2025年線性代數(shù)能力層級(jí)分布明確版試題一、基礎(chǔ)認(rèn)知層（共30分）（一）選擇題（每題3分，共15分）設(shè)三階行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=5$，則行列式$\begin{vmatrix}2a_{11}&2a_{12}&2a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$（）A.5B.10C.20D.40設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\7&8\end{pmatrix}$，則$AB$的第2行第1列元素為（）A.23B.34C.19D.26向量組$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,0)^T$的線性相關(guān)性為（）A.線性無(wú)關(guān)B.線性相關(guān)，且$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$C.線性相關(guān)，且$\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$D.無(wú)法判定線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2=1\2x_1+2x_2=3\end{cases}$的解的情況是（）A.唯一解B.無(wú)窮多解C.無(wú)解D.僅有零解二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2$對(duì)應(yīng)的矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}1&4\4&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&2\2&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1\3&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0\0&3\end{pmatrix}$（二）填空題（每題3分，共15分）行列式$\begin{vmatrix}0&0&1\0&2&0\3&0&0\end{vmatrix}=$________。設(shè)矩陣$A$為3階方陣，且$|A|=2$，則$|A^{-1}|=$________。向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,6)^T$的秩為_(kāi)_______。矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$的特征值之和為_(kāi)_______（提示：特征值之和等于矩陣的跡）。若二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+tx_3^2$正定，則$t$的取值范圍是________。二、綜合應(yīng)用層（共60分）（一）計(jì)算題（每題10分，共30分）計(jì)算四階行列式$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$。設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix}$，求$A^{-1}$（要求用初等行變換法）。求解線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=2\x_1+2x_2+3x_3=4\2x_1+3x_2+4x_3=7\end{cases}$，并用基礎(chǔ)解系表示通解。（二）解答題（每題15分，共30分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,t)^T$，問(wèn)：（1）當(dāng)$t$為何值時(shí)，該向量組線性無(wú)關(guān)？（2）當(dāng)$t$為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并求出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix}$，求：（1）$A$的特征值與特征向量；（2）判斷$A$是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，求出可逆矩陣$P$和對(duì)角矩陣$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$。三、拓展創(chuàng)新層（共60分）（一）證明題（每題15分，共30分）設(shè)$A$為$n$階方陣，且$A^2=A$（冪等矩陣），證明：（1）$R(A)+R(E-A)=n$（其中$R(\cdot)$表示矩陣的秩，$E$為單位矩陣）；（2）$A$可對(duì)角化。設(shè)$A$為$n$階正定矩陣，證明：（1）$A^{-1}$也是正定矩陣；（2）對(duì)任意正整數(shù)$k$，$A^k$也是正定矩陣。（二）應(yīng)用題（每題15分，共30分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗A、B兩種原材料的數(shù)量如下表所示：產(chǎn)品原材料A（kg/件）原材料B（kg/件）甲23乙12丙31若工廠現(xiàn)有A原材料100kg，B原材料120kg，且甲、乙、丙三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為5元/件、4元/件、3元/件，試建立線性規(guī)劃模型，求利潤(rùn)最大化時(shí)的生產(chǎn)方案（只需列出模型，無(wú)需求解）。設(shè)三維向量空間$V$的一組基為$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$，$\alpha_3=(0,0,1)^T$，線性變換$T$滿(mǎn)足：$T(\alpha_1)=\alpha_1+\alpha_2$，$T(\alpha_2)=\alpha_2+\alpha_3$，$T(\alpha_3)=\alpha_3+\alpha_1$，求：（1）$T$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$下的矩陣$A$；（2）向量$\beta=(1,1,1)^T$在$T$作用下的像$T(\beta)$。四、探究挑戰(zhàn)層（共50分）（一）綜合題（25分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}a&1&1\1&a&1\1&1&a\end{pmatrix}$，（1）求$A$的特征值和特征向量；（2）討論$A$的對(duì)角化可能性，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)$a=1$時(shí)，求正交矩陣$Q$，使得$Q^TAQ$為對(duì)角矩陣。（二）開(kāi)放題（25分）已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3$，（1）寫(xiě)出該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣$B$；（2）用正交變換法將$f$化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出正交變換矩陣；（3）結(jié)合二次型的幾何意義，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)的含義，并舉例說(shuō)明該二次型在優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用（至少列舉2個(gè)場(chǎng)景）。五、能力層級(jí)說(shuō)明基礎(chǔ)認(rèn)知層：主要考查行列式計(jì)算、矩陣運(yùn)算、線性相關(guān)性、線性方程組求解、二次型表示等基本概念和公式，覆蓋教學(xué)大綱中“了解”和“掌握”層級(jí)的要求，對(duì)應(yīng)課程目標(biāo)中的“知識(shí)記憶與簡(jiǎn)單應(yīng)用”能力。綜合應(yīng)用層：通過(guò)行列式化簡(jiǎn)、逆矩陣求解、向量組秩分析、特征值計(jì)算等題型，考查對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，對(duì)應(yīng)“理解與綜合應(yīng)用”能力層級(jí)。拓展創(chuàng)新層：結(jié)合