2025年線性代數(shù)專升本考試模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）設(shè)三階行列式(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=5)，則行列式(\begin{vmatrix}2a_{11}&2a_{12}&2a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix})的值為（）A.5B.10C.20D.40設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix})，則(AB-BA=)（）A.(\begin{pmatrix}0&4\3&0\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}0&2\3&4\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}0&2\-3&0\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}2&0\0&4\end{pmatrix})向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,6)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)的秩為（）A.0B.1C.2D.3線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2=1\2x_1+2x_2=3\end{cases})的解的情況是（）A.唯一解B.無(wú)解C.無(wú)窮多解D.無(wú)法確定設(shè)矩陣(A)為3階方陣，且(|A|=2)，則(|-2A|=)（）A.-16B.-8C.8D.16向量組(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,0)^T)的線性相關(guān)性為（）A.線性無(wú)關(guān)B.線性相關(guān)C.無(wú)法判斷D.僅(\alpha_1,\alpha_2)相關(guān)設(shè)矩陣(A)的特征值為(1,2,3)，則(A^{-1})的特征值為（）A.(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})B.(-1,-2,-3)C.(2,4,6)D.(1,2,3)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2)的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})設(shè)(A)為(m\timesn)矩陣，且(r(A)=r)，則非齊次線性方程組(Ax=b)有解的充要條件是（）A.(r(A,b)=r)B.(r(A,b)=m)C.(r(A)=m)D.(r(A)=n)下列矩陣中，與對(duì)角矩陣(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})相似的是（）A.(\begin{pmatrix}1&1&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&0&0\1&2&0\0&0&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&1\0&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&1&3\end{pmatrix})二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）行列式(\begin{vmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{vmatrix}=)________。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0\2&3\end{pmatrix})，則(A^{-1}=)________。向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,1,0)^T)，(\alpha_3=(3,3,3)^T)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為_(kāi)_______。齊次線性方程組(x_1+x_2+x_3=0)的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2)的正慣性指數(shù)為_(kāi)_______。三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）計(jì)算行列式(D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix})。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{pmatrix})，求矩陣(X)使得(AX=E)（其中(E)為3階單位矩陣）。求向量組(\alpha_1=(1,1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,1,-1,-1)^T)，(\alpha_3=(1,-1,1,-1)^T)，(\alpha_4=(1,-1,-1,1)^T)的秩，并判斷其線性相關(guān)性。設(shè)線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+ax_3=2\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases})，問(wèn)(a)為何值時(shí)，方程組有唯一解、無(wú)解、無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，求出通解。四、解答題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix})，求(A)的特征值與特征向量。用正交變換法將二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3)化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換矩陣。五、證明題（本大題共1小題，10分）設(shè)(A)為(n)階方陣，且(A^2=A)（冪等矩陣），證明：(r(A)+r(E-A)=n)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（注：實(shí)際考試中無(wú)參考答案，此處僅為模擬試題完整性展示）一、單項(xiàng)選擇題B2.C3.B4.B5.A6.B7.A8.A9.A10.A二、填空題-112.(\begin{pmatrix}1&0\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix})13.(\alpha_1,\alpha_2)（或(\alpha_1,\alpha_3)或(\alpha_2,\alpha_3)）14.215.2三、計(jì)算題解：將第2、3、4行加到第1行，得(D=\begin{vmatrix}10&10&10&10\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix})（后續(xù)步驟略，最終結(jié)果為160）解：通過(guò)初等行變換將((A,E))化為行最簡(jiǎn)形，得(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&3&-2\-\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\1&1&-1\end{pmatrix})解：向量組的秩為4，線性無(wú)關(guān)解：當(dāng)(a\neq1)且(a\neq2)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)(a=1)時(shí)，無(wú)窮多解，通解為(x=(1,0,0)^T+k(1,-1,0)^T)（(k\in\mathbb{R})）；當(dāng)(a=2)時(shí)，無(wú)解四、解答題解：特征值(\lambda_1=0)，(\lambda_2=\lambda_3=3)；對(duì)應(yīng)特征向量分別為(k_1(1,1,1)^T)（(k_1\neq0)），(k_2(1,-1,0)^T+k_3(1,0,-1)^T)（(k_2,k_3)不全為0）解：標(biāo)準(zhǔn)形為(f=4y_1^2+y_2^2+y_3^2)；正交變換矩陣(Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\frac{1}{\sqrt{3}}&