安徽大學(xué)2025年材料科學(xué)與工程拔尖計(jì)劃材料力學(xué)競(jìng)賽試題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述應(yīng)力與應(yīng)變的概念，并說(shuō)明工程應(yīng)力與真應(yīng)力、工程應(yīng)變與真應(yīng)變的區(qū)別。二、如圖所示結(jié)構(gòu)，桿1和桿2的橫截面積分別為A1和A2，材料彈性模量分別為E1和E2，泊松比分別為ν1和ν2。在載荷P作用下，求節(jié)點(diǎn)C的水平和垂直位移。三、一根圓軸受扭矩T作用，材料的剪切模量為G。試用能量法計(jì)算軸的最大扭轉(zhuǎn)角。四、簡(jiǎn)支梁受均布載荷q作用，跨中撓度為w。若將梁的截面形狀由矩形變?yōu)楣ぷ中危渌麠l件不變，試分析梁的最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力如何變化。五、如圖所示，兩端固定的梁受集中力P作用于跨中。試用奇異函數(shù)法計(jì)算梁的彎矩方程和撓曲線方程。六、解釋什么是組合變形，并舉例說(shuō)明工程中常見(jiàn)的組合變形形式。七、簡(jiǎn)述壓桿失穩(wěn)的概念，并說(shuō)明歐拉公式適用的條件。八、如圖所示，薄壁圓筒受內(nèi)壓p和扭矩T作用。試計(jì)算筒壁上的主應(yīng)力。九、解釋莫爾圓的原理，并說(shuō)明如何用莫爾圓求解應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力以及主應(yīng)力方向。十、如圖所示，梁截面為矩形，受垂直載荷F作用。試用梁彎曲理論計(jì)算梁表面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，并說(shuō)明它們分別出現(xiàn)在截面的哪個(gè)位置。十一、簡(jiǎn)述材料力學(xué)性能中彈性模量、屈服強(qiáng)度、延伸率、斷面收縮率的物理意義。十二、如圖所示結(jié)構(gòu)，桿1和桿2材料相同，彈性模量為E，橫截面積相同。在載荷P作用下，求兩桿的軸力，并分析哪一根桿更危險(xiǎn)。十三、簡(jiǎn)述動(dòng)載荷的概念，并舉例說(shuō)明工程中常見(jiàn)的動(dòng)載荷類型。十四、解釋什么是沖擊載荷，并說(shuō)明如何計(jì)算沖擊載荷下的動(dòng)應(yīng)力。十五、簡(jiǎn)述材料力學(xué)中的能量方法，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用。試卷答案一、應(yīng)力是指單位面積上的內(nèi)力。正應(yīng)力是指垂直于截面的內(nèi)力分量，剪應(yīng)力是指平行于截面的內(nèi)力分量。應(yīng)變是指變形量與原始尺寸的比值。正應(yīng)變是指長(zhǎng)度變化量與原始長(zhǎng)度的比值，剪應(yīng)變是指角度變化量。工程應(yīng)力與真應(yīng)力、工程應(yīng)變與真應(yīng)變的區(qū)別在于：工程應(yīng)力/應(yīng)變是基于原始截面積/長(zhǎng)度計(jì)算，而真應(yīng)力/應(yīng)變是基于變形后的截面積/長(zhǎng)度計(jì)算。真應(yīng)力/應(yīng)變更能反映材料內(nèi)部的應(yīng)力/應(yīng)變狀態(tài)，尤其是在塑性變形階段。二、對(duì)節(jié)點(diǎn)C進(jìn)行受力分析，設(shè)桿1和桿2的軸力分別為N1和N2。根據(jù)平衡方程：ΣFx=0:N2=P*sinθΣFy=0:N1+P*cosθ=0=>N1=-P*cosθ節(jié)點(diǎn)C的水平位移u和垂直位移v可以通過(guò)虛功原理或能量法求解：u=(N1*δ1+N2*δ2)/Pv=(N1*δ3+N2*δ4)/P其中，δ1、δ2、δ3、δ4分別是桿1和桿2在P作用下的伸長(zhǎng)量或縮短量，可以表示為：δi=(Ni*Li)/(Ai*Ei)+(νi*Ni*Ai)/(Ai*Ei)*(Li/Ai)(對(duì)于軸向拉伸/壓縮)其中Li為桿長(zhǎng)，Ai為橫截面積，Ei為彈性模量，νi為泊松比。將N1和N2代入位移表達(dá)式，并化簡(jiǎn)，即可得到節(jié)點(diǎn)C的水平和垂直位移。三、軸的最大扭轉(zhuǎn)角θmax發(fā)生在軸的freeend。根據(jù)能量法，外力所做的功等于軸的應(yīng)變能。假設(shè)軸的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，直徑為d，則：W=(T^2*L)/(2*G*J)其中T為扭矩，G為剪切模量，J為極慣性矩，J=(π*d^4)/32對(duì)于圓軸。軸的應(yīng)變能U也可以表示為：U=(τ_max^2*V)/(2*G)其中τ_max為最大剪應(yīng)力，V為軸的體積，V=(π*d^2*L)/4。由于W=U，聯(lián)立上述兩式，并解出τ_max，然后利用τ_max=(T*r)/J，其中r為軸的外半徑，r=d/2，即可得到最大剪應(yīng)力τ_max。將τ_max代入應(yīng)變能表達(dá)式，并利用J和V的表達(dá)式，即可得到最大扭轉(zhuǎn)角θmax=(T*L)/(G*J)。四、矩形截面梁的最大正應(yīng)力σ_max發(fā)生在跨中截面的上下邊緣，σ_max=(M*y)/Wz，其中M為最大彎矩，M=(q*L^2)/8，L為梁的跨度，y為截面到中性軸的距離，y=h/2，h為矩形截面高度。Wz為截面模量，Wz=(b*h^2)/6，b為矩形截面寬度。最大剪應(yīng)力τ_max發(fā)生在跨中截面的中性軸處，τ_max=(3*V*Q)/(2*b*b)，其中V為最大剪力，V=(q*L)/2，Q為中性軸以上部分面積對(duì)中性軸的靜矩，Q=(b*h/2)*(h/4)=(b*h^2)/8。當(dāng)截面變?yōu)楣ぷ中螘r(shí)，抗彎截面模量Wz增大，而抗剪截面模量（與b^2相關(guān)）可能變化不大或減小。根據(jù)σ_max=(M*y)/Wz，Wz增大，σ_max減小。根據(jù)τ_max=(3*V*Q)/(2*b*b)，如果b變化不大，τ_max的變化主要取決于Q。如果工字形截面的翼緣寬度較大，Q可能增大，τ_max可能增大；如果工字形截面的翼緣寬度較小，Q可能減小，τ_max可能減小。因此，梁的最大正應(yīng)力會(huì)減小，最大剪應(yīng)力可能增大或減小，具體取決于工字形截面的具體形狀。五、以左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿梁軸線為x軸，建立坐標(biāo)系。梁的彎矩方程M(x)可以用奇異函數(shù)表示為：M(x)=(P/2)*<x-L/2>-(qL/2)*<x-L>+(qL^2/2)*<x-2L>其中<>為Heaviside階躍函數(shù)。將彎矩方程代入梁的撓曲線微分方程：EI*d^4w/dx^4=q(x)，其中EI為梁的彎曲剛度。對(duì)彎矩方程進(jìn)行四次積分，并利用邊界條件（在x=0和x=L處，撓度w=0，轉(zhuǎn)角dw/dx=0），即可得到梁的撓曲線方程w(x)。六、組合變形是指構(gòu)件同時(shí)承受多種基本變形形式（如拉伸、彎曲、扭轉(zhuǎn)等）的情況。工程中常見(jiàn)的組合變形形式包括：拉彎組合、彎扭組合、拉扭組合、彎扭組合（偏心載荷作用）、剪切與彎曲組合等。七、壓桿失穩(wěn)是指受壓的細(xì)長(zhǎng)桿件在軸向壓力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，突然從直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鉅顟B(tài)的現(xiàn)象。歐拉公式是用于計(jì)算細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界失穩(wěn)載荷的理論公式，其表達(dá)式為Pcr=(π^2*E*I)/(L^2)，其中Pcr為臨界失穩(wěn)載荷，E為材料的彈性模量，I為壓桿截面的最小慣性矩，L為壓桿的長(zhǎng)度。歐拉公式適用的條件是：壓桿必須滿足細(xì)長(zhǎng)桿的條件（即長(zhǎng)細(xì)比λ大于臨界長(zhǎng)細(xì)比λcr），材料必須處于彈性變形階段（即壓桿失穩(wěn)前不會(huì)發(fā)生塑性變形），且壓桿的支承條件為理想支承（例如，兩端鉸支、一端固定一端自由、兩端固定等）。八、薄壁圓筒受內(nèi)壓p和扭矩T作用時(shí)，處于平面應(yīng)力狀態(tài)。截面上任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用主應(yīng)力σ1、σ2和剪應(yīng)力τ12表示。根據(jù)應(yīng)力變換公式，可以得到主應(yīng)力σ1、σ2的表達(dá)式：σ1=(σx+σz)/2+sqrt(((σx-σz)/2)^2+τxz^2)σ2=(σx+σz)/2-sqrt(((σx-σz)/2)^2+τxz^2)其中σx、σz分別為圓筒軸向和環(huán)向的正應(yīng)力，τxz為軸向和環(huán)向的剪應(yīng)力。對(duì)于薄壁圓筒，σx=p*R/t，σz=0，τxz=T/(2*π*R^2*t)，其中R為圓筒半徑，t為壁厚。將這些應(yīng)力代入主應(yīng)力表達(dá)式，即可得到主應(yīng)力σ1和σ2。九、莫爾圓是一種用于描述應(yīng)力狀態(tài)的圖形方法。其原理是將應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量（σx、σy、τxy）表示在一個(gè)應(yīng)力平面上，并繪制一個(gè)圓，該圓的圓心位于σx軸上，半徑為σx和σy的平均值與最大剪應(yīng)力的平方和的平方根。圓上的點(diǎn)表示應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量在任意方向上的投影。莫爾圓可以用來(lái)求解應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力以及主應(yīng)力方向。主應(yīng)力等于圓心的坐標(biāo)，最大剪應(yīng)力等于圓的半徑，主應(yīng)力方向與σ軸的夾角等于圓心角的一半。十、梁截面為矩形，受垂直載荷F作用時(shí)，梁處于彎曲狀態(tài)。根據(jù)梁彎曲理論，梁表面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別發(fā)生在截面的上下邊緣。最大拉應(yīng)力σt_max發(fā)生在截面上部，最大壓應(yīng)力σc_max發(fā)生在截面下部。它們的大小分別為：σt_max=(M*y)/Wzσc_max=-(M*y)/Wz其中M為彎矩，M=F*L/2（假設(shè)載荷F作用在跨中，L為梁的跨度），y為截面到中性軸的距離，y=h/2，h為矩形截面高度。Wz為截面模量，Wz=(b*h^2)/6，b為矩形截面寬度。因此，σt_max=(F*L*h)/(4*b*h^2)=F*L/(4*b*h)，σc_max=-F*L/(4*b*h)。可以看出，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力大小相等，符號(hào)相反。十一、彈性模量（E）是材料抵抗彈性變形能力的度量，表示應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最大值，即E=σ/ε。屈服強(qiáng)度（σs）是材料開(kāi)始發(fā)生塑性變形的應(yīng)力，即應(yīng)力達(dá)到屈服點(diǎn)時(shí)的值。延伸率（δ）是材料在拉伸斷裂后長(zhǎng)度的增加量與原始長(zhǎng)度的比值，表示材料的塑性變形能力。斷面收縮率（ψ）是材料在拉伸斷裂后橫截面積的減小量與原始橫截面積的比值，也表示材料的塑性變形能力。十二、對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，設(shè)桿1和桿2的軸力分別為N1和N2。根據(jù)平衡方程：ΣFx=0:N2=P*sinθΣFy=0:N1+P*cosθ=0=>N1=-P*cosθ由于兩桿材料相同，彈性模量相同，橫截面積相同，則桿1的應(yīng)變?chǔ)?=N1/(A*E)，桿2的應(yīng)變?chǔ)?=N2/(A*E)。由于兩桿原長(zhǎng)相同，則桿1的伸長(zhǎng)量δ1=ε1*L，桿2的伸長(zhǎng)量δ2=ε2*L。將N1和N2代入應(yīng)變表達(dá)式，并利用L、A、E相同，得到δ1=-(P*cosθ*L)/(A*E)，δ2=(P*sinθ*L)/(A*E)。兩桿的軸力分別為N1=-P*cosθ，N2=P*sinθ。桿1受壓，桿2受拉。由于材料相同，橫截面積相同，軸力絕對(duì)值越大，桿越危險(xiǎn)。|N1|=P*cosθ，|N2|=P*sinθ。當(dāng)θ=90°時(shí)，|N2|=P，|N1|=0，桿2更危險(xiǎn)。十三、動(dòng)載荷是指隨時(shí)間變化或物體運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的載荷。工程中常見(jiàn)的動(dòng)載荷類型包括：沖擊載荷、振動(dòng)載荷、交變載荷、慣性載荷等。沖擊載荷是指物體以較高速度撞擊到其他物體上時(shí)產(chǎn)生的載荷，例如鍛錘打在工件上、汽車剎車時(shí)車輪受到的沖擊等。振動(dòng)載荷是指物體在某一頻率下做周期性振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的載荷，例如旋轉(zhuǎn)機(jī)械產(chǎn)生的振動(dòng)載荷、地震引起的振動(dòng)載荷等。交變載荷是指載荷大小或方向隨時(shí)間周期性變化時(shí)產(chǎn)生的載荷，例如齒輪嚙合時(shí)產(chǎn)生的交變載荷、風(fēng)力作用在建筑物上產(chǎn)生的交變載荷等。慣性載荷是指物體由于加速度而產(chǎn)生的載荷，例如車輛啟動(dòng)或制動(dòng)時(shí)乘客感受到的慣性載荷、飛機(jī)起飛或降落時(shí)產(chǎn)生的慣性載荷等。十四、沖擊載荷是指物體以較高速度撞擊到其他物體上時(shí)產(chǎn)生的載荷。當(dāng)物體以速度v撞擊到固定物體上時(shí)，物體的高度下降h，根據(jù)能量守恒定律，物體減少的動(dòng)能等于沖擊力所做的功。假設(shè)沖擊力為F(t)，作用時(shí)間為Δt，則動(dòng)能減少量等于∫F(t)dt*v，高度下降h等于∫0Δtvdt。由于v=dx/dt，則h=∫0Δtdx。聯(lián)立上述兩式，并利用沖擊力在短時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為是恒定的近似，可以得到?jīng)_擊力F的近似表達(dá)式：F≈(m*v^2)/(2*h)，其中m為物體的質(zhì)量。沖擊載荷下的動(dòng)應(yīng)力σ可以表示為：σ=F*A，其中A為被沖擊物體的橫截面積。十五、材料力學(xué)中的能量方法是指利用能量守恒原理分析結(jié)構(gòu)變形和內(nèi)力的方法。能量方法主要包括虛功原理、卡氏第一定理、卡氏第二定理、互等定理等。虛功原理是指在外力作用下，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力所做的虛功等于外力在虛位移下所做的虛功。