2025年線性代數(shù)終身學(xué)習(xí)能力測試題一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則其伴隨矩陣(A^*)的行列式(|A^*|)的值為（）A.2B.-2C.1D.-1向量組(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,k)^T)線性相關(guān)的充要條件是（）A.(k=0)B.(k≠0)C.(k=1)D.(k≠1)設(shè)三階方陣(A)的特征值為1，2，3，則矩陣(A^2-2A+E)的特征值之和為（）A.3B.6C.9D.12二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3)對應(yīng)的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&3\0&3&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&0\0&2&6\0&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&6\0&3&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix})設(shè)(A)為(m×n)矩陣，(B)為(n×m)矩陣，且(m>n)，則行列式(|AB|)的值為（）A.0B.1C.(|A||B|)D.無法確定已知線性方程組(Ax=b)有唯一解，則以下結(jié)論正確的是（）A.(A)必為方陣且(|A|≠0)B.(A)的行向量組線性無關(guān)C.(A)的列向量組線性無關(guān)D.增廣矩陣((A|b))的秩等于(A)的秩二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)(A)為三階矩陣，且(|A|=2)，則(|-2A^{-1}|=)________。設(shè)向量(\alpha=(1,2,3)^T)，(\beta=(2,1,0)^T)，則內(nèi)積((\alpha,2\beta)=)________。矩陣(A=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix})的n次冪(A^n=)________。線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2=1\x_2+x_3=2\x_1+x_3=3\end{cases})的解為(x_1=)，(x_2=)，(x_3=)________。設(shè)三階矩陣(A)的特征值為1，-1，2，則(|A^3-2A+E|=)________。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)的規(guī)范形為________。三、計算題（每題10分，共40分）已知矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix})，求其逆矩陣(A^{-1})。解答步驟：（1）構(gòu)造增廣矩陣((A|E))：[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\2&1&2&0&1&0\3&2&1&0&0&1\end{array}\right)]（2）通過初等行變換化為行最簡形：第二行減去第一行的2倍，第三行減去第一行的3倍：[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\0&-3&-4&-2&1&0\0&-4&-8&-3&0&1\end{array}\right)]第三行減去第二行的(\frac{4}{3})倍，第二行乘以(-\frac{1}{3})：[\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\0&1&\frac{4}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&0\0&0&-\frac{8}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}&1\end{array}\right)]第三行乘以(-\frac{3}{8})，回代消去非對角元，最終得(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{8}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\frac{1}{2}&-1&\frac{1}{2}\-\frac{1}{8}&\frac{1}{2}&-\frac{3}{8}\end{pmatrix})。求向量組(\alpha_1=(1,2,3,4)^T)，(\alpha_2=(2,3,4,5)^T)，(\alpha_3=(3,4,5,6)^T)，(\alpha_4=(4,5,6,7)^T)的秩及一個極大無關(guān)組。解答步驟：（1）構(gòu)造矩陣(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4))并進(jìn)行初等行變換：[A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\2&3&4&5\3&4&5&6\4&5&6&7\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&3&4\0&-1&-2&-3\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]（2）矩陣的秩為2，極大無關(guān)組可取(\alpha_1,\alpha_2)。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1\-1&2\end{pmatrix})，求正交矩陣(P)及對角矩陣(\Lambda)，使得(P^TAP=\Lambda)。解答步驟：（1）求特征值：(|\lambdaE-A|=(\lambda-1)(\lambda-3)=0)，得(\lambda_1=1)，(\lambda_2=3)。（2）求特征向量：(\lambda=1)時，((E-A)x=0)的基礎(chǔ)解系為((1,1)^T)，單位化得(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T)；(\lambda=3)時，((3E-A)x=0)的基礎(chǔ)解系為((1,-1)^T)，單位化得(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^T)。（3）正交矩陣(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix})，對角矩陣(\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\0&3\end{pmatrix})。當(dāng)(t)為何值時，二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3)為正定二次型？解答步驟：（1）二次型矩陣(A=\begin{pmatrix}1&t&-1\t&1&2\-1&2&5\end{pmatrix})。（2）正定的充要條件是各階順序主子式大于0：一階主子式：1>0；二階主子式：(1-t^2>0\Rightarrow-1<t<1)；三階主子式：(|A|=-t(5t+4)>0\Rightarrow-\frac{4}{5}<t<0)。（3）綜上，(t)的取值范圍為((-\frac{4}{5},0))。四、證明題（每題10分，共20分）設(shè)(A)為(n)階方陣，且(A^2=A)（冪等矩陣），證明：(r(A)+r(E-A)=n)。證明：（1）由(A^2=A)得(A(E-A)=O)，故(r(A)+r(E-A)\leqn)（Sylvester不等式）。（2）又(r(A)+r(E-A)\geqr(A+(E-A))=r(E)=n)。（3）綜上，(r(A)+r(E-A)=n)。設(shè)(\lambda_1,\lambda_2)是矩陣(A)的兩個不同特征值，(\alpha_1,\alpha_2)分別為對應(yīng)于(\lambda_1,\lambda_2)的特征向量，證明：(\alpha_1+\alpha_2)不是(A)的特征向量。證明：（1）反證法：假設(shè)(\alpha_1+\alpha_2)是(A)的特征向量，對應(yīng)特征值(\lambda)，則(A(\alpha_1+\alpha_2)=\lambda(\alpha_1+\alpha_2))。（2）由特征向量定義，(A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1)，(A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2)，故(\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2=\lambda\alpha_1+\lambda\alpha_2)。（3）整理得((\lambda_1-\lambda)\alpha_1+(\lambda_2-\lambda)\alpha_2=0)。因(\alpha_1,\alpha_2)線性無關(guān)（不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)），故(\lambda_1=\lambda=\lambda_2)，與(\lambda_1\neq\lambda_2)矛盾。因此(\alpha_1+\alpha_2)不是特征向量。五、應(yīng)用題（20分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的利潤及消耗的兩種原材料如下表所示：產(chǎn)品利潤（元/件）原材料A（kg/件）原材料B（kg/件）甲212乙321丙433若每天可供原材料A為100kg，原材料B為120kg，求使總利潤最大的生產(chǎn)方案。解答步驟：（1）設(shè)甲、乙、丙產(chǎn)量分別為(x_1,x_2,x_3)，目標(biāo)函數(shù)(max\z=2x_1+3x_2+4x_3)。（2）約束條件：[\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3\leq100\2x_1+x_2+3x_3\leq120\x_1,x_2,x_3\geq0\end{cases}]（3）化為線性方程組，通過消元法得可行域頂點，代入目標(biāo)函數(shù)計算：頂點((0,0,0))：(z=0)；頂點((60,0,0))：(z=120)；頂點((0,100,0))：(z=300)；頂點((0,0,\frac{100}{3}))：(z≈133)；頂點((20,40,0))（聯(lián)立兩約束條件解得）：(z=2×20+3×40=160)。（4）最大利潤為300元，對應(yīng)方案：乙產(chǎn)品100件，甲、丙產(chǎn)品0件。六、綜合題（20分）設(shè)(V)是實數(shù)域上的二維線性空間，(\alpha_1,\alpha_2)是(V)的一組基，線性變換(T)在該基下的矩陣為(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})。（1）求(T)在基(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_1-\alpha_2)下的矩陣(B)；（2）求(T)的特征值與特征向量（用(\alpha_1,\alpha_2)表示）。解答步驟：（1）基變換矩陣(P=\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix})，則(B=P^{-1}AP)。計算(P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix})，故(B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-1\0&-1\end{pmatrix})。（2）特征值：(|\lambdaE-A|=(\lambda-5)(\lambda+0)