2025年竺可楨學(xué)院物理專業(yè)考試試題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試述慣性定律及其在物理學(xué)發(fā)展中的作用。二、一個(gè)質(zhì)量為m的小球，用長為l的輕繩懸掛，構(gòu)成一個(gè)單擺。將小球從平衡位置拉開一個(gè)小的角度θ（以弧度計(jì)），然后由靜止釋放。假設(shè)空氣阻力可忽略，求：1.小球擺動(dòng)過程中的機(jī)械能守恒表達(dá)式。2.小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，繩子的張力。三、一塊金屬塊在真空中以速度v0豎直上拋，不計(jì)空氣阻力。求：1.金屬塊在上升過程中，重力勢(shì)能隨高度h的變化關(guān)系（以拋出點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)）。2.金屬塊在上升至最高點(diǎn)時(shí)，其動(dòng)能與拋出點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能之比。3.若考慮空氣阻力（阻力大小與速度的平方成正比，比例常數(shù)為k），定性分析金屬塊上升過程和下降過程的加速度變化情況。四、一長直導(dǎo)線通有電流I，旁邊放置一個(gè)與其共面的矩形線圈abcd，線圈邊長分別為l1和l2，線圈中心與導(dǎo)線距離為r（r>l1/2）。導(dǎo)線與線圈共面。求穩(wěn)定狀態(tài)下，穿過矩形線圈abcd的磁通量。五、簡述麥克斯韋方程組的四個(gè)基本方程的物理意義，并說明其中兩個(gè)方程是如何體現(xiàn)電磁場(chǎng)規(guī)律的相對(duì)性或?qū)ΨQ性的。六、一束單色光垂直入射到厚度為d、折射率為n的介質(zhì)平板上，然后從平板的另一側(cè)出射。求出射光線相對(duì)于入射光線的側(cè)移量（設(shè)平板寬度足夠大）。七、根據(jù)玻爾模型，計(jì)算氫原子中電子在n=2軌道上運(yùn)動(dòng)的速度和動(dòng)能。并與電子在n=1軌道上運(yùn)動(dòng)的速度和動(dòng)能進(jìn)行比較。八、一維無限深勢(shì)阱中，粒子處于基態(tài)（n=1）時(shí)，其概率密度分布函數(shù)Ψ?(x)的表達(dá)式是什么？請(qǐng)解釋概率密度表示的物理意義，并說明在哪些位置找到粒子的概率為零。試卷答案一、慣性定律（牛頓第一定律）指出，任何物體都要保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除非作用在它上面的力迫使它改變這種狀態(tài)。該定律的數(shù)學(xué)表達(dá)是F=0時(shí)，a=0（即v=常數(shù)）。慣性定律的偉大之處在于它首次明確提出了“力是改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因”，而非維持運(yùn)動(dòng)的原因，它定義了慣性質(zhì)量，并揭示了物體保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的固有屬性——慣性。它是經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)，也為理解更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題以及后來相對(duì)論中的慣性系概念奠定了基礎(chǔ)。二、1.機(jī)械能守恒：由于只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)最低點(diǎn)重力勢(shì)能為零，則任意高度h處的機(jī)械能等于總機(jī)械能，即E=E_p+E_k=mgh+1/2*mv2?？倷C(jī)械能等于在最高點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能，即E=mgl(1-cosθ)（當(dāng)θ較小時(shí)，可近似為E=1/2*mglθ2）。因此，機(jī)械能守恒表達(dá)式為mgh+1/2*mv2=mgl(1-cosθ)。2.最低點(diǎn)張力：在最低點(diǎn)，對(duì)小球進(jìn)行受力分析。設(shè)此時(shí)速度為v_min，根據(jù)牛頓第二定律，沿繩子方向的合力提供向心力。有T-mg=mv_min2/l。由機(jī)械能守恒，在最低點(diǎn)動(dòng)能等于初始勢(shì)能（即mgl(1-cosθ)），且最低點(diǎn)高度為0，所以1/2*mv_min2=mgl(1-cosθ)。代入上式得T=mg+2mg(1-cosθ)=mg(3-2cosθ)。當(dāng)θ=0時(shí)，即開始時(shí)，T=5mg。三、1.勢(shì)能變化：取拋出點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。重力勢(shì)能Ep=mgh。隨著高度h增加，重力勢(shì)能Ep增加。2.動(dòng)能之比：上升過程中機(jī)械能守恒。設(shè)最高點(diǎn)速度為0，則拋出點(diǎn)動(dòng)能E_k0=mgh_max。在最高點(diǎn)，動(dòng)能E_k_max=0，重力勢(shì)能E_p_max=mgh_max。根據(jù)E_k0=E_p_max，得h_max=v02/(2g)。上升至最高點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能與拋出點(diǎn)動(dòng)能之比為0/(1/2*mv02)=0。3.加速度變化：有空氣阻力。上升過程：受重力和向下阻力。加速度a_up=(mg+kv2)/m，方向向下。隨著速度v減小，阻力kv減小，加速度a_up逐漸減小，趨近于重力加速度g。下降過程：受重力和向上阻力。加速度a_down=(mg-kv2)/m，方向向下（與速度方向相同）。隨著速度v增大，阻力kv增大，加速度a_down逐漸減小，也趨近于重力加速度g。定性看，上升加速度從v0開始，逐漸減??；下降加速度從-g開始，逐漸增大（絕對(duì)值減小），最終趨近于g。四、根據(jù)畢奧-薩伐爾定律或安培環(huán)路定律，長直導(dǎo)線在距離r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=μ?I/(2πr)，方向垂直于導(dǎo)線并指向紙面外（假設(shè)電流方向垂直紙面向里）。穿過矩形線圈abcd的磁通量Φ=∫B?dA。由于B大小不變，且處處與線圈平面的法線方向一致（或相反，取決于B的方向和dA的方向約定），所以Φ=B*A=B*l1*l2=(μ?I/(2πr))*l1*l2。注意：此結(jié)果假設(shè)矩形線圈平面與直導(dǎo)線共面且距離恒定為r。若線圈中心距r，但未共面，則需更復(fù)雜積分或利用特定對(duì)稱性求解，此簡單模型結(jié)果不適用中心距情況。五、1.物理意義：*高斯定律：描述電場(chǎng)由電荷產(chǎn)生，∮E?dA=Q_enc/ε?，體現(xiàn)電場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量與enclosed電荷的直接關(guān)系。*高斯定律（磁場(chǎng)）：描述磁場(chǎng)無源，∮B?dA=0，體現(xiàn)磁場(chǎng)線是閉合的，無“磁單極子”存在。*法拉第電磁感應(yīng)定律：描述變化磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，∮E?dl=-dΦ_B/dt，體現(xiàn)時(shí)空變化的磁場(chǎng)能激發(fā)電場(chǎng)。*安培-麥克斯韋定律：描述磁場(chǎng)由電流和變化電場(chǎng)產(chǎn)生，∮B?dl=μ?I_enc+μ?ε?(dΦ_E/dt)，體現(xiàn)電流和變化電場(chǎng)對(duì)閉合曲線的環(huán)量貢獻(xiàn)。2.相對(duì)性/對(duì)稱性體現(xiàn)：*高斯磁場(chǎng)定律∮B?dA=0與高斯電場(chǎng)定律∮E?dA=Q_enc/ε?在形式上相似（左邊是對(duì)矢量場(chǎng)的面積分，右邊與enclosed的某種“源”相關(guān)），體現(xiàn)了電場(chǎng)和磁場(chǎng)在“無源”特性上的某種對(duì)稱性。盡管其物理來源（電荷vs無源）不同，但數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的平行性暗示了更深層次的對(duì)稱性。*安培-麥克斯韋定律∮B?dl=μ?I_enc+μ?ε?(dΦ_E/dt)中，右側(cè)包含了電流（I_enc，麥克斯韋被稱為“位移電流”）和變化的電場(chǎng)（dΦ_E/dt），這與法拉第定律∮E?dl=-dΦ_B/dt（描述變化磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)）形成了對(duì)稱。兩者都表明場(chǎng)與場(chǎng)之間、場(chǎng)與源（電荷、電流、變化的其他場(chǎng)）之間存在相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了電磁場(chǎng)作為一個(gè)統(tǒng)一整體的動(dòng)態(tài)對(duì)稱性。六、單色光垂直入射，入射角θ?=0。光線在平板內(nèi)傳播的路徑長度為d。根據(jù)折射定律，光線在平板內(nèi)傳播的速度v=c/n。設(shè)側(cè)移量為δ。光進(jìn)入平板左側(cè)表面時(shí)，法線方向?yàn)閤軸，光束方向沿y軸。光離開平板右側(cè)表面時(shí)，其法線方向仍為x軸，但由于平板存在，其入射點(diǎn)在x軸右側(cè)。設(shè)右側(cè)表面入射點(diǎn)為P，坐標(biāo)為(x_p,0)。光線在平板內(nèi)從左到右傳播時(shí)，x坐標(biāo)保持不變，為0。光線從右表面射出時(shí)，其x坐標(biāo)為x_p。根據(jù)幾何關(guān)系，光線的側(cè)移量δ=x_p-0=x_p。光線在平板右側(cè)表面入射角為θ?，折射角為θ?=0。根據(jù)折射定律n?sinθ?=n?sinθ?，即nsinθ?=n?sinθ?=n?*0=0。sinθ?=0，所以θ?=0。這意味著光線垂直射出平板。光線射出點(diǎn)P的x坐標(biāo)即為側(cè)移量δ?，F(xiàn)在計(jì)算x_p。光線在平板內(nèi)走了一個(gè)斜邊長度為√(d2+x_p2)的路徑，用時(shí)t=√(d2+x_p2)/(c/n)=n√(d2+x_p2)/c。光在空氣中的路徑長度為√(x_p2+(d/n)2)，用時(shí)t_air=√(x_p2+(d/n)2)/c。由于光垂直入射和射出，總時(shí)間等于在平板內(nèi)時(shí)間，即n√(d2+x_p2)/c=√(x_p2+(d/n)2)/c。兩邊平方并化簡：n2(d2+x_p2)=x_p2+(d/n)2。n2d2+n2x_p2=x_p2+d2/n2。令A(yù)=n2-1，則(A-1)x_p2=d2/n2-n2d2=d2(1/n2-n2)。x_p2=d2(1/n2-n2)/(n2-1)=d2(-(n2-1)/n2)/(n2-1)=-d2/n2。此結(jié)果無意義，說明假設(shè)光線垂直射出平板不成立。應(yīng)考慮光線射出時(shí)存在側(cè)移。更準(zhǔn)確的方法是，設(shè)光在平板內(nèi)走直線，但射出時(shí)方向垂直于平板法線。側(cè)移量δ是光在平板內(nèi)走水平距離x_p時(shí)，光束方向偏移的距離。由于光線垂直射出，側(cè)移量δ滿足tan(θ?)=δ/(d/n)。由于θ?≈0，tan(θ?)≈θ?=sinθ?=(n?/n-1)≈(1/n-1)(若n?=1)。所以δ≈(1/n-1)*(d/n)=d(1/n-1)/n。若考慮n≈1，則δ≈d(1/n-1)=d/n。但更嚴(yán)格的推導(dǎo)基于光線在平板內(nèi)走直線，射出時(shí)方向垂直于法線，側(cè)移量δ=d*(n?/n-1)=d*(1/n-1)。最終結(jié)果為δ=d(1-n?/n)。七、氫原子中電子在n=2軌道上：速度v?=Zαh/(2πn2me)=αhc/(2πn2me)=(1/137*6.626*10?3?J·s*2.998*10?m/s)/(2π*22*9.109*10?31kg*1.602*10?1?C)≈1.09*10?m/s。動(dòng)能K?=1/2*me*v?2=me*(αhc/(2πn2me))2/2=Z2*α2*h2c2/(8π2n?me2)=(1/137)2*(1/137)2*(6.626*10?3?)2*(2.998*10?)2/(8π2*2?*(9.109*10?31)2*(1.602*10?1?)2)J≈5.4*10?1?J=3.4eV。比較：n=1時(shí)，v?=Zαh/(2πme)≈2.19*10?m/s；K?=1/2*me*v?2=2*K?≈6.8*10?1?J=13.6eV。所以，n=2時(shí)，速度v?=v?/2，動(dòng)能K?=K?/4。八、一維無限深勢(shì)阱中，基態(tài)（n=1）時(shí)，概率密度分布函數(shù)Ψ?(x)=√(2/L)*sin(πx/L)，其中L是勢(shì)阱寬度，0≤