2025年線性代數(shù)分層教學(xué)測(cè)試題（A層）一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix})，則(A)的秩為（）A.0B.1C.2D.3向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,6)^T)，(\alpha_3=(3,6,t)^T)線性相關(guān)的充要條件是（）A.(t=9)B.(t≠9)C.(t=0)D.(t≠0)設(shè)(A)為3階方陣，且(|A|=2)，則(|-2A^*|=)（）A.-16B.16C.-32D.32已知矩陣(A)與對(duì)角矩陣(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})相似，則(A)的特征值為（）A.1,2,3B.0,1,2C.-1,-2,-3D.1,1,2設(shè)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3)，則其矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&4&5\4&2&6\5&6&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&2&2.5\2&2&3\2.5&3&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2&2.5\2&2&3\2.5&3&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&4&2.5\4&2&3\2.5&3&3\end{pmatrix})設(shè)(A)為正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.(|A|=±1)B.(A^{-1}=A^T)C.(A)的特征值模為1D.(A)必為對(duì)稱矩陣二、填空題（每題5分，共30分）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}=)________。設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&0\2&1\end{pmatrix})，則(A^{-1}=)________。向量(\alpha=(1,2,3))與(\beta=(4,5,6))的內(nèi)積為________。設(shè)3階方陣(A)的特征值為1,2,3，則(|A+E|=)________。齊次線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\2x_1+2x_2+2x_3=0\3x_1+3x_2+3x_3=0\end{cases})的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為________。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2)的規(guī)范形為________。三、計(jì)算題（每題10分，共40分）計(jì)算行列式(D=\begin{vmatrix}a&b&c&d\-b&a&-d&c\-c&d&a&-b\-d&-c&b&a\end{vmatrix})。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix})，求(A)的特征值與特征向量。解線性方程組(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=4\2x_1+3x_2+4x_3=5\3x_1+4x_2+5x_3=6\end{cases})，若有無窮多解，用基礎(chǔ)解系表示全部解。設(shè)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3)，（1）寫出二次型的矩陣(A)；（2）判斷二次型的正定性；（3）求正交變換(x=Py)，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。四、證明題（每題10分，共20分）設(shè)向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關(guān)，證明：向量組(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)也線性無關(guān)。設(shè)(A)為n階正定矩陣，證明：(A^{-1})也是正定矩陣。五、綜合應(yīng)用題（每題15分，共30分）設(shè)(V)是由所有2階實(shí)對(duì)稱矩陣構(gòu)成的線性空間，（1）求(V)的一組基及維數(shù)；（2）求矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\2&3\end{pmatrix})在該基下的坐標(biāo)；（3）定義內(nèi)積(\langleA,B\rangle=\text{tr}(A^TB))，求(A)的長(zhǎng)度。某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗A、B、C三種原料的數(shù)量如下表所示：|產(chǎn)品|原料A|原料B|原料C||------|-------|-------|-------||甲|1|2|3||乙|2|1|2||丙|3|2|1|若原料A、B、C的供應(yīng)量分別為100、200、300單位，且三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為5、4、3元/件，問如何安排生產(chǎn)使總利潤(rùn)最大？（用線性代數(shù)方法建模并求解）六、拓展題（20分）設(shè)(A)為n階方陣，證明：（1）若(A^2=A)，則(