EAB，又因?yàn)椋纯勺C得△GAD∽△EAB；（2）設(shè)QE與AG相交于點(diǎn)M，根據(jù)△GAD∽△EAB可得到∠AGD=∠AEB，又因?yàn)椤螿MG=∠AME，得到∠GQE=∠GAE，進(jìn)而證得GD⊥BE；（3）連接BD和EG，根據(jù)GD⊥BE，得到，，進(jìn)而得到，根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)，求出AD、AG，即可求得．解：（1）∵四邊形ABCD與AEFG為矩形，∴∠DAB=∠EAG=90°，∴∠DAG=∠EAB，∵，即，∴△GAD∽△EAB；（2）GD⊥BE，理由如下：如圖，設(shè)QE與AG相交于點(diǎn)M，∵△GAD∽△EAB；∴∠AGD=∠AEB，又∵∠QMG=∠AME，∴∠GQE=∠GAE，又∵∠GAE=90°，∴∠GQE=90°，∴GD⊥BE；（3）如圖，連接BD和EG，∵GD⊥BE，∴，，∴，即，∴，∵AB=6，AE=3，，∴AD=8，AG=4，∴．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的相關(guān)性質(zhì)及勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識．18．（1）；（2），證明見分析；（3）【分析】（1）證明△ABE∽△ECH，可得，代入計(jì)算即可解決問題．（2）如圖，作GK⊥AD交AD的延長線于K．證明△AKG≌△ABE（AAS），推出AK＝AB＝3a，DK＝a，由DM∥GK，可得解決問題．（3）由△AKG≌△ABE，可得GK＝BE推出當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，GK＝BE＝2a，此時(shí)DG的值最大，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)G與K重合，此時(shí)DG的值最小，求出DG的最大值與最小值即可解決問題．解：（1）∵四邊形是矩形，四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如圖，作交的延長線于K．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴（定值）．（3）∵，∴，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，此時(shí)的值最大，，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)G與K重合，此時(shí)的值最小，，∴的取值范圍為．【點(diǎn)撥】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．19．（1）見分析；（2）見分析；（3）【分析】（1）連接，由折疊性質(zhì)得到，，由中點(diǎn)性質(zhì)得到，推出點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，，根據(jù)垂直同一直線的兩直線平行，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得到，根據(jù)，得到，推出，得到點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，，設(shè)，得到，推出，推出∠MAF＝∠MFA，據(jù)此即可證明結(jié)論；（3）連接、，設(shè)∠C＝α，根據(jù)，結(jié)合折疊與中點(diǎn)性質(zhì)，得到，推出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及折疊性質(zhì)，得到，根據(jù)等邊對等角，得到，根據(jù)，推出，得到，推出，得到，推出，得到，得到，推出，根據(jù)，得到，得到．解：（1）證明：連接，

由折疊可知，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，∴，即，∴；（2）證明：由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，

∴，設(shè)，∴，∴，∴，即，∴，即點(diǎn)M是的中點(diǎn)；（3）解：連接、，

設(shè)，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形，翻折，勾股定理，相似三角形，圓周角，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理推論，是解決問題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）是等腰三角形，理由見分析；（3）【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可得到；（2）先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得到結(jié)論；（3）先求出的長，可證明是等腰直角三角形．從而得到的長，再利用，，可證得，進(jìn)而得到，從而可得到答案．（1）解：∵四邊形是正方形，是對角線，∴，，在和中∴．（2）解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．

（3）解：∵，，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟練掌握等腰三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2），證明見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)條件證明即可；（2）連接，根據(jù)第（1）問和，可得，根據(jù)勾股定理即可證明；（3）連接，根據(jù)條件證明，同（2）可證，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．（1）解：，∵，，，∴都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴；（2）解：，連接，如圖，

由（1）得，，∴，∵，∴，∵，，∴∴，∴，∵，∴；（3）解：，連接，如圖，

∵都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，