2025年線性代數為你加油版試題一、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）設三階行列式(D=\begin{vmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{vmatrix}=5)，則行列式(\begin{vmatrix}2a&2b&2c\d+3a&e+3b&f+3c\g&h&i\end{vmatrix}=)__________。矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})的逆矩陣(A^{-1}=)__________。向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,t)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)線性相關，則(t=)__________。線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+3x_3=2\x_1+4x_2+9x_3=4\end{cases})的解為(x_1=)__________，(x_2=)__________，(x_3=)__________。矩陣(A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix})的特征值為__________。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3)的矩陣為__________。二、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）設(A)為(n)階方陣，且(|A|=2)，則(|-2A|=)（）A.(-2^{n+1})B.((-2)^{n+1})C.(2^{n+1})D.((-2)^n\cdot2)設(A,B)均為(n)階方陣，則下列結論正確的是（）A.若(AB=O)，則(A=O)或(B=O)B.若(AB=AC)且(A\neqO)，則(B=C)C.(|A+B|=|A|+|B|)D.(|AB|=|BA|)向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(k_1,k_2,k_3)，使得(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3\neq0)B.(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)中任意兩個向量線性無關C.向量組中任意一個向量都不能由其余兩個向量線性表示D.向量組的秩小于3設(A)為(m\timesn)矩陣，線性方程組(Ax=b)有唯一解的充分必要條件是（）A.(m=n)且(|A|\neq0)B.秩(r(A)=n)C.秩(r(A)=r(A,b)=n)D.秩(r(A)=r(A,b)=m)設(A)為(n)階對稱矩陣，(P)為(n)階可逆矩陣，則下列矩陣中與(A)合同的是（）A.(P^{-1}AP)B.(P^TAP)C.(PAP^{-1})D.(P^TA^{-1}P)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&2\end{pmatrix})與矩陣（）相似A.(\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&0&2\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&2\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\0&0&2\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}2&0&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix})設(\lambda=2)是可逆矩陣(A)的一個特征值，則矩陣((A^2)^{-1})的一個特征值為（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.2D.4二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3)的規(guī)范形為（）A.(y_1^2+y_2^2+y_3^2)B.(y_1^2+y_2^2-y_3^2)C.(y_1^2-y_2^2-y_3^2)D.(y_1^2+y_2^2)設(A)為(3\times4)矩陣，秩(r(A)=2)，則齊次線性方程組(Ax=0)的基礎解系所含解向量的個數為（）A.1B.2C.3D.4下列矩陣中，正定矩陣是（）A.(\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}3&2\2&4\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}-1&0\0&-2\end{pmatrix})三、解答題（本大題共6小題，共70分）1.（10分）計算四階行列式[D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}]解答思路：觀察行列式行和相等（每行元素之和均為10），可將第2、3、4列加到第1列，提取公因子后化簡：[D=10\begin{vmatrix}1&2&3&4\1&3&4&1\1&4&1&2\1&1&2&3\end{vmatrix}]再通過行變換化為上三角行列式，最終計算得(D=160)。2.（12分）設矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix})，(B=A^2-2A+E)，求(B^{-1})。解答思路：先計算(A^2=\begin{pmatrix}2&0&2\0&4&0\2&0&2\end{pmatrix})，代入(B=A^2-2A+E)得(B=\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&1\end{pmatrix})，再用初等行變換求逆矩陣，得(B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}\0&1&0\-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix})。3.（12分）設向量組(\alpha_1=(1,1,1,3)^T)，(\alpha_2=(-1,-3,5,1)^T)，(\alpha_3=(3,2,-1,p+2)^T)，(\alpha_4=(-2,-6,10,p)^T)，問：（1）當(p)為何值時，該向量組線性無關？（2）當(p)為何值時，該向量組線性相關？并求出此時向量組的秩及一個極大線性無關組。解答思路：以向量組為列構造矩陣，通過初等行變換化為行階梯形矩陣，得秩(r=3)時線性相關（(p=2)），秩(r=4)時線性無關（(p\neq2)）。當(p=2)時，極大無關組為(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)。4.（12分）已知線性方程組[\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_2+2x_3+2x_4=1\-x_2+(a-3)x_3-2x_4=b\3x_1+2x_2+x_3+ax_4=-1\end{cases}]討論(a,b)為何值時，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？并在有無窮多解時求通解。解答思路：對增廣矩陣作初等行變換，得：當(a\neq1)時，有唯一解；當(a=1)且(b\neq-1)時，無解；當(a=1)且(b=-1)時，有無窮多解，通解為(x=k_1(1,-2,1,0)^T+k_2(1,-2,0,1)^T+(-1,1,0,0)^T)（(k_1,k_2)為任意常數）。5.（12分）設矩陣(A=\begin{pmatrix}4&0&0\0&3&1\0&1&3\end{pmatrix})，求正交矩陣(P)和對角矩陣(\Lambda)，使得(P^TAP=\Lambda)。解答思路：先求特征值(\lambda_1=2)，(\lambda_2=4)，(\lambda_3=4)，再求對應的特征向量并正交單位化，得正交矩陣(P=\begin{pmatrix}0&1&0\-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix})，對角矩陣(\Lambda=\begin{pmatrix}2&0&0\0&4&0\0&0&4\end{pmatrix})。6.（12分）已知二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，（1）寫出二次型的矩陣并求其特征值；（2）用正交變換將二次型化為標準形，并寫出正交變換矩陣。解答思路：（1）二次型矩陣(A=\begin{pmatrix}2&0&0\0&3&2\0&2&3\end{pmatrix})，特征值為(\lambda_1=1)，(\lambda_2=2)，(\lambda_3=5)；（2）正交變換矩陣(P=\begin