2025年線性代數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)中的查詢優(yōu)化試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共10題）在數(shù)據(jù)庫(kù)查詢優(yōu)化中，矩陣的秩可用于分析連接操作的復(fù)雜度。若兩個(gè)關(guān)系表的連接矩陣秩為r，下列說(shuō)法正確的是（）A.連接結(jié)果的元組數(shù)量必為rB.該矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)C.可通過(guò)秩判定連接操作是否存在冗余計(jì)算D.秩越大表示連接效率越高設(shè)數(shù)據(jù)庫(kù)索引對(duì)應(yīng)的特征向量為α?=(1,0,2)?，α?=(0,1,-1)?，查詢條件向量為β=(3,2,4)?，若β可由α?,α?線性表示，則該查詢（）A.可通過(guò)索引加速，無(wú)需全表掃描B.需進(jìn)行表連接操作C.存在查詢條件沖突D.必須使用哈希索引給定查詢代價(jià)矩陣A=，其特征值λ?=5，λ?=1，則該查詢的最優(yōu)執(zhí)行計(jì)劃對(duì)應(yīng)（）A.特征值λ?對(duì)應(yīng)的特征向量方向B.特征值λ?對(duì)應(yīng)的特征向量方向C.矩陣A的行最簡(jiǎn)形D.矩陣A的伴隨矩陣在分布式數(shù)據(jù)庫(kù)中，某節(jié)點(diǎn)的查詢負(fù)載向量為x=(2,3,1)?，負(fù)載轉(zhuǎn)移矩陣P=，則經(jīng)過(guò)一次負(fù)載均衡后，該節(jié)點(diǎn)負(fù)載為（）A.8B.10C.12D.14設(shè)關(guān)系表R的屬性矩陣A為m×n階，且r(A)=k，下列關(guān)于查詢優(yōu)化的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.可通過(guò)矩陣分解減少I/O操作B.索引設(shè)計(jì)應(yīng)基于矩陣的列向量相關(guān)性C.當(dāng)k=n時(shí)，查詢條件需滿足線性無(wú)關(guān)D.可利用奇異值分解（SVD）壓縮查詢結(jié)果數(shù)據(jù)庫(kù)事務(wù)的ACID特性中，原子性（Atomicity）可通過(guò)下列哪種線性代數(shù)工具建模（）A.行列式B.正交矩陣C.初等變換D.線性空間的基設(shè)某查詢的執(zhí)行代價(jià)函數(shù)為f(x)=x?Ax+b?x+c，其中A為正定矩陣，則最優(yōu)解x滿足（）A.Ax=bB.Ax*=-bC.A?x*=bD.A?x*=-b在時(shí)序數(shù)據(jù)庫(kù)中，某指標(biāo)的采樣向量為v?=(1,2,3)?，v?=(4,5,6)?，v?=(7,8,9)?，其協(xié)方差矩陣的秩為（）A.0B.1C.2D.3設(shè)查詢優(yōu)化器的決策向量空間維度為5，現(xiàn)有3個(gè)獨(dú)立的優(yōu)化策略，則該空間的維數(shù)為（）A.2B.3C.5D.8數(shù)據(jù)庫(kù)索引的選擇性可通過(guò)向量的哪種度量表示（）A.范數(shù)B.內(nèi)積C.夾角余弦D.條件數(shù)二、填空題（每題4分，共5題）設(shè)某查詢涉及3個(gè)關(guān)系表，其連接矩陣的奇異值分解為A=UΣV?，其中Σ=diag(5,3,0)，則該查詢的理論最小計(jì)算復(fù)雜度為______。給定查詢條件向量組α?=(1,2,3)?，α?=(2,4,6)?，α?=(5,1,2)?，該向量組的秩為______，對(duì)應(yīng)的查詢優(yōu)化策略應(yīng)合并______條件。分布式數(shù)據(jù)庫(kù)中，若節(jié)點(diǎn)間通信矩陣為A=，則該系統(tǒng)的通信瓶頸位于第______節(jié)點(diǎn)，可通過(guò)______矩陣變換優(yōu)化數(shù)據(jù)傳輸路徑。設(shè)數(shù)據(jù)庫(kù)緩存的命中率向量為h=(0.8,0.6,0.9)?，查詢頻率向量為f=(100,200,150)?，則加權(quán)命中率為______，優(yōu)化時(shí)應(yīng)優(yōu)先緩存第______類查詢。某查詢的執(zhí)行計(jì)劃可用矩陣表示為P=，則該計(jì)劃的執(zhí)行順序是先進(jìn)行______操作（填“選擇”或“連接”），再進(jìn)行______操作，其時(shí)間復(fù)雜度為O(n______)。三、計(jì)算題（每題15分，共4題）設(shè)關(guān)系表R(A,B,C)的屬性值矩陣為，查詢條件為“B>2且C<5”。（1）寫出該查詢對(duì)應(yīng)的行選擇矩陣P；（2）計(jì)算P與A的乘積，得到查詢結(jié)果矩陣；（3）若對(duì)屬性B建立索引，其索引向量為α=(0,1,0)?，求查詢條件向量在α上的投影，并分析索引有效性。已知數(shù)據(jù)庫(kù)中有兩個(gè)關(guān)系表：學(xué)生表S：(學(xué)號(hào),姓名,專業(yè))，對(duì)應(yīng)矩陣S=（每行代表一個(gè)學(xué)生）成績(jī)表G：(學(xué)號(hào),課程號(hào),成績(jī))，對(duì)應(yīng)矩陣G=（1）用矩陣乘法表示連接查詢“查詢計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的成績(jī)”；（2）若專業(yè)列向量為p=(0,1,0)?（1表示計(jì)算機(jī)專業(yè)），求選擇矩陣Q；（3）計(jì)算查詢結(jié)果矩陣的行數(shù)，并分析該連接操作的時(shí)間復(fù)雜度。某查詢優(yōu)化器采用梯度下降法尋找最優(yōu)執(zhí)行計(jì)劃，設(shè)代價(jià)函數(shù)為f(x,y)=3x2+2y2+2xy+4x+6y，其中x,y為兩個(gè)執(zhí)行參數(shù)。（1）寫出代價(jià)函數(shù)的梯度?f(x,y)；（2）求該函數(shù)的極小值點(diǎn)(x*,y*)；（3）若數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)限制x+y≤5，求約束條件下的最優(yōu)解。分布式數(shù)據(jù)庫(kù)包含3個(gè)節(jié)點(diǎn)，其數(shù)據(jù)分布矩陣為D=（D_ij表示節(jié)點(diǎn)i存儲(chǔ)表j的比例），查詢向量q=(1,0,1)?（1表示需要訪問(wèn)該表）。（1）計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的查詢負(fù)載向量；（2）若負(fù)載均衡目標(biāo)為各節(jié)點(diǎn)負(fù)載方差最小，求負(fù)載轉(zhuǎn)移矩陣T；（3）驗(yàn)證優(yōu)化后各節(jié)點(diǎn)負(fù)載的標(biāo)準(zhǔn)差是否小于0.1。四、證明題（10分）設(shè)數(shù)據(jù)庫(kù)查詢的代價(jià)矩陣A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：（1）A的特征值均為實(shí)數(shù)；（2）若A為正定矩陣，則該查詢存在唯一最優(yōu)執(zhí)行計(jì)劃。五、綜合應(yīng)用題（20分）某電商平臺(tái)數(shù)據(jù)庫(kù)包含用戶表（U）、商品表（P）、訂單表（O），其屬性矩陣分別為：U：m×3（用戶ID、年齡、消費(fèi)等級(jí)）P：n×4（商品ID、類別、價(jià)格、庫(kù)存）O：k×3（訂單ID、用戶ID、商品ID）平臺(tái)需優(yōu)化“查詢25-35歲高消費(fèi)等級(jí)用戶購(gòu)買的電子產(chǎn)品類商品”這一查詢。（1）構(gòu)建該查詢的矩陣運(yùn)算模型，包括選擇矩陣、連接矩陣的定義；（2）利用矩陣的秩分析查詢條件的冗余性；（3）設(shè)計(jì)基于特征值分解的索引優(yōu)化方案，說(shuō)明索引向量的選取依據(jù)；（4）若用戶表和商品表分別存儲(chǔ)在不同節(jié)點(diǎn)，計(jì)算分布式查詢的通信代價(jià)矩陣，并給出負(fù)載均衡策略。（注：所有計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)，矩陣運(yùn)算需寫出中間步驟）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、單項(xiàng)選擇題C2.A3.B4.B5.C6.C7.B8.B9.B10.C二、填空題8（解析：奇異值之和5+3=8）2，α?與α?（因α?=2α?，線性相關(guān)）2，初等行變換187（0.8×100+0.6×200+0.9×150），3選擇，連接，2三、計(jì)算題（第1題示例）（1）行選擇矩陣P=（對(duì)角線上1表示選中該行）（2）PA=（結(jié)果保留滿足條件的第2、3行）（3）投影向量=α?β/||α||2=2/1=2，因投影值唯一對(duì)應(yīng)條件B>2，索引有效。四、證明題（提示）（1）利用實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)，通過(guò)內(nèi)積證明λ=λ?；（2）正定矩陣的二次型有唯一極小值，對(duì)應(yīng)唯一最優(yōu)解。五、綜合應(yīng)用題（要點(diǎn)）選擇矩陣需同時(shí)過(guò)濾用戶年齡（25-35）和消費(fèi)等級(jí)（高）、商品類別