2025年線性代數(shù)量子機器學習中的量子線路試題一、填空題（每小題3分，共30分）量子線路中，單量子比特Hadamard門的矩陣表示為______，其作用是將基態(tài)|0?變換為______態(tài)。設量子態(tài)|ψ?=α|0?+β|1?，則其密度矩陣ρ的跡tr(ρ2)=，當α=β=√2/2時，ρ的秩為。量子支持向量機（QSVM）中，核函數(shù)K(x,y)的量子實現(xiàn)依賴于______算法，該算法通過量子態(tài)的______估計內(nèi)積距離。三維實空間中的向量(1,2,3)通過振幅嵌入編碼到量子系統(tǒng)時，需要至少______個量子比特，對應的量子態(tài)表示為______。量子神經(jīng)網(wǎng)絡中，參數(shù)化量子門RY(θ)的矩陣形式為______，當θ=π時等價于______門操作。設量子線路包含n個CNOT門和m個T門，其深度（Depth）定義為______，當n=3、m=2且無并行操作時，線路深度為______。量子相位估計（QPE）算法中，若目標算子的特征值為e^(2πiφ)，則經(jīng)過t次測量后，相位φ的估計精度可達______，所需量子比特數(shù)為______。兩量子比特系統(tǒng)的Bell態(tài)|Φ??=（|00?+|11?)/√2，其密度矩陣的部分跡tr?(ρ)=，該結(jié)果表明子系統(tǒng)間存在。量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（QCNN）中，量子卷積核通常由______門和______門組合實現(xiàn)，用于提取量子態(tài)的局部特征。在量子-經(jīng)典混合架構(gòu)中，經(jīng)典優(yōu)化器通過______方法更新量子線路參數(shù)，當使用Adam優(yōu)化器時，參數(shù)更新公式中包含______和二階動量項。二、選擇題（每小題2分，共20分）下列量子門中，不屬于Clifford門集合的是（）A.H門B.CNOT門C.T門D.S門量子態(tài)|ψ?=|0??|1?經(jīng)過CNOT門（控制位為第一量子比特）后的輸出態(tài)為（）A.|00?+|11?B.|01?C.|00?D.|01?+|10?量子機器學習中，用于求解線性方程組Ax=b的量子算法是（）A.HHL算法B.QAOA算法C.VQE算法D.Grover算法下列關(guān)于量子糾纏的說法錯誤的是（）A.兩量子比特最大糾纏態(tài)的馮·諾依曼熵為1B.糾纏態(tài)的密度矩陣不能表示為直積形式C.局部操作無法改變量子態(tài)的糾纏度D.可分離態(tài)的部分轉(zhuǎn)置矩陣一定是正定的量子線路參數(shù)優(yōu)化中，量子自然梯度下降（QNGD）相比經(jīng)典梯度下降的優(yōu)勢在于（）A.收斂速度更快B.所需量子比特更少C.無需經(jīng)典優(yōu)化器D.抗噪聲能力更強三維希爾伯特空間中，量子態(tài)|ψ?=(1,0,0)^T經(jīng)過酉變換U=diag(1,i,-1)后，測量到|2?態(tài)的概率為（）A.0B.1/3C.1/2D.1量子主成分分析（QPCA）中，通過量子奇異值分解得到的主成分對應于密度矩陣的（）A.特征向量B.奇異向量C.本征值D.跡下列量子線路組件中，用于實現(xiàn)經(jīng)典數(shù)據(jù)到量子態(tài)轉(zhuǎn)換的是（）A.量子存儲器B.量子編碼器C.量子解碼器D.量子寄存器設量子算法復雜度為O(logN)，對應的經(jīng)典算法復雜度為O(N2)，當N=21?時，量子加速比約為（）A.102B.10?C.10?D.10?量子糾錯碼中，Steane碼的碼距為3，可糾正（）A.1個比特翻轉(zhuǎn)錯誤B.1個相位錯誤C.任意單量子錯誤D.2個比特錯誤三、計算題（共40分）1.量子態(tài)演化與測量（10分）已知初始量子態(tài)|ψ??=|0?，經(jīng)過如下量子線路操作：H門→2.CNOT(控制位q0，目標位q1)→3.Z門(q0)→4.測量q0和q1（1）寫出各步驟的量子態(tài)表示；（2）計算測量結(jié)果為|00?、|01?、|10?、|11?的概率；（3）若在步驟3后添加H門(q1)，求最終密度矩陣的非對角元。2.量子支持向量機（10分）給定訓練樣本x?=(0,1)，x?=(1,0)，標簽y?=1，y?=-1，使用量子核函數(shù)K(x,y)=?φ(x)|φ(y)?實現(xiàn)二分類：（1）設計量子特征映射φ(x)，寫出x?對應的量子態(tài)|φ(x?)?；（2）計算量子核矩陣K，判斷樣本是否線性可分；（3）若使用量子近似優(yōu)化算法（QAOA）求解最大間隔，寫出目標哈密頓量的表達式。3.參數(shù)化量子線路優(yōu)化（10分）量子神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)如下：q0:H→RY(θ?)→CNOT(控制q0,目標q1)q1:H→RY(θ?)→RX(θ?)（1）寫出該線路的輸出態(tài)|ψ(θ?,θ?,θ?)?的數(shù)學表達式；（2）當測量可觀測量Z?Z時，推導期望值?Z?Z?關(guān)于θ?的梯度；（3）若損失函數(shù)L=1-?Z?Z?，使用量子梯度下降法更新θ?（學習率η=0.1，初始θ?=0）。4.量子線性代數(shù)應用（10分）解量子線性方程組Ax=b，其中A=[[1,2],[2,5]]，b=[1,1]^T：（1）計算A的特征值和特征向量；（2）使用HHL算法求解時，需準備的輸入量子態(tài)|b?和酉算子U分別是什么？（3）若測量結(jié)果的概率分布為P(0)=0.3，P(1)=0.7，求方程組的近似解x。四、證明題（10分）設量子線路由參數(shù)化酉算子U(θ)構(gòu)成，其輸出態(tài)為|ψ(θ)?=U(θ)|0?，定義損失函數(shù)L(θ)=?ψ(θ)|H|ψ(θ)?，其中H為Hermitian算子。證明：損失函數(shù)的梯度?θL(θ)=2Re[?ψ(θ)|HdU/dθU?|ψ(θ)?]；當H=Z?I時，?θL(θ)可通過測量Pauli算子X和Y的期望值計算。五、設計題（20分）針對MNIST數(shù)據(jù)集的手寫數(shù)字識別任務，設計一個量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（QCNN）：說明經(jīng)典圖像數(shù)據(jù)的量子編碼方案（包括降維方法和量子態(tài)表示）；設計2層量子卷積模塊，要求包含參數(shù)化量子門和糾纏操作；繪制完整量子線路圖（含輸入層、卷積層、池化層、全連接層）；分析該QCNN相比經(jīng)典CNN在計算復雜度和表達能力上的優(yōu)勢。六、解答要點提示填空題參考答案[11;1-1]/√2，(|0?+|1?)/√2|α|?+|β|?，1量子振幅放大，交換測試2，(1|00?+2|01?+3|10?)/√14[cosθ/2-sinθ/2;sinθ/2cosθ/2]，X最長操作路徑包含的門數(shù)量，51/2^t，t+1[10;00]，量子糾纏CNOT，Toffoli參數(shù)偏移規(guī)則，一階動量計算題第1題思路（1）態(tài)演化過程：|ψ??=|00?|ψ??=(|00?+|10?)/√2|ψ??=(|00?+|11?)/√2|ψ??=(|00?-|11?)/√2（2）測量概率：P(|00?)=P(|11?)=1/2，P(|01?)=P(|10?)=0（3）添加H門后，密度矩陣非對角元為?01|ρ|10?=-1/2證明題關(guān)鍵步驟利用?θ?ψ|H|ψ?=?dψ/dθ|H|ψ?+?ψ|H|dψ/dθ?，結(jié)合|dψ/dθ?=dU/dθU?|ψ?當H=Z?I時，dU/dθU?=i/2Σσ?σ?，通過測量X和Y的期望值獲得虛部貢獻本試題涵蓋量子計算與線性代數(shù)的