第十五章 軸對(duì)稱小結(jié)知識(shí)回顧問(wèn)題 1 請(qǐng)同學(xué)們帶著下面的問(wèn)題，復(fù)習(xí)全章內(nèi)容．（1）在現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的軸對(duì)稱現(xiàn)象，你能舉出一些例子嗎？成軸對(duì)稱的圖形有什么特點(diǎn)？將它們沿某一條直線折疊，直線兩邊的部分能完全重合，這是軸對(duì)稱圖形最本質(zhì)的特征．問(wèn)題

1 請(qǐng)同學(xué)們帶著下面的問(wèn)題，復(fù)習(xí)全章內(nèi)容．（2）在我們學(xué)過(guò)的幾何圖形中，有哪些是軸對(duì)稱圖形？它們的對(duì)稱軸與這個(gè)圖形有怎樣的位置關(guān)系？等腰三角形、等邊三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓等都是軸對(duì)稱圖形．問(wèn)題

1 請(qǐng)同學(xué)們帶著下面的問(wèn)題，復(fù)習(xí)全章內(nèi)容．（3）對(duì)于成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段與對(duì)稱軸有什么關(guān)系？如何作出與一個(gè)圖形關(guān)于已知直線對(duì)稱的圖形？成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分．作圖：過(guò)圖形上各點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，在對(duì)稱軸的另一側(cè)截取與該點(diǎn)到垂足距離相等的線段，得到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)即可得到對(duì)稱圖形．問(wèn)題

1 請(qǐng)同學(xué)們帶著下面的問(wèn)題，復(fù)習(xí)全章內(nèi)容．（4）在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)圖形關(guān)于

x

軸或

y

軸對(duì)稱，那么對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？請(qǐng)舉例說(shuō)明．兩個(gè)圖形關(guān)于

x

軸對(duì)稱，也就是所有的對(duì)稱點(diǎn)均關(guān)于

x

軸對(duì)稱，即對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．兩個(gè)圖形關(guān)于

y

軸對(duì)稱也就是所有的對(duì)稱點(diǎn)均關(guān)于

y

軸對(duì)稱，即對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．問(wèn)題

1

請(qǐng)同學(xué)們帶著下面的問(wèn)題，復(fù)習(xí)全章內(nèi)容．（5）利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，我們發(fā)現(xiàn)了它的哪些性質(zhì)？怎么證明一個(gè)三角形是等腰三角形？等邊三角形作為特殊的等腰三角形，又有哪些特殊性質(zhì)？怎么證明一個(gè)三角形是等邊三角形？等腰三角形等邊三角形性質(zhì)兩腰相等三邊都相等兩個(gè)底角相等三個(gè)角都相等，都等于

60°底邊上的中線、高及頂角的平分線重合（三線合一）判定有兩邊相等（定義）三邊都相等（定義）有兩角相等（等角對(duì)等邊）三個(gè)角都相等有一個(gè)角是

60°

的等腰三角形生活中的軸對(duì)稱軸對(duì)稱等腰三角形問(wèn)題

2 通過(guò)對(duì)本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)，請(qǐng)你梳理各知識(shí)之間的聯(lián)系，畫(huà)出本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖．作對(duì)稱軸畫(huà)軸對(duì)稱的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系等邊三角形例題精講例

1 如圖，從圖形

I

到圖形

II

是進(jìn)行了平移還是軸對(duì)稱？如果是軸對(duì)稱，找出對(duì)稱軸；如果是平移，是怎樣的平移？解：（1）軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是

y

軸．平移，向左平移

5

個(gè)單位，向下平移

3

個(gè)單位．平移，向右平移

5

個(gè)單位，向下平移

3

個(gè)單位．軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是

x

軸．歸納

平移和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系．比較維度平移軸對(duì)稱聯(lián)系變化前后的圖形大小、形狀不變變化前后的圖形大小、形狀不變區(qū)別沿某一方向移動(dòng)一定的距離沿著某一條直線折疊連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或在一條直線上）且相等連接對(duì)稱點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分例

2 如圖，對(duì)于△ABC：（1）尺規(guī)作圖：作線段

AC

的垂直平分線

MN

交

AC，BC

于點(diǎn)

M，N，連接

AN；（2）若

MC＝4，△ABC

的周長(zhǎng)為

23，則△ABN

的周長(zhǎng)是

；（3）若

AN＝BN＝5，∠C＝30

°，求∠B，AB

的長(zhǎng)．ACB例2 如圖，對(duì)于△ABC：（1）尺規(guī)作圖：作線段

AC

的垂直平分線

MN

交

AC，BC

于點(diǎn)

M，N，連接

AN；AMCBN例2 如圖，對(duì)于△ABC：（2）若

MC＝4，△ABC

的周長(zhǎng)為

23，則△ABN

的周長(zhǎng)是

15 ；解：∵ MN

是

AC

的垂直平分線，∴ AM＝CM，AN＝CN．∵ △ABC

的周長(zhǎng)為

23，∴ AB＋BC＋CA＝23．∴ AB＋BN＋NC＋CM＋MA＝23．∴ AB＋BN＋NA＋CM＋CM＝23．∵ MC＝4，∴ △ABN

的周長(zhǎng)為

AB＋BN＋NA＝15．解：由（2）知

AM＝CM，AN＝CN，∴ ∠NAC＝∠NCM＝30°．∴ ∠ANB＝∠NAC＋∠C＝60°．∵ AN＝BN＝5，∴ △ABN

是等邊三角形．∴ ∠B＝60°，AB＝5．例2 如圖，對(duì)于△ABC：（3）若

AN＝BN＝5，∠C＝30°，求

∠B，AB

的長(zhǎng)．60°例3 如圖，在等邊三角形

ABC

的三邊上，分別取點(diǎn)

D，E，F(xiàn)，使

AD＝BE＝CF．求證：△DEF

是等邊三角形．DAFCB E分析：等邊三角形ABC∠A＝∠B＝∠CAD＝BE＝CFAB＝BC＝CADB＝EC＝FA△ADF≌△BED≌

△CFE(SAS)DF＝ED＝FE

△DEF

是等邊三角形

(定義)例3 如圖，在等邊三角形

ABC

的三邊上，分別取點(diǎn)

D，E，F(xiàn)，使

AD＝BE＝CF．求證：△DEF

是等邊三角形．證明：∵ △ABC

是等邊三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA．∵ AD＝BE＝CF，∴ DB＝EC＝FA．∴ △ADF≌ △BED≌ △CFE(SAS)．∴ DF＝ED＝FE．∴ △DEF

是等邊三角形．DAFB E C思考：你還有其他證明方法嗎？證明：∵ △ABC

是等邊三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA．∵ AD＝BE＝CF，∴ DB＝EC．∴ △BED≌

△CFE(SAS)．∴ ∠1=∠2，DE=EF．又∴∴∴∠1+∠3=120°，∠2+∠3=120°．∠DEF=60°．△DEF

是等邊三角形．DAFC方法

2123B E例3 如圖，在等邊三角形

ABC

的三邊上，分別取點(diǎn)

D，E，F(xiàn)，使

AD＝BE＝CF．求證：△DEF

是等邊三角形．課堂練習(xí)1.

如圖，D，E

分別是

AB，AC

的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為

D，BE⊥AC，垂足為

E．求證：AC＝AB．證明：連接

BC．∵ D

是

AB

的中點(diǎn)，且

CD⊥AB，∴ AC＝BC．∵ E

是

AC

的中點(diǎn)，且

BE⊥AC，∴ AB＝BC．∴ AC＝AB．ACBDE2.如圖，在△ABC

中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延長(zhǎng)

CB

至

D，使

DB＝BA，延長(zhǎng)

BC

至

E，使

CE＝CA，連接

AD，AE．求

∠D，∠E，∠DAE

的度數(shù)．分析：

DB＝BACE＝CAACBED外角∠ABC

＝50°外角∠ACB＝80°∠E＝∠EAC

＝40°∠D＝∠DAB

＝25°∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠EAC∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB∵ DB=BA，∠ABC=50°，∴ ∠D＝∠DAB＝25°．∵ CE＝CA，∠ACB=80°，∴ ∠E＝∠EAC＝40°．∴ ∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝50°．∴ ∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠EAC=115°．ACED B2.如圖，在△ABC

中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延長(zhǎng)

CB

至

D，使

DB＝BA，延長(zhǎng)

BC

至

E，使

CE＝CA，連接

AD，