2025年線性代數(shù)王者歸來(lái)版試題一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A)的特征值之和為（）A.4B.5C.6D.7向量組(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,0)^T)的秩為（）A.1B.2C.3D.無(wú)法確定設(shè)(A)為3階方陣，且(|A|=2)，則(|-2A^T|=)（）A.-16B.-8C.8D.16下列矩陣中，不是初等矩陣的是（）A.(\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2\0&1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&0\end{pmatrix})設(shè)(A)為(m\timesn)矩陣，(Ax=0)僅有零解的充要條件是（）A.(A)的行向量組線性無(wú)關(guān)B.(A)的列向量組線性無(wú)關(guān)C.(m>n)D.(m<n)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2)的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&0&0\0&0&3\end{pmatrix})二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&0\2&1\end{pmatrix})，則(A^{-1}=)__________。行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}=)__________。向量(\alpha=(1,2,3)^T)與(\beta=(4,5,6)^T)的內(nèi)積((\alpha,\beta)=)__________。設(shè)3階矩陣(A)的特征值為1，2，3，則(|A^2-E|=)__________。線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2=1\x_2+x_3=2\x_1+x_3=3\end{cases})的解為_(kāi)_________。設(shè)(A)為正交矩陣，則(|A|=)__________。三、計(jì)算題（每題10分，共40分）計(jì)算行列式(D=\begin{vmatrix}a&b&c\a&a+b&a+b+c\a&2a+b&3a+2b+c\end{vmatrix})。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{pmatrix})，求(A^{-1})。設(shè)向量組(\alpha_1=(1,1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,1,-1,-1)^T)，(\alpha_3=(1,-1,1,-1)^T)，(\alpha_4=(1,-1,-1,1)^T)，求該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1&2\5&-3&3\-1&0&-2\end{pmatrix})，求(A)的特征值與特征向量。四、解答題（每題15分，共30分）設(shè)線性方程組[\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_2+2x_3+2x_4=1\-x_2+(a-3)x_3-2x_4=b\3x_1+2x_2+x_3+ax_4=-1\end{cases}]討論(a,b)為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，求出通解。已知二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，（1）寫(xiě)出二次型的矩陣(A)；（2）求正交變換(x=Py)，將(f)化為標(biāo)準(zhǔn)形；（3）判斷二次型(f)是否正定。五、證明題（每題10分，共20分）設(shè)(A,B)為(n)階矩陣，且(AB=0)，證明：(R(A)+R(B)\leqn)。設(shè)(A)為(n)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且(A^2=A)，證明：(A)是正定矩陣的充分必要條件是(A=E)。六、應(yīng)用題（20分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗的原材料、工時(shí)及利潤(rùn)如下表所示：產(chǎn)品原材料（kg/件）工時(shí)（小時(shí)/件）利潤(rùn)（元/件）甲214乙325丙136若工廠每天可提供的原材料為100kg，工時(shí)為80小時(shí)，問(wèn)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃（即每天生產(chǎn)甲、乙、丙產(chǎn)品各多少件），才能使利潤(rùn)最大？（用線性規(guī)劃方法求解，需寫(xiě)出數(shù)學(xué)模型并求解）參考答案及解析（僅供閱卷參考）一、選擇題B解析：特征值之和等于矩陣的跡，即(1+4=5)。B解析：(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2)，向量組線性相關(guān)，秩為2。D解析：(|-2A^T|=(-2)^3|A^T|=-8\times2=-16)（注意：原答案有誤，正確應(yīng)為((-2)^3|A|=-8\times2=-16)，選項(xiàng)A正確）。D解析：初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)一次初等變換得到的，D選項(xiàng)為降秩矩陣，不是初等矩陣。B解析：(Ax=0)僅有零解等價(jià)于(A)的列向量組線性無(wú)關(guān)。A解析：二次型矩陣的對(duì)角線元素為平方項(xiàng)系數(shù)，非對(duì)角線元素為交叉項(xiàng)系數(shù)的一半，故(A=\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix})。二、填空題(\begin{pmatrix}1&0\-2&1\end{pmatrix})解析：利用伴隨矩陣法或初等行變換法求逆。0解析：第三行減去第二行等于第二行減去第一行，兩行成比例，行列式為0。32解析：內(nèi)積((\alpha,\beta)=1\times4+2\times5+3\times6=4+10+18=32)。24解析：(A^2-E)的特征值為(1^2-1=0)，(2^2-1=3)，(3^2-1=8)，行列式為(0\times3\times8=0)（原答案有誤，正確應(yīng)為0）。(x_1=1)，(x_2=0)，(x_3=2)