2025年線性代數(shù)公共衛(wèi)生事件應(yīng)對試題一、矩陣模型在疫情傳播預(yù)測中的應(yīng)用（本大題共3小題，共40分）1.1基礎(chǔ)傳播矩陣構(gòu)建2025年8月，某高校突發(fā)水痘疫情，24名學(xué)生確診（數(shù)據(jù)來源：浙江省2025年第三季度突發(fā)公共衛(wèi)生事件通報）。假設(shè)該校共有5個宿舍區(qū)，每日新增病例數(shù)服從以下傳播規(guī)律：[\begin{bmatrix}x_1(t+1)\x_2(t+1)\x_3(t+1)\x_4(t+1)\x_5(t+1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.2&0.1&0&0&0\0.1&0.3&0.2&0&0\0&0.2&0.4&0.1&0\0&0&0.1&0.3&0.2\0&0&0&0.2&0.2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t)\x_2(t)\x_3(t)\x_4(t)\x_5(t)\end{bmatrix}]其中(x_i(t))表示第(t)天第(i)宿舍區(qū)的確診人數(shù)。若初始確診分布為(\mathbf{x}(0)=[3,5,8,4,4]^T)，請回答：（1）計(jì)算第2天的確診人數(shù)向量(\mathbf{x}(2))；（2）若該校采取隔離措施后，傳播矩陣第3行第3列元素從0.4降至0.1，分析疫情擴(kuò)散速度的變化。1.2特征值與疫情峰值預(yù)測2025年9月，安徽省報告病毒性肝炎、梅毒、肺結(jié)核、新型冠狀病毒感染、淋病五類乙類傳染病共13375例（占乙類傳染病發(fā)病總數(shù)的97.29%）。假設(shè)某傳染病的傳播動力學(xué)模型滿足(\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x})，其中(A)為3階傳播矩陣，特征值分別為(\lambda_1=0.8)，(\lambda_2=-0.3)，(\lambda_3=0.2)。（1）判斷該疫情是否會達(dá)到峰值？若會，解釋依據(jù)；（2）若通過疫苗接種使最大特征值降至0.5，計(jì)算疫情規(guī)模衰減至初始值10%所需的時間（精確到整數(shù)天）。1.3馬爾可夫鏈與群體免疫策略全球霍亂疫情持續(xù)蔓延，蘇丹2025年累計(jì)報告69567例疑似病例，死亡1924例（數(shù)據(jù)來源：北京市疾控中心全球疫情通報）。假設(shè)某地區(qū)人群分為易感者（S）、感染者（I）、康復(fù)者（R）三類，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：[P=\begin{bmatrix}0.9&0.1&0\0&0.7&0.3\0.2&0&0.8\end{bmatrix}]其中(P_{ij})表示從狀態(tài)(j)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(i)的概率。若初始狀態(tài)向量(\mathbf{\pi}(0)=[0.95,0.04,0.01])，求：（1）第3個月的狀態(tài)分布(\mathbf{\pi}(3))；（2）計(jì)算該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，并評估“60%康復(fù)者”群體免疫目標(biāo)的可行性。二、線性方程組在資源調(diào)配中的應(yīng)用（本大題共2小題，共30分）2.1醫(yī)療物資分配模型某省在2025年第三季度突發(fā)公共衛(wèi)生事件中，需向龍游縣水痘疫情（24人發(fā)病）和另一起霍亂疫情（假設(shè)發(fā)病100人）調(diào)配防護(hù)服、呼吸機(jī)和檢測試劑盒三類物資。已知：水痘疫情：每人每日需2套防護(hù)服、0臺呼吸機(jī)、5份試劑盒；霍亂疫情：每人每日需3套防護(hù)服、0.1臺呼吸機(jī)、8份試劑盒；省級儲備庫現(xiàn)有物資：防護(hù)服5000套、呼吸機(jī)50臺、試劑盒20000份。設(shè)(x)為水痘疫情持續(xù)天數(shù)，(y)為霍亂疫情持續(xù)天數(shù)，建立線性方程組并求解：（1）物資剛好耗盡時的(x)和(y)；（2）若呼吸機(jī)儲備增加10臺，求新的解空間，并分析醫(yī)療資源冗余度。2.2疫苗供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)流廣元市在重大疾病防控工作中提出“健全疫苗供應(yīng)保障體系”（2025年全市重大疾病防控工作視頻會議）。假設(shè)某疫苗生產(chǎn)基地（節(jié)點(diǎn)V1）需通過3個中轉(zhuǎn)倉庫（V2、V3、V4）向5個區(qū)縣（V5-V9）配送，網(wǎng)絡(luò)流容量如下表：起點(diǎn)終點(diǎn)最大容量（萬劑/天）V1V215V1V320V2V410V3V412V4V58V4V615（1）用Ford-Fulkerson算法求從V1到V6的最大流；（2）若V3-V4路段因暴雨中斷，重新計(jì)算最大流并評估對疫苗配送的影響。三、二次型與防控策略優(yōu)化（本大題共2小題，共30分）3.1風(fēng)險評估的二次型模型浙江省2025年三季度新增1起一般突發(fā)公共衛(wèi)生事件（水痘疫情），2024年同期為霍亂疫情（發(fā)病1人）。某地區(qū)采用二次型函數(shù)評估疫情風(fēng)險：[Q(\mathbf{x})=2x_1^2+3x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3]其中(x_1)為發(fā)病率，(x_2)為傳播速度，(x_3)為醫(yī)療資源缺口。（1）寫出該二次型對應(yīng)的矩陣(A)，并判斷其正定性；（2）若(\mathbf{x}=[0.02,0.5,0.1]^T)，計(jì)算風(fēng)險值(Q(\mathbf{x}))，并與2024年同期(\mathbf{x}=[0.01,0.3,0.05]^T)的風(fēng)險值對比。3.2線性規(guī)劃與防控成本最小化布隆迪2025年累計(jì)報告霍亂病例1572例，死亡6例（病死率0.38%）。某國際組織計(jì)劃向布隆迪提供醫(yī)療援助，需確定檢測試劑盒（單價10美元）和口服補(bǔ)液鹽（單價5美元）的采購量，滿足：檢測需求：至少覆蓋1800例疑似病例；治療需求：每例確診病例需10盒口服補(bǔ)液鹽；預(yù)算約束：總費(fèi)用不超過30000美元。設(shè)(x)為試劑盒采購量，(y)為口服補(bǔ)液鹽采購量，建立線性規(guī)劃模型并求解：（1）在滿足所有約束條件下，最小化采購成本；（2）若病死率每降低0.1%需額外投入5000美元，分析是否應(yīng)追加預(yù)算。四、綜合應(yīng)用題（本大題共1小題，共20分）4.1多維數(shù)據(jù)下的疫情防控決策2025年全球公共衛(wèi)生事件呈現(xiàn)復(fù)合型挑戰(zhàn)：非洲霍亂疫情（蘇丹、布隆迪等國）與東南亞登革熱疫情疊加；浙江省水痘疫情與安徽省多類傳染病并存；新型冠狀病毒感染仍在乙類傳染病中占比前列。某國際衛(wèi)生組織需基于以下數(shù)據(jù)制定防控策略：|指標(biāo)|非洲區(qū)域|東南亞區(qū)域|中國東部區(qū)域||---------------------|----------|------------|--------------||病例增長率（%）|12|8|3||醫(yī)療資源缺口率（%）|45|25|8||防控響應(yīng)速度（天）|7|5|2|（1）構(gòu)建3×3數(shù)據(jù)矩陣(B)，使用主成分分析法提取第一主成分，并解釋其含義；（2）若投入100萬美元援助，按各區(qū)域第一主成分得分分配資金，計(jì)算中國東部區(qū)域的分配金額；（3）結(jié)合矩陣論知識，提出一種動態(tài)調(diào)整援助方案的數(shù)學(xué)模型。五、開放性問題（本大題共1小題，共20分）5.1線性代數(shù)在智慧疾控中的創(chuàng)新應(yīng)用廣元市“重大疾病防控工作視頻會議”強(qiáng)調(diào)“織密監(jiān)測預(yù)警網(wǎng)絡(luò)”。結(jié)合2025年公共衛(wèi)生事件數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)一個基于線性代數(shù)的智慧疾控系統(tǒng)框架，包含：（1）用矩陣分解技術(shù)整合多源疫情