江西省萍鄉(xiāng)市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．直線過點(diǎn)，且一個方向向量為，下列直線與平行的為（

）A． B． C． D．3．方程的化簡結(jié)果為（

）A． B． C． D．4．設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．9 B．18 C．20 D．365．在四面體中，，若，則（

）A． B．C． D．6．漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”.這是中國古代人民利用平面鏡反射原理的首個實(shí)例.在平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)出發(fā)的一束光線經(jīng)直線反射后到達(dá)圓上某一點(diǎn)，則光線經(jīng)過的最短路程為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若斜率為的直線過原點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．8．斜橢圓是由焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度得到的圖象.已知曲線的圖象是如圖所示的斜橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法錯誤的為（

）

A．該橢圓的焦點(diǎn)在直線上B．該橢圓的離心率為C．的最大值為D．的最大值為二、多選題9．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的為（

）A．長度相等?方向相同的兩個向量是相等向量B．平行且模相等的兩個向量是相等向量C．只有零向量的模等于零D．若，則是鈍角10．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，則下列結(jié)論正確的為（

）A．的離心率為B．的漸近線方程為C．D．點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為511．已知直線和圓，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的為（

）A．過定點(diǎn)B．恒與相交C．到的距離的最大值為D．若上存在四個點(diǎn)到的距離為1，則三、填空題12．已知點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．已知空間向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.14．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為；直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是右支上一動點(diǎn)，直線與以為直徑的圓相交于另一點(diǎn)，若在該圓內(nèi)部，則的最大值為.四、解答題15．已知兩點(diǎn)，，直線為線段的中垂線，直線過點(diǎn)，且與直線平行.(1)求與的一般方程；(2)求，與軸圍成的三角形的面積.16．已知直線與的交點(diǎn)為，圓的圓心在軸上，且過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的一般方程.17．設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線與相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)（與不重合），證明：直線與直線的斜率之積為定值，并求出該定值.18．如圖，在平行六面體中，，，，，設(shè)，，.

(1)用，，表示，，；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若點(diǎn)為線段的四等分點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)，，四點(diǎn)共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．如圖，造型可以看作圖中曲線的一部分，其中過原點(diǎn)，且上的點(diǎn)滿足：橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線（）的距離之積為.

(1)求的值；(2)若點(diǎn)在上，求證：；(3)如圖，過作兩條互相垂直的弦，分別交于點(diǎn)，，，，其中（），求四邊形的面積的最小值.

參考答案1．D【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.2．C【詳解】由直線的方向向量，可得，則直線的方程為：，即，結(jié)合選項(xiàng)可知只有C滿足，故選：C3．B【詳解】設(shè)，，點(diǎn)，則，，∴，由雙曲線的定義可知，動點(diǎn)的軌跡為雙曲線，焦點(diǎn)為，，∴，，，則，∴動點(diǎn)的軌跡為雙曲線方程為：.故選：B.4．B【詳解】∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即.故選：B.5．C【詳解】∵，∴，∵，∴，∴.故選：C.6．A【詳解】如圖，設(shè)光線由點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過直線上的點(diǎn)后反射后與圓交于點(diǎn)，∴光線經(jīng)過的路程為.

設(shè)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，即，∴，即，由對稱性可知，，即，顯然當(dāng)四點(diǎn)共線時，最小，此時.故選：A.7．A【詳解】直線，聯(lián)立方程組得，整理得或，即，，則，，∵，∴，即，∴或（舍去），∴離心率.故選：A.

8．D【詳解】對于A，點(diǎn)關(guān)于直線，對稱的點(diǎn)分別為，，可知點(diǎn)，在曲線上，曲線的圖象關(guān)于直線和對稱；由圖象可知：曲線的長軸在上，則焦點(diǎn)在直線上，A正確；對于B，由得：或，橢圓長軸長，則；由得：或，橢圓短軸長，則；，離心率，B正確；對于C，當(dāng)直線與曲線相切時，取得最大值；由得：，，解得：（舍）或，的最大值為，C正確；對于D，中點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，，，，，D錯誤.故選：D.9．AC【詳解】對于A，根據(jù)相等向量的定義即可判斷，故A正確；對于B，因一對相反向量滿足平行且模相等，但不是相等向量，故B錯誤；對于C，因任何非零向量的模都是正數(shù)，只有零向量的模等于零，故C正確；對于D，由可得，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)時，滿足，但是不是鈍角,故D錯誤.故選：AC.10．BD【詳解】對A：的離心率，故A錯誤；對B：的漸近線方程為，故B正確；對C：的焦點(diǎn)為，的焦點(diǎn)為，由，則有，故，故C錯誤；對D：由拋物線定義可得，到的焦點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，的準(zhǔn)線方程為，則到的焦點(diǎn)的距離為，故D正確.故選：BD.11．ACD【詳解】將直線進(jìn)行變形得，令，解得，所以直線l過定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；圓，即，可知圓心，半徑，則，可知當(dāng)時，直線與圓C相離，選項(xiàng)B錯誤；到的距離的最大值為，選項(xiàng)C正確；直線過定點(diǎn)，且不垂直軸，若上存在四個點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離應(yīng)滿足，因?yàn)?，所以，可得，即，即，解得，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．12．【詳解】線段的中點(diǎn)為，則半徑為，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13．【詳解】由題意得，，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：14．【詳解】由題意可設(shè)雙曲線的方程為，則，解得，所以雙曲線的方程為：；，則直線AF的方程為，令，得，則，又，所以點(diǎn)F為線段AB的中點(diǎn)，所以以AB為直徑的圓是以點(diǎn)F為圓心，以為半徑，如圖所示：且，由雙曲線的幾何性質(zhì)得，則，，所以，，，，故答案為：，4815．(1)的一般方程為，的一般方程為(2)【詳解】（1）由題知，直線的斜率，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的斜率，直線過點(diǎn)，故的一般方程為，即；的斜率，直線過點(diǎn)，故的一般方程為，即；（2）如圖：

令求得，與軸的交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立，解得，即與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，與軸圍成的三角形為，其面積為.16．(1)(2)或【詳解】（1）聯(lián)立，得，即，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由圓過點(diǎn)和點(diǎn)，則，即，解得，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因，則圓心到直線的距離為，當(dāng)斜率不存在時，的一般方程為，此時，符合題意；當(dāng)存在斜率時，設(shè)的方程為，即，則，解得，所以的一般方程為，綜上所述，直線的一般方程為或.17．(1)(2)證明見解析，定值為【詳解】（1）設(shè)，則，，由題意有，化簡得點(diǎn)的軌跡的方程為：；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，交點(diǎn)為的上?下頂點(diǎn)，不妨設(shè)，則；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，與的方程聯(lián)立?化簡得，不妨設(shè)，則，綜上所述，直線與直線的斜率之積為定值.

18．(1)，，(2)(3)不存在，理由見解析【詳解】（1），，；（2）由題知，，，，則，，，，，則，故異面直線與所成角的余弦值為；（3）假設(shè)在線段上存在符合題意的點(diǎn)，設(shè)，則，，，，因?yàn)榕c點(diǎn)四點(diǎn)共面，所以存在唯一實(shí)數(shù)對，使得，即，則，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故在線段上不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)四點(diǎn)共面.19．(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由曲線過原點(diǎn)得，，因?yàn)?，所以；?）曲線的方程為，化簡得：，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，且，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；（3）由（2）知，，當(dāng)