2025年線性代數(shù)社會(huì)計(jì)算中的意見(jiàn)動(dòng)力學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)意見(jiàn)傳播模型中，若個(gè)體觀點(diǎn)向量為$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T$，鄰接矩陣$A$表示社交關(guān)系強(qiáng)度，其中$A_{ij}=0.5$（$i\neqj$）且對(duì)角線元素為0，則經(jīng)過(guò)一次加權(quán)平均更新后，節(jié)點(diǎn)1的新觀點(diǎn)值為：A.$0.5x_2+0.5x_3$B.$0.33x_1+0.33x_2+0.34x_3$C.$0.25x_1+0.75x_2$D.$x_1+0.5x_2+0.5x_3$DeGroot模型中，群體觀點(diǎn)收斂的充要條件是轉(zhuǎn)移矩陣$P$滿足：A.存在特征值$\lambda=1$且代數(shù)重?cái)?shù)為1B.所有特征值模長(zhǎng)均大于1C.矩陣$P$為對(duì)稱(chēng)正定矩陣D.秩$r(P)=n$（$n$為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)）設(shè)某社交網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣$L=D-A$，其中度矩陣$D=\text{diag}(3,2,2)$，鄰接矩陣$A$的非零元素為$A_{12}=A_{21}=1$，$A_{13}=A_{31}=1$，$A_{23}=A_{32}=1$，則該網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)連通度（第二小特征值）為：A.0B.1C.2D.3在Friedkin-Johnsen模型中，個(gè)體固執(zhí)系數(shù)向量$\mathbf{s}=(0.2,0.5,0.3)^T$，初始觀點(diǎn)$\mathbf{x}(0)=(1,0,-1)^T$，轉(zhuǎn)移矩陣$P=\begin{bmatrix}0&0.5&0.5\0.4&0&0.6\0.3&0.7&0\end{bmatrix}$，則穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)$\mathbf{x}^$滿足：A.$\mathbf{x}^=(I-(I-S)P)^{-1}S\mathbf{x}(0)$B.$\mathbf{x}^*=(I-P)^{-1}S\mathbf{x}(0)$C.$\mathbf{x}^*=S\mathbf{x}(0)+(I-S)P\mathbf{x}^$D.$\mathbf{x}^=\lim_{t\to\infty}P^t\mathbf{x}(0)$考慮二維觀點(diǎn)向量$\mathbf{x}=(x_1,x_2)^T$表示個(gè)體對(duì)“技術(shù)發(fā)展”和“環(huán)境政策”的態(tài)度，協(xié)方差矩陣$\Sigma=\begin{bmatrix}2&1\1&3\end{bmatrix}$，則兩個(gè)議題觀點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)為：A.$\frac{1}{\sqrt{6}}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{\sqrt{2}}$D.$\frac{\sqrt{6}}{6}$二、填空題（每題5分，共25分）設(shè)$n$個(gè)個(gè)體的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)滿足$\mathbf{x}(t+1)=P\mathbf{x}(t)$，若$P$為隨機(jī)矩陣且存在唯一不動(dòng)點(diǎn)$\mathbf{x}^$，則$\mathbf{x}^$的所有分量之和等于________（用初始觀點(diǎn)向量$\mathbf{x}(0)$表示）。某社交網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣$A=\begin{bmatrix}0&1&1\1&0&0\1&0&0\end{bmatrix}$，則節(jié)點(diǎn)1的特征向量中心性（對(duì)應(yīng)最大特征值的特征向量分量）為_(kāi)_______。用二次型表示群體觀點(diǎn)分歧度：$f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}(x_i-x_j)^2$，其中$w_{ij}$為權(quán)重，則其矩陣形式為$f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TL\mathbf{x}$，其中$L$是________矩陣。在有向網(wǎng)絡(luò)中，若轉(zhuǎn)移矩陣$P$的特征值為$\lambda_1=1,\lambda_2=0.5,\lambda_3=-0.3$，則觀點(diǎn)收斂速度主要由特征值________決定。考慮3個(gè)個(gè)體的Sznajd模型，初始觀點(diǎn)狀態(tài)為$(1,-1,1)$（1表示支持，-1表示反對(duì)），按規(guī)則“若兩個(gè)相鄰個(gè)體觀點(diǎn)相同，則其所有鄰居觀點(diǎn)變?yōu)樵撝怠?，則經(jīng)過(guò)一次迭代后的狀態(tài)為_(kāi)_______。三、計(jì)算題（共40分）（12分）在Twitter-like社交網(wǎng)絡(luò)中，5個(gè)用戶的關(guān)注關(guān)系構(gòu)成有向圖，鄰接矩陣為：$$A=\begin{bmatrix}0&1&0&0&0\0&0&1&1&0\1&0&0&0&0\0&0&1&0&1\0&0&0&1&0\end{bmatrix}$$（1）計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的GooglePageRank向量（阻尼系數(shù)$\alpha=0.85$，teleport概率均勻分布）；（2）若用戶觀點(diǎn)更新規(guī)則為$x_i(t+1)=\frac{1}{k_i^{out}}\sum_{j\toi}x_j(t)$（$k_i^{out}$為出度），初始觀點(diǎn)$\mathbf{x}(0)=(10,20,30,40,50)^T$，求$t=2$時(shí)的觀點(diǎn)向量$\mathbf{x}(2)$。（14分）考慮連續(xù)型觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型：$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=-L\mathbf{x}+\mathbf{u}$，其中$L$為拉普拉斯矩陣，$\mathbf{u}$為外部觀點(diǎn)輸入。（1）給定無(wú)向網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣$A=\begin{bmatrix}0&1&1\1&0&1\1&1&0\end{bmatrix}$，求$L$的特征值與特征向量；（2）若$\mathbf{u}=(1,1,1)^T$，證明系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)解并求其解析表達(dá)式；（3）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2的連接斷裂（$A_{12}=A_{21}=0$），分析穩(wěn)態(tài)觀點(diǎn)的變化趨勢(shì)。（14分）某在線社區(qū)的觀點(diǎn)演化服從Hegselmann-Krause(HK)模型：個(gè)體$i$在時(shí)刻$t$的觀點(diǎn)$x_i(t)$滿足：$$x_i(t+1)=\frac{1}{|N_i(t)|+1}\left(x_i(t)+\sum_{j\inN_i(t)}x_j(t)\right)$$其中$N_i(t)={j||x_i(t)-x_j(t)|\leq\epsilon}$為置信鄰域，$\epsilon=0.5$。（1）初始觀點(diǎn)$\mathbf{x}(0)=(0,0.3,0.6,0.9,1.2)^T$，計(jì)算$t=1$時(shí)的觀點(diǎn)向量；（2）若將HK模型改寫(xiě)為線性近似形式$\mathbf{x}(t+1)=(I+W)\mathbf{x}(t)$，確定權(quán)重矩陣$W$的非零元素；（3）分析當(dāng)$\epsilon\to0$和$\epsilon\to\infty$時(shí)，模型分別退化為哪種經(jīng)典模型。四、證明題（15分）設(shè)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)$\mathbf{x}(t+1)=P\mathbf{x}(t)+\mathbf$，其中$P$為$n\timesn$矩陣，$\rho(P)<1$（譜半徑小于1），$\mathbf$為常向量。（1）證明系統(tǒng)存在唯一穩(wěn)態(tài)解$\mathbf{x}^*=(I-P)^{-1}\mathbf$；（2）若$\mathbf=\mathbf{0}$，且初始觀點(diǎn)$\mathbf{x}(0)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$，其中$\mathbf{v}_1$是對(duì)應(yīng)特征值$\lambda_1$的特征向量，$\mathbf{v}2$是對(duì)應(yīng)特征值$\lambda_2$的特征向量，證明$\lim{t\to\infty}\mathbf{x}(t)=\mathbf{0}$；（3）在社會(huì)計(jì)算中，如何設(shè)計(jì)$\mathbf$使得群體觀點(diǎn)收斂于預(yù)設(shè)的共識(shí)值$c$？五、建模分析題（30分）社交媒體平臺(tái)中的“信息繭房”現(xiàn)象可建模為觀點(diǎn)極化過(guò)程：（1）構(gòu)建一個(gè)包含10個(gè)個(gè)體的混合網(wǎng)絡(luò)（5個(gè)自由派+5個(gè)保守派），用鄰接矩陣$A$表示初始連接（同派系連接概率0.8，跨派系0.2）；（2）采用BoundedConfidence模型模擬觀點(diǎn)演化，設(shè)置參數(shù)$\epsilon_1$（派系內(nèi)置信度）=0.6，$\epsilon_2$（派系間置信度）=0.2，初始觀點(diǎn)服從$N(0.2,0.1^2)$（自由派）和$N(0.8,0.1^2)$（保守派）；（3）計(jì)算演化過(guò)程中的極化指數(shù)$P=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}(x_i-x_j)^2$，用矩陣運(yùn)算表示$P$并分析其隨時(shí)間變化趨勢(shì)；（4）若引入2個(gè)“橋梁節(jié)點(diǎn)”（與兩派系均有高連接），設(shè)計(jì)其觀點(diǎn)更新規(guī)則以緩解極化，并通過(guò)特征值分析解釋機(jī)制?？紤]疫情期間的健康信息傳播：（1）用有向圖表示政府（G）、專(zhuān)家（E）、媒體（M）、公眾（P1-P5）的信息傳播路徑，寫(xiě)出轉(zhuǎn)移矩陣$P$（政府對(duì)專(zhuān)家影響力0.9，媒體對(duì)公眾影響力0.7）；（2）設(shè)初始信任度向量$\mathbf{x}(0)=(1,0.8,0.6,0.3,0.3,0.3,0.3)^T$（G,E,M,P1-P5），固執(zhí)系數(shù)$\mathbf{s}=(0,0,0,0.4,0.4,0.4,0.4)^T$，用Friedkin-Johnsen模型預(yù)測(cè)穩(wěn)態(tài)信任度；（3）若政府發(fā)布權(quán)威信息使$\mathbf{s}_G$從0變?yōu)?.5，分析對(duì)公眾信任度的影響（用矩陣擾動(dòng)理論解釋?zhuān)?。（附加題，10分）在元宇宙社交中，用戶觀點(diǎn)為三維向量（技術(shù)接受度、社交活躍度、消費(fèi)意愿），協(xié)方差矩陣$\Sigma=\begin{bmatrix}4&2&1\2&5&3\1&3&6\end{bmatrix}$：（1）用主成分分析（PCA）提取第一主成分，解釋其社會(huì)意義；（2）若某用戶觀點(diǎn)向量$\mathbf{x}=(3,4,5)^T$，