2025年線性代數(shù)線性空間與線性變換試題一、單項選擇題（每題3分，共30分）設(shè)向量空間(V)為(\mathbb{R}^3)中滿足(x_1+x_2+x_3=0)的所有向量構(gòu)成的集合，則(V)的維數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4設(shè)(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,6)^T)，(\alpha_3=(3,6,t)^T)，若向量組({\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3})線性相關(guān)，則(t)的值為（）A.3B.6C.9D.12設(shè)(T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2)是線性變換，且(T(1,0)=(2,3))，(T(0,1)=(-1,2))，則(T(1,1)=)（）A.(1,5)B.(3,1)C.(2,-1)D.(4,6)下列矩陣中，不是正交矩陣的是（）A.(\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix})設(shè)(A)是3階方陣，其特征值為1，2，3，則(|A^2-4A+3E|)的值為（）A.0B.2C.4D.6設(shè)向量空間(V)的基為({\alpha_1,\alpha_2})，且(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_1-\alpha_2)，則({\beta_1,\beta_2})是(V)的基的充分必要條件是（）A.(\alpha_1,\alpha_2)線性相關(guān)B.(\alpha_1,\alpha_2)線性無關(guān)C.(\beta_1,\beta_2)線性相關(guān)D.(\beta_1,\beta_2)線性無關(guān)設(shè)線性變換(T)在基({\alpha_1,\alpha_2})下的矩陣為(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(T)在基({\alpha_2,\alpha_1})下的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}4&3\2&1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}3&1\4&2\end{pmatrix})設(shè)(A)是(n)階實對稱矩陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.(A)的特征值都是實數(shù)B.(A)的特征向量都是正交的C.(A)一定可對角化D.(A)的行列式等于其特征值之和設(shè)(\mathbb{R}^3)中的向量(\alpha=(1,2,3)^T)，則(\alpha)在基({(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T})下的坐標(biāo)為（）A.(1,2,3)B.(3,2,1)C.(1,0,0)D.(0,1,0)設(shè)線性變換(T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3)定義為(T(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x))，則(T)的核(\ker(T))的維數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（每題3分，共18分）設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A)的逆矩陣(A^{-1}=)________。向量空間(\mathbb{R}^4)中，由向量(\alpha_1=(1,0,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0,0)^T)，(\alpha_3=(0,0,1,0)^T)生成的子空間的維數(shù)是________。設(shè)(A)是2階方陣，且(A\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix})，(A\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix})，則(A=)________。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3)對應(yīng)的對稱矩陣是________。設(shè)(\alpha=(1,2,3)^T)，(\beta=(4,5,6)^T)，則(\alpha)與(\beta)的內(nèi)積(\langle\alpha,\beta\rangle=)，夾角(\theta=)。設(shè)(T)是(\mathbb{R}^2)上的線性變換，且(T(x,y)=(x+2y,3x+4y))，則(T)的特征值是________。三、計算題（共40分）（10分）設(shè)向量組(\alpha_1=(1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,2,3)^T)，(\alpha_3=(1,3,t)^T)，（1）當(dāng)(t)為何值時，該向量組線性相關(guān)？（2）當(dāng)(t=5)時，求該向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。（10分）設(shè)線性變換(T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3)定義為(T(x,y,z)=(x+y+z,x-y+z,x+y-z))，（1）求(T)在標(biāo)準(zhǔn)基({e_1,e_2,e_3})下的矩陣(A)；（2）求(T)的核(\ker(T))及值域(\text{Im}(T))的維數(shù)。（10分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix})，（1）求(A)的特征值和特征向量；（2）求正交矩陣(P)，使得(P^TAP)為對角矩陣。（10分）設(shè)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，（1）寫出該二次型對應(yīng)的矩陣(A)；（2）用正交變換將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的正交變換。四、證明題（共20分）（10分）設(shè)(V)是向量空間，(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)是(V)中的線性無關(guān)向量組，證明：(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)也線性無關(guān)。（10分）設(shè)(A)是(n)階正交矩陣，證明：（1）(|A|=\pm1)；（2）若(\lambda)是(A)的特征值，則(\frac{1}{\lambda})也是(A)的特征值。五、應(yīng)用題（共20分）（10分）某公司有甲、乙、丙三個工廠，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，各工廠的產(chǎn)量（單位：噸）如下表所示：|工廠|產(chǎn)品A|產(chǎn)品B||------|-------|-------||甲|2|3||乙|1|4||丙|5|2|已知產(chǎn)品A的單價為10萬元/噸，產(chǎn)品B的單價為20萬元/噸，試用矩陣乘法計算各工廠的總產(chǎn)值。（10分）設(shè)某線性方程組的增廣矩陣為(\begin{pmatrix}1&2&3&4\2&5&7&9\3&t&10&13\end{pmatrix})，問(t)為何值時，該方程組有解？并在有解時求出其通解。六、綜合題（共20分）設(shè)(V)是數(shù)域(P)上的2維向量空間，({\alpha_1,\alpha_2})是(V)的一組基，線性變換(T)在該基下的矩陣為(A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix})，（1）證明：(T)