第一章數(shù)與式第一部分數(shù)與代數(shù)第一節(jié)

有理數(shù)的有關概念及其運算1

有理數(shù)的有關概念名稱定義性質正數(shù)與負數(shù)大于

的數(shù)叫做正數(shù)；在正數(shù)前面加上符號“—”的數(shù)叫做負數(shù)；0既不是

，也不是______正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量數(shù)軸規(guī)定了

、

、

的直線

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示相反數(shù)只有

不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)（數(shù)a的相反數(shù)是－a）

（1）若a，b互為相反數(shù)，則有a＋b＝0，|a|＝|b|；（2）0的相反數(shù)是00正數(shù)負數(shù)原點正方向單位長度符號名稱定義性質倒數(shù)

是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)（非零數(shù)a的倒數(shù)是）

（1）0沒有倒數(shù)；（2）倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和－1絕對值數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的

，叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|

|a|＝|a|≥0乘積距離例1

（2025·裕華）有理數(shù)m，n在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列選項正確的是（

）

C思路1：可考慮將已知式子變形：b＝a（3m＋n），c＝amn，然后將其代入b2－12ac后進行配方即可證明.

∴b2－12ac＝[a（3m＋n）]2－12a2mn＝a2（9m2＋6mn＋n2）－12a2mn＝a2（9m2－6mn＋n2）＝a2（3m－n）2.∵a，m，n是實數(shù)，∴a2（3m－n）2≥0.∴b2－12ac為非負數(shù).本題考查數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，解決此類問題主要抓住的兩點：①點的位置（決定符號）；②點到原點的距離.1.（2025·深圳）節(jié)約水4噸記作＋4噸，則浪費水3噸記作（

）A.－3噸 B.＋1噸

C.－1噸 D.＋3噸2.（2025·吉林）如圖，點A表示的數(shù)是1.若將點A向左移動3個單位長度得到點A'，則點A'表示的數(shù)為（

）A.－3 B.－2 C.2

D.4AB3.（2025·澤州縣）如圖，這是某機器零件的設計圖紙.下列長度（L）的零件合格的是（

）A.39.2mm B.39.6mm C.39.9mm D.40.5mmC

A5.（2025·利通）有一種記分方法：以80分為標準，88分記為＋8分，某同學得分為78分，則應記為

分.

－22

有理數(shù)的大小比較及常用方法代數(shù)比較法正數(shù)

零，負數(shù)

零，正數(shù)

一切負數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的較大；兩個負數(shù)，絕對值大的反而_______幾何比較法在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，

的數(shù)總是大于

的數(shù)

差值比較法設a，

b是任意兩個數(shù)，則a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b商值比較法設a，

b是兩正數(shù)，則＞1?a＞b；＝1?a＝b；＜1?a＜b大于小于大于小右邊左邊例2

（2025·江西）在標準大氣壓下，四種晶體的熔點如表所示，則熔點最高的是（

）D晶體固態(tài)氫固態(tài)氧固態(tài)氮固態(tài)酒精熔點（單位：℃）－259－218－210－117A.固態(tài)氫

B.固態(tài)氧

C.固態(tài)氮

D.固態(tài)酒精析解：∵－259＜－218＜－210＜－117，∴熔點最高的是固態(tài)酒精.故選D.此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：（1）正數(shù)都大于0；（2）負數(shù)都小于0；（3）正數(shù)大于一切負數(shù)；（4）兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

A

3

科學記數(shù)法及近似數(shù)科學記數(shù)法（1）把一個絕對值大于10的數(shù)寫成

的形式；（2）把一個絕對值小于1的數(shù)寫成

的形式（其中1≤|a|＜10，n為正整數(shù)），這種記數(shù)法叫科學記數(shù)法

設這個數(shù)為m，①當|m|≥10時，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；②當|m|≤1時，n等于原數(shù)左起第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)近似數(shù)一個近似數(shù)，

到哪一位，那么就說這個近似數(shù)精確到哪一位.對于帶計數(shù)單位的近似數(shù)，由近似數(shù)的位數(shù)和后面的單位共同確定.如3.618萬，數(shù)字8實際上是十位上的數(shù)字，即精確到十位

a×10na×10－n四舍五入例3

（2025·綏化）據(jù)統(tǒng)計，2025年端午期間，我國民航客運累計發(fā)送旅客560.1萬人次，把560.1萬用科學記數(shù)法表示為（

）A.56.01×104 B.5.601×105C.5.601×106 D.0.5601×107C析解：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)的絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).560.1萬＝5

601

000＝5.601×106.故選C.此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵.8.（2024·福建）據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國.數(shù)據(jù)69610用科學記數(shù)法表示為（

）A.6961×10 B.696.1×102C.6.961×104 D.0.6961×105C9.（2025·威海）復旦大學集成芯片與系統(tǒng)全國重點實驗室、芯片與系統(tǒng)前沿技術研究院科研團隊成功研制出半導體電荷存儲器“破曉”.“破曉”存儲器擦寫速度提升至400皮秒實現(xiàn)一次擦或者寫.一皮秒僅相當于一萬億分之一秒.400皮秒用科學記數(shù)法表示為（

）A.4×10－10秒 B.4×10－11秒

C.4×10－12秒 D.40×10－12秒A10.（2025·齊齊哈爾）中國年水資源總量約為27500億m3，人均占有水量相當于世界人均的四分之一，居世界第110位.將27500用科學記數(shù)法表示為

.

2.75×1044

有理數(shù)的運算及運算律內容種類法則有理數(shù)的運算

加法（1）同號兩數(shù)相加，和取

的符號，并把絕對值

；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取

較大的加數(shù)的符號，并用

絕對值減去

絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得

；（3）一個數(shù)與0相加，仍得_________減法減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的

，即a－b＝a＋（－b）

乘法（1）兩數(shù)相乘，同號得

，異號得

，并把絕對值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得

；（3）幾個不是0的數(shù)相乘，當負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為

；當負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為_________相同相加絕對值較大的較小的0這個數(shù)相反數(shù)正負0負數(shù)正數(shù)內容種類法則有理數(shù)的運算

除法（1）除以一個不等于0的數(shù)，等于

這個數(shù)的

.即a÷b＝a×（b≠0）；（2）兩數(shù)相除，同號得

，異號得

，并把絕對值相除；（3）0除以任何一個

的數(shù)，都得0

乘方求n個相同因數(shù)的

的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記作

；a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)

運算順序（1）先算

，再算

，最后算

；（2）在同一級運算中，要從

至

依次進行運算；（3）有括號的要先算括號內的，按小括號、中括號、大括號依次進行

乘倒數(shù)正負不等于0積an乘方、開方乘除加減左右內容種類法則

運算律加法交換律a＋b＝b＋a加法結合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交換律ab＝ba乘法結合律（ab）c＝a（bc）乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac例4

（2025·新華）在數(shù)學活動課上，楊老師設計了一個游戲活動.如圖所示的A，B，C，D分別代表一種運算，可以任意排列，每次排列代表一種運算順序.根據(jù)以上規(guī)則，解答下列問題：（1）計算－1經(jīng)過C→A→B的順序所得式子的運算結果；分析：根據(jù)題意列出運算式子，然后根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則求解即可；解：由題意可得，（－1－2）2×4＝9×4＝36；（2）若x經(jīng)過A→C→D的順序所得的結果記為M，經(jīng)過C→B→D的順序所得的結果記為N，發(fā)現(xiàn)無論x取何值時，M－N的值均為非負數(shù)，請說明理由.分析：依題意得到M＝x2－2＋3＝x2＋1，N＝（x－2）×4＋3＝4x－5，得到M－N＝x2＋1－（4x－5）＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2＞0，即可得到結論.解：依題意，得M＝x2－2＋3＝x2＋1，N＝（x－2）×4＋3＝4x－5，∴M－N＝x2＋1－（4x－5）＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2＞0.∴無論x取何值時，M－N的值均為非負數(shù).本題考查了有理數(shù)的混合運算的應用，讀懂題意，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.11.（2025·河北）（1）一道習題及其錯誤的解答過程如下：計算：（－6）×.解：原式＝－6×＋6×－6×……第一步＝－3＋4－5……第二步＝－4……第三步請指出在第幾步開始出現(xiàn)錯誤，并選擇你喜歡的方法寫出正確的解答過程.解：原解題步驟從第一步開始出現(xiàn)錯誤，正確解答過程如下：

＝－3－4＋5＝－2；

12.（2025·定海區(qū)）