2025年線性代數(shù)張量概念引入試題一、填空題（每小題3分，共30分）三維歐氏空間中，二階張量可表示為______×的矩陣形式，其獨(dú)立分量個數(shù)為。設(shè)張量(T=T_{ij}\mathbf{e}i\mathbf{e}j)，則其轉(zhuǎn)置張量(T^T)的分量表達(dá)式為____，若(T^T=T)，則稱該張量為______張量。向量(\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3))與向量(\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3))的外積（張量積）(\mathbf{u}\otimes\mathbf{v})的分量形式為______，該張量的秩為______。設(shè)二階張量(T)在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為(\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&5\3&5&6\end{pmatrix})，則其跡(\text{tr}(T)=)，行列式(\det(T)=)。三維空間中，置換張量(\epsilon_{ijk})的定義為：當(dāng)(ijk)為偶排列時取值______，奇排列時取值______，其余情況取值______。設(shè)(\mathbf{a})為向量，(T)為二階張量，則(\mathbf{a}\cdotT)的運(yùn)算結(jié)果為______（填“向量”或“張量”），其分量表達(dá)式為______。張量方程(T_{ij}=\lambda\delta_{ij})（其中(\delta_{ij})為克羅內(nèi)克符號）表示的張量為______張量，其矩陣形式為______矩陣。設(shè)坐標(biāo)系從({\mathbf{e}i})變換到({\mathbf{e}'j})，變換矩陣為(A=(a{ij}))，則二階張量分量的變換規(guī)律為(T'{ij}=)______。彈性力學(xué)中，應(yīng)力張量(\sigma_{ij})滿足______對稱性，即(\sigma_{ij}=)，其獨(dú)立分量個數(shù)為。設(shè)(T)為三階張量，其分量為(T_{ijk})，則其縮并運(yùn)算(T_{iik})的結(jié)果為______階張量，分量個數(shù)為______。二、選擇題（每小題3分，共15分）下列關(guān)于張量的說法中，錯誤的是（）A.標(biāo)量是0階張量，向量是1階張量B.張量的分量值與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)C.二階對稱張量一定存在三個相互正交的特征方向D.張量的乘積運(yùn)算滿足交換律設(shè)(\mathbf{u})和(\mathbf{v})為向量，(T)為二階張量，則下列運(yùn)算結(jié)果為二階張量的是（）A.(\mathbf{u}\otimes\mathbf{v})B.(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})C.(T\cdot\mathbf{u})D.(\text{tr}(T))三維空間中，四階張量的獨(dú)立分量個數(shù)為（）A.9B.16C.25D.81下列張量中，屬于各向同性張量的是（）A.應(yīng)力張量B.應(yīng)變張量C.克羅內(nèi)克符號(\delta_{ij})D.位置矢量(\mathbf{r})設(shè)(T)為二階張量，其特征值為(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.(\text{tr}(T)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)B.(\det(T)=\lambda_1\lambda_2\lambda_3)C.若(T)對稱，則特征向量相互正交D.特征值的取值與坐標(biāo)系選擇有關(guān)三、計算題（共35分）（10分）已知向量(\mathbf{u}=(1,2,3)^T)，(\mathbf{v}=(4,5,6)^T)，求：（1）外積(\mathbf{u}\otimes\mathbf{v})的矩陣形式；（2）內(nèi)積(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})，并判斷該結(jié)果是否為張量；（3）混合積(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\otimes\mathbf{u}))的結(jié)果（用分量表示）。（10分）設(shè)二階張量(T)在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為：[T=\begin{pmatrix}2&1&0\1&3&-1\0&-1&4\end{pmatrix}]（1）求(T)的特征值與特征向量；（2）判斷(T)是否為對稱張量，并求其正交對角化矩陣(P)，使得(P^TTP=\Lambda)（對角矩陣）。（15分）在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，速度梯度張量定義為(L_{ij}=\frac{\partialv_i}{\partialx_j})，可分解為對稱部分（應(yīng)變率張量）和反對稱部分（旋轉(zhuǎn)張量）：(L_{ij}=D_{ij}+W_{ij})，其中(D_{ij}=\frac{1}{2}(L_{ij}+L_{ji}))，(W_{ij}=\frac{1}{2}(L_{ij}-L_{ji}))。已知速度場(\mathbf{v}=(x_2,x_1,0)^T)，求：（1）速度梯度張量(L)的矩陣形式；（2）應(yīng)變率張量(D)和旋轉(zhuǎn)張量(W)；（3）驗證(W_{ij}=-\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\omega_k)，其中(\omega)為渦旋向量（(\omega=\frac{1}{2}\nabla\times\mathbf{v})）。四、證明題（共20分）（10分）證明：任意二階張量(T)可唯一分解為對稱張量與反對稱張量之和，即(T=S+A)，其中(S^T=S)，(A^T=-A)。（10分）證明：克羅內(nèi)克符號(\delta_{ij})是各向同性張量，即其分量在任意坐標(biāo)系變換下保持不變：(\delta'{ij}=\delta{ij})。五、應(yīng)用題（共20分）（10分）電動力學(xué)中，電磁場張量(F_{\mu\nu})（四維二階張量）的分量為：[F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0&E_x&E_y&E_z\-E_x&0&-B_z&B_y\-E_y&B_z&0&-B_x\-E_z&-B_y&B_x&0\end{pmatrix}]其中(E)為電場強(qiáng)度，(B)為磁感應(yīng)強(qiáng)度。驗證麥克斯韋方程組的張量形式：(\partial_\muF_{\nu\mu}=\mu_0J_\nu)（其中(J_\nu)為四維電流密度，(\partial_\mu=\frac{\partial}{\partialx_\mu})）對應(yīng)于三維中的高斯定律和安培環(huán)路定律。（10分）在流體力學(xué)中，本構(gòu)方程(\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+2\muD_{ij})描述了牛頓流體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，其中(p)為壓強(qiáng)，(\mu)為動力黏度，(D_{ij})為應(yīng)變率張量。已知某流體速度場為(\mathbf{v}=(kx,0,0)^T)（(k)為常數(shù)），求：（1）應(yīng)變率張量(D)；（2）應(yīng)力張量(\sigma)的矩陣形式；（3）若流體靜止（(\mathbf{v}=0)），應(yīng)力張量的物理意義是什么？六、拓展題（共20分）（10分）簡述張量概念在線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)中的聯(lián)系與區(qū)別，舉例說明張量在機(jī)器學(xué)習(xí)（如張量分解）或量子力學(xué)（如密度矩陣）中的應(yīng)用。（10分）設(shè)(T)為四階彈性張量，滿足(T_{ijkl}=T_{jikl}=T_{ijlk}=T_{klij})（minor對稱性和major對稱性），則其獨(dú)立分量個數(shù)為多少？若考慮各向同性材料，(T_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}))，驗證其對稱性并寫出三維情況下的