2025年線性代數(shù)矩陣運(yùn)算專題試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題目要求，錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，則行列式(|A|)的值為（）A.-2B.2C.10D.-10設(shè)(A,B,C)為同階可逆方陣，則((ABC)^{-1}=)（）A.(A^{-1}B^{-1}C^{-1})B.(C^{-1}B^{-1}A^{-1})C.(C^{-1}A^{-1}B^{-1})D.(A^{-1}C^{-1}B^{-1})設(shè)(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)是4維列向量，矩陣(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4))，若(|A|=2)，則(|-2A|=)（）A.-32B.-4C.4D.32設(shè)(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)是三維實(shí)向量，則（）A.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)一定線性無(wú)關(guān)B.(\alpha_1)一定可由(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)線性表出C.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)一定線性相關(guān)D.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)一定線性無(wú)關(guān)向量組(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(1,1,0),\alpha_3=(1,1,1))的秩為（）A.1B.2C.3D.4設(shè)(A)是(4\times6)矩陣，(r(A)=2)，則齊次線性方程組(Ax=0)的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5設(shè)(A)為(n)階方陣，(A^*)是(A)的伴隨矩陣，已知(|A|=5)，則(AA^*)的特征值為（）A.5B.(5^{n-1})C.(5^n)D.1初等矩陣具有的性質(zhì)是（）A.都可以通過(guò)初等變換化為單位矩陣B.對(duì)應(yīng)的行列式值都等于1C.相乘仍為初等矩陣D.相加仍為初等矩陣設(shè)(A)是(4\times3)矩陣，(r(A)=2)，若(B=\begin{bmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{bmatrix})，則(r(AB)=)（）A.1B.2C.3D.4二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3)為正定二次型的充分必要條件是（）A.(t>-1)B.(t<1)C.(|t|<1)D.(|t|\leq1)二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）請(qǐng)將答案直接填寫(xiě)在橫線上。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}2&3&5\4&6&7\1&2&3\end{bmatrix})，則行列式(|A|=)__________。設(shè)矩陣(B=\begin{bmatrix}2&1\-3&2\end{bmatrix})，則(B^{-1}=)__________。行列式(\begin{vmatrix}ab_{11}&ab_{12}&ab_{13}\ab_{21}&ab_{22}&ab_{23}\ab_{31}&ab_{32}&ab_{33}\end{vmatrix}=)_________（其中(a,b{ij})為常數(shù)）。設(shè)(A)為三階矩陣，有三個(gè)不同特征值(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)，(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)依次是屬于特征值的特征向量，令(P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))，若(P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{bmatrix})，則(A)的特征值為_(kāi)_________。向量組(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6),\alpha_3=(3,6,9))的秩為_(kāi)_________。設(shè)(A)是(n)階方陣，且(A^2=E)（(E)為單位矩陣），則(|A|=)__________。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&0&2\0&3&0\2&0&1\end{bmatrix})，則(A^2-2A=)__________。已知向量組(\alpha_1=(1,2,3,4),\alpha_2=(2,3,4,5),\alpha_3=(3,4,5,6),\alpha_4=(4,5,6,7))，則該向量組的秩為_(kāi)_________。設(shè)(A)與(B)相似，其中(A=\begin{bmatrix}1&1&1\2&4&2\3&3&5\end{bmatrix})，(B=\begin{bmatrix}0&0&0\0&2&0\0&0&\lambda\end{bmatrix})，則(\lambda=)__________。設(shè)(A)為三階矩陣，且(|A|=1)，則(|A^*+2A^{-1}|=)__________（其中(A^*)為伴隨矩陣）。三、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）計(jì)算行列式(D=\begin{vmatrix}1&a&1&1\1&1&a&1\1&1&1&a\1&1&1&1\end{vmatrix})（其中(a\neq0)）。已知矩陣(A=\begin{bmatrix}1&0&2\0&3&0\2&0&1\end{bmatrix})，且滿足(A^2-AB=E)（(E)為單位矩陣），求矩陣(B)及行列式(|B|)。設(shè)三階方陣(A,B)滿足方程(A^{-1}BA=6A+BA)，其中(A=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0&0\0&\frac{1}{4}&0\0&0&\frac{1}{7}\end{bmatrix})，求矩陣(B)。求向量組(\alpha_1=(1,-1,2,4),\alpha_2=(0,3,1,2),\alpha_3=(3,0,7,14),\alpha_4=(1,-2,2,0),\alpha_5=(2,1,5,10))的秩及其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。已知矩陣(A=\begin{bmatrix}0&1&0\0&0&1\-6&-11&-6\end{bmatrix})，求(A^{10})。四、解答題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）當(dāng)(\lambda)取何值時(shí)，線性方程組[\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=1\2x_1+x_2+\lambdax_3=2\x_1-x_2+x_3=\lambda^2\end{cases}]無(wú)解、有唯一解或有無(wú)窮多解？當(dāng)有無(wú)窮多解時(shí)，求通解。設(shè)(A)是三階矩陣，有三個(gè)不同特征值(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，令(P=(\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1))，若(A^3=A)，求(P^{-1}AP)的對(duì)角矩陣形式，并計(jì)算行列式(|2A-3E|)。五、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）證明：對(duì)于任意(n)階方陣(A)，若(A^2=A)，則(r(A)+r(A-E)=n)（其中(E)為單位矩陣）。設(shè)(A)是(m\timesn)矩陣，(B)是(n\timesm)矩陣，且(m>n)，證明：行列式(|AB|=0)。六、應(yīng)用題（本大題共1小題，10分）某公司計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需的A、B兩種原材料的數(shù)量及利潤(rùn)如下表所示：產(chǎn)品原材料A（單位/件）原材料B（單位/件）利潤(rùn)（元/件）甲214乙135丙326若公司現(xiàn)有A原材料100單位，B原材料120單位，且三種產(chǎn)品均需生產(chǎn)，試建立線性方程組模型，并用矩陣運(yùn)算求出最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量（假設(shè)產(chǎn)量為整數(shù)）。參考答案及解析（部分）一、單項(xiàng)選擇題A（解析：(|A|=1\times4-2\times3=-2)）B（解析：逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)((ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1})）A（解析：(|-2A|=(-2)^4|A|=16\times2=32)，注意題目中選項(xiàng)A為-32，此處應(yīng)為計(jì)算符號(hào)錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為32，選項(xiàng)D）C（解析：三維向量空間中，4個(gè)向量必線性相關(guān)）C（解析：向量組線性無(wú)關(guān)，秩為3）C（解析：基礎(chǔ)解系向量個(gè)數(shù)(=n-r(A)=6-2=4)）A（解析：(AA^*=|A|E=5E)，特征值為5）A（解析：初等矩陣是單位矩陣經(jīng)一次初等變換得到，可逆且逆矩陣仍為初等矩陣）B（解析：可逆矩陣不改變矩陣的秩，(r(AB)=r(A)=2)）C（解析：二次型正定的充要條件是順序主子式全大于0，解得(|t|<1)）二、填空題-1（解析：通過(guò)初等行變換或拉普拉斯展開(kāi)計(jì)算行列式）(\frac{1}{7}\begin{bmatrix}2&-1\3&2\end{bmatrix})（解析：二階矩陣逆矩陣公式(\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\be