2025年線性代數(shù)符號運算能力試題一、行列式符號運算（共30分）1.基礎(chǔ)行列式計算（10分）（1）計算四階行列式$D_4=\begin{vmatrix}2&-1&0&0\-1&2&-1&0\0&-1&2&-1\0&0&-1&2\end{vmatrix}$的值。（2）設(shè)$n$階行列式$D_n$滿足遞推關(guān)系$D_n=aD_{n-1}+bD_{n-2}$，其中$D_1=1$，$D_2=3$，當$a=2$，$b=-1$時，求$D_5$的表達式。2.抽象行列式性質(zhì)（10分）（1）設(shè)$A$為3階方陣，且$|A|=2$，計算$|3A^{-1}-2A^|$的值，其中$A^$為$A$的伴隨矩陣。（2）已知矩陣$B=PAP^{-1}$，其中$P$為可逆矩陣，若$A$的特征多項式為$f(\lambda)=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda-3$，求$|B^2-2B+E|$的值。3.分塊矩陣行列式（10分）設(shè)分塊矩陣$M=\begin{pmatrix}A&C\O&B\end{pmatrix}$，其中$A$為$m$階方陣，$B$為$n$階方陣，$C$為$m\timesn$矩陣，$O$為零矩陣。（1）證明$|M|=|A||B|$；（2）若$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&0\0&6\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$，求$|M|$與$a,b,c,d$的關(guān)系。二、矩陣運算（共40分）1.矩陣基本運算（10分）（1）已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\-1&3\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&0\1&-1\end{pmatrix}$，計算$A^2B-2BA$。（2）設(shè)$\alpha=(1,2,3)^T$，$\beta=(2,-1,1)^T$，求矩陣$C=\alpha\beta^T$的秩及$C^n$的一般表達式。2.逆矩陣與初等變換（15分）（1）用初等行變換求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\1&3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣$A^{-1}$。（2）設(shè)矩陣$A$滿足$A^2-3A+2E=O$，證明$A$可逆，并求$A^{-1}$的表達式。（3）已知$P=\begin{pmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&1\end{pmatrix}$，$Q=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&2\0&0&1\end{pmatrix}$，若$PAQ=E$，求矩陣$A$。3.矩陣的秩與相抵標準形（15分）（1）求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&-1&2&1\2&-2&4&-2\3&0&6&-1\0&3&0&0\end{pmatrix}$的秩，并求其相抵標準形。（2）設(shè)$A$為$m\timesn$矩陣，$B$為$n\timesp$矩陣，證明$r(AB)\geqr(A)+r(B)-n$，并舉例說明等號成立的條件。三、線性方程組（共35分）1.解的判定與求解（15分）（1）討論線性方程組$\begin{cases}x_1+2x_2+kx_3=1\2x_1+kx_2+8x_3=3\end{cases}$中參數(shù)$k$的取值與解的關(guān)系，并在有無窮多解時求通解。（2）已知非齊次線性方程組$Ax=b$的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為$\begin{pmatrix}1&2&0&3&|&1\0&0&1&-2&|&2\0&0&0&0&|&\lambda-1\end{pmatrix}$，求$\lambda$的值及對應方程組的通解。2.解空間結(jié)構(gòu)（10分）設(shè)$A$為$3$階方陣，$r(A)=1$，且$Ax=0$的基礎(chǔ)解系為$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,1,0)^T$。（1）求$A$的行向量組的一個極大無關(guān)組；（2）若$Ax=b$有特解$\beta=(1,1,1)^T$，求該方程組的通解。3.矩陣方程求解（10分）（1）解矩陣方程$AX=B$，其中$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\7&8\end{pmatrix}$。（2）設(shè)$A$，$B$為同階方陣，且$AB=A+B$，證明$A-E$可逆，并求$X$使$X=A^{-1}B$。四、特征值與特征向量（共35分）1.特征值與特征向量計算（15分）（1）求矩陣$A=\begin{pmatrix}2&-1&2\5&-3&3\-1&0&-2\end{pmatrix}$的特征值及對應的特征向量。（2）設(shè)$A$為2階方陣，$\alpha_1=(1,2)^T$，$\alpha_2=(2,1)^T$是$A$的特征向量，對應的特征值分別為$\lambda_1=1$，$\lambda_2=2$，求矩陣$A$。2.相似對角化條件（10分）（1）判斷矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\0&1&4\0&0&1\end{pmatrix}$是否可相似對角化，并說明理由。（2）設(shè)$A$為3階實對稱矩陣，且$A^2=A$，$r(A)=2$，求$A$的相似對角矩陣。3.正交矩陣與施密特正交化（10分）（1）用施密特正交化方法將向量組$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,4,9)^T$化為標準正交基。（2）設(shè)$Q$為正交矩陣，證明$Q^{-1}$也是正交矩陣，且$|Q|=\pm1$。五、二次型（共20分）1.二次型的矩陣表示（10分）（1）寫出二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3$的矩陣$A$，并求$r(A)$。（2）設(shè)二次型$f(x_1,x_2,x_3)=X^TAX$經(jīng)正交變換$X=QY$化為標準形$f=2y_1^2+y_2^2-3y_3^2$，求$A$的特征值及$|A+E|$。2.正定二次型判定（10分）（1）判斷二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3$是否正定。（2）設(shè)$A$為$n$階正定矩陣，證明$A^{-1}$，$A^*$，$A+E$均為正定矩陣。六、綜合應用題（共35分）1.線性相關(guān)性分析（15分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,a,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,9)^T$。（1）求$a$的值使向量組線性相關(guān)；（2）當線性相關(guān)時，求$\alpha_1$用$\alpha_2$，$\alpha_3$線性表示的表達式。2.空間分解與坐標變換（10分）設(shè)$V$是$R^3$的子空間，基為$\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$W$是由$\beta=(1,1,0)^T$生成的子空間。（1）證明$R^3=V\oplusW$；（2）求向量$\gamma=(1,2,3)^T$在$V$和$W$上的投影向量。3.線性變換的矩陣表示（10分）設(shè)$T$是$R^3$上的線性變換，滿足$T(\alpha_1)=(1,0,0)^T$，$T(\alpha_2)=(0,1,0)^T$，$T(\alpha_3)=(0,0,1)^T$，其中$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,0,0)^T$。（1）求$T$在自然基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$下的矩陣$A$；（2）求$T$的核空間$Ker(T)$的維數(shù)。七、證明題（共20分）1.矩陣秩的不等式證明（10分）設(shè)$A$為$m\