2025年線性代數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)向版試題一、行列式部分（共25分）（一）選擇題（每題3分，共9分）設(shè)四階行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=5$，則行列式$\begin{vmatrix}2a_{11}&-a_{12}&3a_{13}&a_{14}\2a_{21}&-a_{22}&3a_{23}&a_{24}\2a_{31}&-a_{32}&3a_{33}&a_{34}\2a_{41}&-a_{42}&3a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=$（）A.-30B.30C.-60D.60若行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}=0$，則其代數(shù)余子式$A_{23}=$（）A.-6B.6C.-3D.3設(shè)$A$為三階方陣，且$|A|=2$，則$|3A^{-1}-2A^|=$（）（其中$A^$為伴隨矩陣）A.-4B.-1C.1D.4（二）計(jì)算題（10分）計(jì)算n階行列式$D_n=\begin{vmatrix}x&a&a&\cdots&a\a&x&a&\cdots&a\a&a&x&\cdots&a\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a&a&a&\cdots&x\end{vmatrix}$（三）應(yīng)用題（6分）某通信系統(tǒng)需傳輸4路信號(hào)，其傳輸矩陣的行列式值決定信號(hào)穩(wěn)定性。若傳輸矩陣為$A=\begin{pmatrix}1&k&2\2&1&3\k&0&1\end{pmatrix}$，求使系統(tǒng)穩(wěn)定（即行列式非零）的$k$的取值范圍。二、矩陣部分（共30分）（一）填空題（每題3分，共9分）設(shè)$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix}$，則$AB-BA=$________。矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0&0\2&2&0\3&4&5\end{pmatrix}$的逆矩陣$A^{-1}=$________。設(shè)矩陣$A$滿足$A^2-3A+2E=O$，則$A^{-1}=$________。（二）計(jì)算題（12分）已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\1&3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\5&3\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&3\2&0\3&1\end{pmatrix}$，解矩陣方程$AXC=B$。（三）證明題（9分）設(shè)$A$為n階方陣，證明：（1）若$A^T=-A$（反對(duì)稱矩陣），則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$|A|=0$；（2）若$A^2=E$且$A\neqE$，則$|A+E|=0$。三、線性方程組部分（共25分）（一）選擇題（每題3分，共6分）若非齊次線性方程組$Ax=b$有唯一解，則其導(dǎo)出組$Ax=0$（）A.僅有零解B.有非零解C.無解D.解不確定設(shè)$A$是$m\timesn$矩陣，且$r(A)=r$，則方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（）A.$m-r$B.$n-r$C.$r-m$D.$r-n$（二）計(jì)算題（14分）已知線性方程組：$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\2x_1+3x_2+x_3+x_4=0\x_1+kx_2+2x_3+2x_4=0\4x_1+5x_2+3x_3+3x_4=k-1\end{cases}$（1）當(dāng)$k$為何值時(shí)，方程組有唯一解、無解、無窮多解？（2）在有無窮多解時(shí)，求其通解（用基礎(chǔ)解系表示）。（三）應(yīng)用題（5分）某物流公司需調(diào)配3種運(yùn)輸車輛共10輛，已知A型車每輛載重5噸，B型車3噸，C型車2噸，總載重需滿足40噸。若設(shè)$x_1,x_2,x_3$分別為三種車型數(shù)量，列出方程組并判斷解的情況。四、向量組與向量空間（共20分）（一）選擇題（每題3分，共6分）向量組$\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(2,4,6)$，$\alpha_3=(1,0,1)$的秩為（）A.1B.2C.3D.無法確定設(shè)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三維向量空間$R^3$的一組基，則下列向量組中仍為$R^3$基的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$C.$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$D.$\alpha_1,2\alpha_1,3\alpha_1$（二）計(jì)算題（14分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,1,3)^T$，$\alpha_2=(-1,-3,5,1)^T$，$\alpha_3=(3,2,-1,p+2)^T$，$\alpha_4=(-2,-6,10,p)^T$（1）求該向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組；（2）當(dāng)$p$為何值時(shí)，$\alpha_4$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性表示？并寫出表達(dá)式。五、特征值與二次型（共25分）（一）填空題（每題3分，共6分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$，則其特征值為________，對(duì)應(yīng)的特征向量為________。二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3$的矩陣為________。（二）計(jì)算題（12分）已知矩陣$A=\begin{pmatrix}0&-1&1\-1&0&1\1&1&0\end{pmatrix}$，求正交矩陣$P$，使$P^{-1}AP$為對(duì)角矩陣。（三）應(yīng)用題（7分）某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的生產(chǎn)波動(dòng)可用二次型$f(x_1,x_2)=3x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2$描述，判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定（即二次型是否正定），并說明理由。六、綜合應(yīng)用題（15分）某AI公司需對(duì)用戶畫像數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，原始數(shù)據(jù)矩陣為$A_{500\times4}$（500個(gè)樣本，4個(gè)特征），經(jīng)分析其協(xié)方差矩陣為：$C=\begin{pmatrix}4&2&1&1\2&3&1&0\1&1&2&1\1&0&1&2\end{pmatrix}$（1）求該矩陣的特征值與特征向量；（2）若保留90%信息（即累計(jì)特征值貢獻(xiàn)率≥90%），需保留幾個(gè)主成分？（3）寫出第一主成分的表達(dá)式（用原始特征$x_1,x_2,x_3,x_4$表示）。（注：特征值貢獻(xiàn)率=單個(gè)特征值/特征值總和，計(jì)算結(jié)果保留2位小數(shù)）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）行列式計(jì)算可采用