第1頁，共148頁 第2節(jié) 4 第一節(jié)重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分（ 第2頁，共148頁）【P6-例3】設(shè)f(xg(x試求f(g(x)),g(f(x)).第3頁，共148頁【P6-例1】已知函數(shù)在（0,+∞）上有界，則α的取值范圍應(yīng)為（）【P7－例2】以下四個命題中正確的是（）第4頁，共148頁（1）若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)；（2）若f(x)單調(diào)不增，則F(x)單調(diào)不減。n→∞n→∞n→∞n→∞n→∞n→∞第5頁，共148頁【P13-例3】設(shè)數(shù)列{xn}與{yn}滿足xnyn=0,2n，則數(shù)列{Sn}有界是數(shù)列{an}收斂的（第6頁，共148頁【P18-例2】求極限.第7頁，共148頁【P20-例2】求極限.第8頁，共148頁【P22-例4】求極限.【P22-例5】求極限.【P23－例6】.第9頁，共148頁第10頁，共148頁【P25-例2】求極限x【P25-例3】求極限x-x2ln.第11頁，共148頁【P26-例4】x.【P26例】求極限limlnxln1-x.x→1第12頁，共148頁a-b.(D)eb-a.【P28-例4】求極限.第13頁，共148頁【P29-例】求極限.【P30-例2】求極限n.第14頁，共148頁第15頁，共148頁【P32-例4】求極限【P32-例5】設(shè)xn,則xn=________.論求下列極限。第16頁，共148頁第17頁，共148頁極限。【P35-例2】設(shè)x求極限xn.第18頁，共148頁n→∞xn?xn+1明xn存在且是方程f(x)=x的唯一實根。第19頁，共148頁第20頁，共148頁【P39-例1】把x→0+時的無窮小cost2dttandt,Ysint3dt進(jìn)行排序，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列順序是（）(A)α,β,Y.(B)α,Y,β.(C)β,α,Y.(D)β,Y,α.【P40-例2】當(dāng)x→0時，下列無窮小中最高階第21頁，共148頁【P41-例3】當(dāng)x→0時，f(x)=x-sinax與g(x)=x2ln(1-bx)是等價無窮小，則（)【P42-例5】已知x→0時，e-x2-cosx與axn是等價無窮小，則（）第22頁，共148頁【P43-例6】已知{xn},{yn}滿足：x1=yxn+1=sinxn）f(x)≠0,φ(x)有間斷點，則（）第23頁，共148頁【P45-例3】討論函數(shù)f的連續(xù)性并指出間斷點類型?！綪46-例4】函數(shù)f的可去間斷點的個數(shù)為（）【P46-例5】求極限記此極限為f(x)求函數(shù)f(x)的間斷點并指出類型。第24頁，共148頁【P46-例6】求函數(shù)f的間斷點并指出其類型。使f第25頁，共148頁第2章一元第26頁，共148頁【P54-例3】設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則)第27頁，共148頁【P54-例4】設(shè)曲線y=f(x)與y=x2-x在點（1,0)處有公共切線，則nf【P54-例1】設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(e2x-2(A)(-1)n-1(n-1)!.(B)(-1)n(n-1)!.(C)(-1)n-1n!.(D)(-1)nn!.第28頁，共148頁【P55-例3】設(shè)函數(shù)f(x)在x=0【P55-例1】設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是（第29頁，共148頁【P57-例3】設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+sinx)，則f(0)=0是F(x)在x=0可導(dǎo)的（)【P57-例4】函數(shù)f(x)=(x2-x-2)x3-x不可導(dǎo)的點的個數(shù)是（)【P58-例5】設(shè)f(x)在點x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)在點x=a處不可導(dǎo)的充分條件第30頁，共148頁【P60-例1】曲線taney在點(0,0)處的切線方程為________.第31頁，共148頁【P60-例3】已知曲線的極坐標(biāo)方程是r=1-cosθ,求該曲線上對應(yīng)于處的切線和法線的直角坐標(biāo)方程。第32頁，共148頁【P61-例2】已知y=ff,=arctanx2,則x=0=________.【P61-例3】設(shè)f(x若y=f(g(x)),則（)第33頁，共148頁【P62-例1】設(shè)y=y(x)由y=t第34頁，共148頁,第35頁，共148頁【P64-例2】設(shè)y,求y,.第36頁，共148頁【P65-例1】設(shè)f,求f(n)(x).【P65-例2】設(shè)f(x)=exsinx,求f(n)(x).【P65-例3】設(shè)f(x)=sin4x+cos4x,求f(n)(x).第37頁，共148頁【P70-例1】求函數(shù)fe-t2dt的單調(diào)區(qū)間與極值?！綪70-例2】設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0確定，求f(x)的極值?！綪70-例3】設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f,則（）第38頁，共148頁【P71-例4】設(shè)f(x)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且(x-1)f,(x)-2(x-1)f,(x)=1-e1-x.試問:【P71-例5】設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且a≠0,試討論f(x）【P72-例1】設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f,(x)+f,(x)2=sin第39頁，共148頁y=y(x)的極值和曲線y=【P73-例3】曲線y的斜漸近線方程為________.【P74-例4】曲線y=exarctan的漸近線條數(shù)是（)第40頁，共148頁2第41頁，共148頁【P76-例3】已知函數(shù)fdtdt,求f(x)的零點個數(shù)。第42頁，共148頁第43頁，共148頁,第44頁，共148頁【P80-例4】設(shè),且f,(x)>0,證明：f(第45頁，共148頁(2)對任意實數(shù)λ,存在ξ∈(0,η),使f,(ξ)-λf(ξ)-ξ=1.第46頁，共148頁,【P85-例6】設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，且g(x)≠0,f(a)=第47頁，共148頁使f第48頁，共148頁ξ,η∈(a,b)使eη-ξf(η)+f,(η)第49頁，共148頁,第50頁，共148頁0x1明：maxf,(x)8.0x1第3章第51頁，共148頁【P94-例1】I.【P95－例2】I.【P95-例3】Idx.【P95－例4】Idx.【P96-例5】dx.第3章第52頁，共148頁【P97-例8】Idx.9】I.第3章第53頁，共148頁【P99-例2】若ln為f(x)的一個原函數(shù)，求Idx.【P99-例3】設(shè)F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當(dāng)x0時，F(xiàn),第54頁，共148頁【P100-例5】求不定積分dx.【P105-例2】設(shè)f(x)連續(xù)，且x,則xtsindt=________.第3章第55頁，共148頁【P106-例4】如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3,-2],[2,3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間-2,0],[0,2上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周。設(shè)Fdt,【P107-例1】Idx.第3章第56頁，共148頁【P107-例2】Idx.【P107-例3】Ixsinnxdx.n為奇數(shù)n為奇數(shù),n為偶數(shù).【P108－例5】Iarcsindx.第57頁，共148頁【P108-例6】設(shè)fdt,計算dx.【P109-例7】設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在（-∞,+∞)內(nèi)滿足f(x)=f(x-π)+sinx，且dx，【P109-例8】Idx.【P110-例9】Isin4xdx.第58頁，共148頁【P110-例11】設(shè)f,(x)=arcsin(x-1)2,f(0)=0,求dx.【P111-例12】若fsinxdx,求f(x).第59頁，共148頁）EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up4(x),0)【P113-例3】設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則（）(A)f(x)是奇函數(shù)→F(x)(B)f(x)是偶函數(shù)→F(x)(C)f(x)是周期函數(shù)→F(x)(D)f(x)是單調(diào)增函數(shù)→F(x)必第60頁，共148頁【P113-例4】設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，“MN”表示“M的充分必要條件是N”，則必有（）(C)F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函【P113-例5】設(shè)函數(shù)f(xsidt,則()(A)x=π是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點。(B)x=π是函數(shù)F(x)的可去間斷點。(C)F(x)在x=π處連續(xù)但不可導(dǎo)。(D)F(x)在x=π處可導(dǎo)。第61頁，共148頁【P116-例8】試證：Fsin2ntdt在x0上最大值不超過.dt=x2ex,求f(x).第62頁，共148頁【P117-例11】設(shè)f(t)連續(xù)，f(t)>0,f(-t)=f(t).令Fx-tdt,-aa.（2）當(dāng)x為何值時，F(xiàn)(x)取得（3）若F(x)的最小值可表示為f(a)-a2-1,試求f(t).第63頁，共148頁【P118-例1】設(shè)Idx,Idx,則（）I2I2【P118-例2】設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，第64頁，共148頁【P119－例4】設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)單調(diào)增加，0g(x)1.第65頁，共148頁【p123-例1】下列廣義積分發(fā)散的是（）【p124-例2】若反常積分dx收斂，則（）第66頁，共148頁）第67頁，共148頁【p125-例2】計算.【p126-例3】計算dx.【p126-例4】求證：dxdx,并求其值。第3章第68頁，共148頁【p128-例1】設(shè)fdt,求曲線y=f(x)與x軸所圍圖形的面積?！緋129-例2】設(shè)平面圖形A由x2+y22x與yx所確定，求圖形A繞x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。第3章第69頁，共148頁【P130-例4】設(shè)對數(shù)螺線r=eθ(0θπ)及射線θ=0和θ=π圍成平面圖形D.【P130-例5】設(shè)星形線求：第70頁，共148頁【P131-例1】某閘門的形狀與大小如下圖所示，閘門的上部為矩形ABCD,其中（【P131-例2】一容器的內(nèi)側(cè)是由曲線y=x2繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，其容積為72πm3，（重力加速度為gm/s2,水的密度為103kg/m3）第71頁，共148頁【P141-例1】求解下列一階微分方程。2第72頁，共148頁(5)求方程y,sec2ytany=x滿足條件yx=0=0的特解。第73頁，共148頁（xxxxx22ax22ax2ax2.2222第74頁，共148頁（4）設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1,y2,y3都是方程y,+p(x)y,+q(x)y=f(x)的解，C1,C2為任意y1y12)y3.y12y2+2y2?2)y3.xex+e2x,y2=xex?e?x,y解，求此方程。2x第75頁，共148頁通解?！綪145-例1】求連續(xù)函數(shù)f(x),使它滿足xdt=f第76頁，共148頁【P145-例2】設(shè)f=sinxdt,其中f(x)為連續(xù)函數(shù)。求f(x).【P145-例3】設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足xdtdt,求f(x).f(x+y)=exf(y)+eyf(x),求f(x).第77頁，共148頁y=y(x）的反函數(shù)。微分方程；第78頁，共148頁如圖4?1),P(x,y)為其上任意一點，弦BP與該曲線圍成的面積為x程。第79頁，共148頁P(yáng)(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍三角形面積記為S1,區(qū)間第80頁，共148頁）【p156-例2】考慮二元函數(shù)下面四條性質(zhì)①f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù)。②f(x,y)在點(x0,y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。③f(x,y)在點(x0,y0)處可微。④f(x,y)在點(x0,y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在。）第81頁，共148頁【P156-例3】二元函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處可微的一個充分條件是（）y→0【P157-例4】如果函數(shù)f(x,y)在(0,0)處連續(xù)，那么下列命題正確的是（）y→0第82頁，共148頁''y【P157-例5】設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x,【P158-例6】設(shè)f(x,y)=x?yφ(x,y),其中φ(x,y)在點(0,0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，問（1）φ(x,y)應(yīng)滿足什么條件才能使fx'(0,0)和f【P158－例7】設(shè)fx'(x0,y0)存在，fy'(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù)，證明：f(x,y)在點（x0,y0）處可微。第83頁，共148頁【P160-例2】設(shè)f,求fx'(0,0)和fy'(0,0).第84頁，共148頁f(x,y)等于（)第85頁，共148頁【P163-例6】設(shè)f(x)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且有xy?yf(x)dx+f(x)+y2dy=du(x,y)第86頁，共148頁其中f(u,v)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。第87頁，共148頁【P165-例4】設(shè)f(x,y)可微，又f(0,0)=0,fx'(0,0)=a,fy'(0,0)=b且【P165-例5】設(shè)u=f(x,y,z),y=φ(【P165-例6】設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足,又g(x,y)=f,求.第88頁，共148頁【P165-例7】設(shè)函數(shù)u=f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足確定a,b的值，使等式在變換ξ=x+ay,η=x+by下簡化為=0.【P167-例8】設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而求f(u).第89頁，共148頁【P168-例10】若對任意t>0有f(tx,ty)=tnf(x,y)，則稱函數(shù)f(x,y)是n次齊次函數(shù)，試證：若f(x,y)可微，則f(x,y)是n次齊次函數(shù)xx,y).【P169-例2】設(shè)方程F可確定函數(shù)z=z(x,y),求和.第90頁，共148頁【P169-例3】設(shè)u=f(x,y,z)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，【P171-例5】設(shè)y=f(x,t),且方第91頁，共148頁【P171-例6】設(shè)f(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fy'≠0.證明：對任意常數(shù)C,f(x,y)=C為一條直線f2'2f11''?2f1'f'2f12''+f1'2f22''=0.【P174-例2】求函數(shù)f(x,y)=xy第92頁，共148頁【P175-例4】設(shè)f(x,y)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g(x,y)=f(exy,x2+y2)且證明：g(x,y)在(0,0)取得極值，判斷此極值是極大值還是極小值，并求出此極值?！綪176-例5】設(shè)z=f(x,y)在點(0,0)第93頁，共148頁【P176-例6】已知函數(shù)f(x,y)在點（0,0）的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且）【P177-例1】求函數(shù)z=x2y(4?x?y)在直線x+y=6,x軸和y軸【P177-例2】求函數(shù)z=x2+y2?12x+16y在x2+y2≤25上的最大值與最小值。第94頁，共148頁【P180-例5】已知三角形周長為2p,求使它繞自己的一邊旋轉(zhuǎn)時所構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體體積最大的三角形。第95頁，共148頁函數(shù)為L(x,y)=?x2?4y（完），生產(chǎn)兩種產(chǎn)品每千只都需要原料2000kg,求（1）使利潤最大的x,y和最大利潤；（2）如果原料降至12000kg,【P181-例7】利用條件極值的方法證明：對任意正數(shù)a,b第96頁，共148頁【P185-例2】設(shè)區(qū)域D為x2+y2R2,則dσ=________.第97頁，共148頁區(qū)域，f(u)為連續(xù)函數(shù)?！綪186-例6】計算dx,其中D由曲第98頁，共148頁【P186-例7】計算,其中D由x2+y2x+y所確定。x所圍成的平面區(qū)域?！綪188-例9】設(shè)二元函數(shù)f(x,y計算二重積分f(x,y)dσ,第99頁，共148頁【P189-例11】設(shè)D是全平面，f(x計算.【P190-例12】計算x2+y2?2y,其中D由x2+y2≤4所確定。第100頁，共148頁【P190-例13】（僅數(shù)三）計算min{x,y}e-,其中D為全平面。第101頁，共148頁【P192-例3】累次積分f(rcosθ,rsinθ)rdr可寫成（）第102頁，共148頁【P192-例4】計算下列累次積分第103頁，共148頁【P193-例5】設(shè)f(x)為連續(xù)。證明dxAfdt【P193-例1】設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)dx,則F,(2)等于（）【P193-例2】設(shè)區(qū)域D由x2+y2y和x≥0所確定，f(x,y)為D上的連續(xù)函數(shù)，且fDf(u,v)dudv.求f(x,y).第104頁，共148頁【P194-例3】設(shè)f(t)在[0,+∞)上連續(xù)，且滿足f=e4πt2+2+y24t2fdxdy,求【P194-例4】設(shè)f(x,y)是定義在0x1,第105頁，共148頁【P195-例5】設(shè)f(x,y)在單位圓x2+y2≤1上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零。證明：fdxdy,其中D為圓環(huán)域ε2x2+y21,ε>0.導(dǎo)數(shù)，在D的邊界上取零值，且在D上有M,試證f(x,y)dx第106頁，共148頁【P196-例1】設(shè)I1=cosdσ,I2=cosdσ,I3=cosdσ,其2I2I1I2.【P196-例2】設(shè)I則（）I2I2I1I3I1.【P197-例3】設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)>0證明：dxdx第107頁，共148頁第108頁，共148頁【P202-例1】判定下列級數(shù)的斂散性?！綪203－例2】判定下列級數(shù)的斂散性。第109頁，共148頁【P204-例4】設(shè)un為正項級數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）(B)若存在非零常數(shù)λ,使mun=λ,第110頁，共148頁【P205－例1】判定下列級數(shù)的斂散性【P206-例1】判定n2tansin的斂散性。第111頁，共148頁【P206-例2】討論是絕對收斂，條件收斂還是發(fā)散?！綪207-例4】設(shè)常數(shù)λ>0,且級數(shù)收斂，則級數(shù)第112頁，共148頁【P208-例6】設(shè)級數(shù)un收斂，則下列級數(shù)必收斂的為（）第113頁，共148頁【P209－例8】設(shè)nan2n斂。【P209－例2】設(shè)極限nan存在，第114頁，共148頁【P210-例3】設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，且f,(x)h<1，對一切x∈[a,b]有af(x)b，令a,b]證明：絕對收斂?！薜?15頁，共148頁【P211-例6】設(shè)f(x)在點x=0的某【P215-例1】求下列冪級數(shù)的收斂域第116頁，共148頁為________.【P217-例3】設(shè)在x=-2處條件收斂，則n2n在x=ln處（)【P217-例1】將下列函數(shù)展開為x的冪級數(shù)。第117頁，共148頁23【P218-例2】將下列函數(shù)在指定點處展開為冪級數(shù)。第118頁，共148頁(3)f在x=-1處?！綪219-例3】將f(x)=x2ln(1+x)展開為x【P219－例4】設(shè)f(x求f(n)(0).【P220-例1】求下列冪級數(shù)的和函數(shù)。第119頁，共148頁【P221-例2】求下列常數(shù)項級數(shù)的和。第120頁，共148頁斂，并求其和函數(shù)?！綪226-例1】函數(shù)f(x在[-π,π]上展開為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)第121頁，共148頁【P226-例2】設(shè)f(x則其以2π為周期的傅里葉級數(shù)在x=π處收斂于________.第122頁，共148頁【P227-例2】將函數(shù)f(x)=2+x(-1x1)展開為以2為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級【P228-例3】設(shè)f(x)=10-x(5x15),將f(x)展成以10為周期的傅里葉級數(shù)。第123頁，共148頁第124頁，共148頁.rrrrrr第125頁，共148頁【P233-例2】求過點(-1,0,4)且相交的直線方程?！綪234-例1】求過原點且與兩直線t及都平行的平面方程?！綪235-例2】求過直線L且垂直于平面Π:3x+2y-z-5=0的平面方程。第126頁，共148頁求其交點，如果不相交求兩直線間的距離?！綪236-例2】設(shè)直線L求與直線L1且相交的直線方程。第127頁，共148頁【P238-例2】求以曲線r為準(zhǔn)線，母線平行于直線x=y=z的柱面方程?！綪239－例1】求下列曲線繞指定的軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面的方程：【P239－例2】求直線L繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程。第128頁，共148頁【P239－例】求曲線La2在xOy面和xOz面上的投影曲線方程。x2第129頁，共148頁【P241-例3】在橢球面位于第一卦限的部分上求一點P，使橢球面過點P【P242-例4】已知曲面e2x?z=f,且f可微，證明：該曲面為柱面.程。第130頁，共148頁）第131頁，共148頁(C)cosα+2cosβ,其中cosα,cosβ為任一方向l的方向余弦?！綪245-例5】設(shè)f(x,y)是全平面上的一個可微函數(shù)，且,其中p為常數(shù)，試證明：f(x,y)在全平面上有最小值。第132頁，共148頁【P252-例1】計算積分z2dv，其中Ω由曲面x2+y2+z2R2與x2+y2+z22Rz(R>0)所【P252-例2】計算三重積分zdv，其中Ω是由曲面x2+y2+z2z和x2+y2+z22z所第133頁，共148頁【P253-例3】計算I=dv,其中Ω是由曲線z,繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而【P253-例4】計算三重積分2dv,其中Ω:x2x2+y2t2,0zh所確定。求.第134頁，共148頁【P254-例6】計算Idxdydz.【P254-例2】計算Ids,其中L為曲